ダウンサンプリング（信号処理）

デジタル信号処理において、ダウンサンプリング、サブサンプリング、圧縮、デシメーションは、マルチレートデジタル信号処理システムにおける再サンプリング処理に関連する用語です。ダウンサンプリングとデシメーションはどちらも圧縮と同義語である場合もあれば、帯域幅削減（フィルタリング）とサンプルレート削減のプロセス全体を指す場合もあります。 ^{[1] [2]この処理を}信号または連続関数のサンプルシーケンスに対して実行すると、より低いレート（または写真の場合は 密度）で信号をサンプリングした場合に得られるシーケンスの近似値が生成されます。

デシメーションとは、歴史的には10分の1のサンプルを削除することを意味する用語です。^[a]しかし、信号処理において、10分の1のデシメーションは実際には10分の1のサンプルのみを残すことを意味します。この係数はサンプリング間隔を乗算し、あるいはサンプリングレートを除算します。例えば、44,100サンプル/秒のコンパクトディスクオーディオを5/4の係数でデシメーションすると、結果として得られるサンプリングレートは35,280になります。デシメーションを実行するシステムコンポーネントはデシメータと呼ばれます。整数係数によるデシメーションは圧縮とも呼ばれます。^{[3] [4]}

整数係数によるダウンサンプリング

整数係数Mによるレート削減は2段階のプロセスとして説明でき、より効率的な同等の実装がある：^[5]

1. デジタルローパスフィルタを使用して高周波信号成分を低減します。
2. フィルタリングされた信号をMでデシメートします。つまり、M^番目のサンプルのみを保持します。

ステップ2のみでは、望ましくないエイリアシング（高周波信号成分が低周波帯域にコピーされ、低周波と誤認される現象）が発生します。ステップ1では、必要に応じてエイリアシングを許容レベルまで抑制します。このアプリケーションでは、このフィルタはアンチエイリアシングフィルタと呼ばれ、その設計については後述します。バンドパス関数および信号の デシメーションについては、アンダーサンプリングも参照してください。

アンチエイリアシングフィルタがIIR設計の場合、第2段階の前に出力から入力へのフィードバックに依存します。FIRフィルタリングでは、 M^番目の出力のみを計算するのは簡単です。デシメーションFIRフィルタがn^番目の出力サンプルに対して実行する計算は、ドット積です。^[b]

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}$

ここで、h [•] シーケンスはインパルス応答であり、Kはその長さです。x  [ •] はダウンサンプリングされる入力シーケンスを表します。汎用プロセッサでは、y [ n ] を計算した後、 y [ n +1]を計算する最も簡単な方法は、 x [•] 配列の開始インデックスをMだけ進め、ドット積を再計算することです。M =2の場合、 h [•]はハーフバンドフィルタとして設計できます。この場合、係数のほぼ半分はゼロであり、ドット積に含める必要はありません。

M間隔で取得されたインパルス応答係数はサブシーケンスを形成し、M 個のそのようなサブシーケンス (位相) が多重化されます。ドット積は、各サブシーケンスとx [•] シーケンスの対​​応するサンプルとのドット積の合計です。さらに、 Mによるダウンサンプリングのため、M個のドット積のいずれかに含まれるx [•] サンプルのストリームは、他のドット積には含まれません。したがって、M 個の低次 FIR フィルタはそれぞれ、入力ストリームのM 個の多重化位相の 1 つをフィ​​ルタリングし、M 個の出力が合計されます。この観点は、マルチプロセッサ アーキテクチャで有利になる可能性がある異なる実装を提供します。言い換えると、入力ストリームは多重化解除され、出力が合計される M 個のフィルタ バンクに送られます。このように実装された場合、多相フィルタと呼ばれます。

完全性を期すために、各フェーズの実現方法として、 h [•]配列のコピーにおいて他のフェーズの係数をゼロに置き換え、元のx [•]シーケンスを入力レートで処理（つまりゼロを乗算）し、出力をM倍にデシメーションするという、可能性は低いものの実現方法があることをここで述べておく。この非効率的な方法と上記の実装の等価性は、第一ノーブル恒等式として知られている。^{[6] [c]}これは、多相法の導出において時々使用される。

