アインシュタイン記法

数学、特に数理物理学と微分幾何学における線型代数の用法において、アインシュタイン記法（ アインシュタイン総和記法、アインシュタイン総和記法とも呼ばれる）は、式中の添字付き項の集合に対する総和を暗示し、簡潔さを実現する記法である。数学の一部としてはリッチ計算の記法的サブセットであるが、接空間と余接空間を区別しない物理学の応用でしばしば用いられる。 1916年にアルバート・アインシュタインによって物理学に導入された。^[1]

導入

条約の声明

この規則によれば、インデックス変数が単一の項に2回出現し、かつ他に定義されていない場合（「自由変数と束縛変数」を参照）、その項をインデックスのすべての値について合計することを意味します。したがって、インデックスが集合 ${1, 2, 3}$ の範囲にある場合、この規則により次のように簡略化されます。 $y=\sum _{i=1}^{3}x^{i}e_{i}=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+x^{3}e_{3}$ $y=x^{i}e_{i}$

上付き添字は指数ではなく、座標、係数、または基底ベクトルの添字です。つまり、この文脈では、 $x 2 は$ $x$ の2乗ではなく、 $x$ の2番目の要素として理解されるべきです（これは時折曖昧さを招く可能性があります） $。x i$ における上付き添字の位置は、通常、項の中で添字が上付き（上付き）と下付き（下付き）の位置に1回ずつ出現するためです（以下の§ 応用を参照）。通常、 $(x 1 x 2 x 3)$ は従来の $(x y z)$ と同等です。

一般相対論では、共通の慣例となっているのは

空間と時間の要素にはギリシャ文字が使用され、インデックスは0、1、2、または3の値を取ります（よく使用される文字は $μ 、 ν 、...$ ）。
ラテンアルファベットは空間要素にのみ使用され、インデックスは1、2、または3の値を取ります（よく使用される文字は $i 、 j 、...$ ）。

一般に、添字は、無限集合を含む任意の添字集合の範囲をとることができます。これは、テンソル添字表記と、密接に関連しているが異なる基底非依存の抽象添字表記を区別するために使用される、表記法的に類似した慣例と混同しないでください。

合計されるインデックスは合計インデックス（この場合は「 $i$ 」）と呼ばれます。式の意味を変えることなく任意の記号で「 $i$ 」を置き換えることができるため、ダミーインデックスとも呼ばれます（ただし、同じ項内の他のインデックス記号と衝突しない限り）。

合計されないインデックスは自由インデックスであり、各項につき1回だけ出現します。このようなインデックスが出現する場合は、通常、方程式内の他のすべての項にも出現します。自由インデックスの例としては、方程式の「 $i$ 」が挙げられます。これは、方程式と同等です。 $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$

応用

アインシュタイン記法は、若干異なる方法でも適用できます。通常、各添え字は項の上付き文字（上付き）と下付き文字（下付き）の位置にそれぞれ1回ずつ出現します。しかし、この表記法は、項内で繰り返される添え字