図1：これらのグラフは、オーバーサンプリングされた関数と、同じ関数を元のレートの1/3でサンプリングした場合のスペクトル分布を示しています。この例の帯域幅Bは、低速サンプリングによってオーバーラップ（エイリアシング）が発生しない程度に小さくなっています。サンプリングされた関数は、M^番目のサンプルのみを保持し、残りを破棄することで、より低いレートで再サンプリングされることがあります。これは一般に「デシメーション」と呼ばれます。潜在的なエイリアシングは、デシメーションの前にサンプルをローパスフィルタリングすることで防止されます。最大フィルタ帯域幅は、一般的なフィルタ設計アプリケーションで使用される帯域幅単位で表されています。

アンチエイリアシングフィルター

任意の関数x ( t ) のフーリエ変換をX ( f )とすると、ある区間Tにおけるサンプル値はx [ n ] 列に等しい。離散時間フーリエ変換(DTFT) は、X ( f )の周期和のフーリエ級数表現である。 ^[d]

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.}$

Tの単位が秒の場合、の単位はヘルツです。上記の式でT をMTに置き換えると、デシメーションされたシーケンスx [ nM ] の DTFT が得られます。${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).}$

周期的な和は、振幅と周期性がM倍に減少しています。これらの分布の例は、図1の2つのトレースに示されています。^{[e] [f] [g]エイリアシングは、} X ( f ) の隣接するコピーが重なり合うときに発生します。アンチエイリアシングフィルタの目的は、周期性の減少によって重なりが生じないようにすることです。X ( f )のコピーが互いに重なり合わないことを保証する条件は次のとおりです。したがって、理想的なアンチエイリアシングフィルタの最大カットオフ周波数は^[A]です。${\displaystyle B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},}$

合理的な要因によって

M/Lをデシメーション係数^[B]とします。ここで、M、L∈ ; M > Lです。${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1. シーケンスをL倍に増加（再サンプリング）します。これはアップサンプリング、または補間と呼ばれます。
2. M倍に減少

ステップ1ではデータレートを増加（拡張）した後にローパスフィルタが必要であり、ステップ2ではデシメーションの前にローパスフィルタが必要です。したがって、両方の操作は、2つのカットオフ周波数のうち低い方の周波数を持つ単一のフィルタで実行できます。M  >  Lの場合、アンチエイリアシングフィルタのカットオフ周波数 （中間サンプルあたりのサイクル数）は低い方の周波数になります 。${\displaystyle {\tfrac {0.5}{M}}}$

参照

• アップサンプリング
• ポスタリゼーション
• サンプルレート変換
• エイリアシング
• ヴィスヴァリンガム・ホワイアットアルゴリズム

注記

1. 実現可能なローパスフィルタには「スカート」と呼ばれる特性があり、ここでは応答が1付近から0付近まで減少します。実際には、カットオフ周波数は理論上のカットオフ周波数よりも十分に低く設定されており、フィルタのスカートは理論上のカットオフ周波数よりも低く抑えられています。
2. 係数R∈によるサンプルレート変換の一般的な手法には、多項式補間とファロー構造が含まれる。 ^[7]${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

ページ引用

1. ハリス 2004.「6.1」p 128。
2. CrochiereとRabiner「2」p 32。eq 2.55a。
3. Harris 2004.「2.2.1」p 25。
4. Oppenheim and Schafer. "4.2". p 143. 式4.6、ただし、    および  ${\displaystyle \Omega \triangleq 2\pi f,}$   ${\displaystyle X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},}$ ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
5. Harris 2004.「2.2」p 22. 図2.10。
6. OppenheimとSchafer.「4.6」p 171. 図4.22.
7. Tan 2008.「1.2.1」。図12.2。

参考文献

1. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). "4".離散時間信号処理（第2版）. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 168. ISBN  0-13-754920-2。
2. Tan, Li (2008-04-21). 「アップサンプリングとダウンサンプリング」. eetimes.com . EE Times . 2017-04-10閲覧。サンプリングレートを整数倍に下げる処理は、データシーケンスのダウンサンプリングと呼ばれます。ダウンサンプリングはデシメーションとも呼ばれます。ダウンサンプリング処理に使用されるデシメーションという用語は、多くの教科書や分野で広く受け入れられ、使用されています。
3. Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "2". マルチレートデジタル信号処理. エングルウッドクリフス, ニュージャージー州: Prentice-Hall. p. 32. ISBN  0136051626。
4. Poularikas, Alexander D. (1998年9月).信号処理のための数式と表のハンドブック（第1版）. CRC Press. pp.  42– 48. ISBN  0849385792。
5. Harris, Frederic J. (2004-05-24). 「2.2.通信システムのためのマルチレート信号処理」 . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. pp.  20– 21. ISBN  0131465112ダウンサンプリングのプロセスは、2段階の進行として視覚化できます。まず、入力系列x(n)がフィルタh(n)によって処理され、帯域幅が縮小された出力系列y(n)が得られます。次に、出力系列のサンプルレートが、縮小された信号帯域幅に見合うレートまでQ対1に低減されます。実際には、帯域幅の縮小とサンプルレートの低減は、マルチレートフィルタと呼ばれる単一のプロセスに統合されています。
6. Strang, Gilbert ; Nguyen, Truong (1996-10-01). Wavelets and Filter Banks (第2版). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 100–101. ISBN  0961408871賢明なエンジニアならそんなことはしないでしょう。
7. ミリッチ、リリャナ (2009).デジタル信号処理のためのマルチレート フィルタリング。ニューヨーク：ハーシー。 p. 192.ISBN​  978-1-60566-178-0一般に、このアプローチは、比Fy/Fxが有理数または無理数の場合に適用でき、サンプリングレートの増加と減少に適しています。

さらに読む

• プロアキス, ジョン・G. (2000).デジタル信号処理：原理、アルゴリズム、応用（第3版）. インド: Prentice-Hall. ISBN 8120311299。
• リチャード・ライオンズ（2001年）『デジタル信号処理の理解』プレンティス・ホール、304ページ。ISBN 0-201-63467-8サンプリング レートを下げることをデシメーションといいます。
• アントニオウ、アンドレアス（2006年）『デジタル信号処理』マグロウヒル社、p.830、ISBN 0-07-145424-1デシメータはサンプリング周波数を下げるために使用でき、インターポレータはサンプリング周波数を上げるために使用できます。
• ミリク、リリャナ (2009)。デジタル信号処理のためのマルチレート フィルタリング。ニューヨーク：ハーシー。 p. 35.ISBN​ 978-1-60566-178-0サンプリングレート変換システムは、信号のサンプリングレートを変更するために使用されます。サンプリングレートを下げる処理はデシメーションと呼ばれ、サンプリングレートを上げる処理は補間と呼ばれます。
• T. Schilcher. RFアプリケーション in digital signal processing//" Digital signal processing". Proceedings, CERN Accelerator School, Sigtuna, Sweden, May 31-June 9, 2007. - Geneva, Switzerland: CERN (2008). - p. 258. - DOI: 10.5170/CERN-2008-003. [1]
• Sliusar II, Slyusar VI, Voloshko SV, Smolyar VG 次世代光アクセス（N-OFDMデシメーションベース）.// 第3回国際科学実用会議「情報通信の諸問題、​​科学技術（PIC S&T'2016）」 – ハリコフ. 2016年10月3日～6日. [2]
• サスカ・リンドフォース、アールノ・ペルシネン、カリ・AI・ハロネン。 3 V 230 MHz CMOS デシメーション サブサンプラー。// 回路とシステムに関する IEEE トランザクション - Vol. 52、No. 2、2005 年 2 月。 – P. 110。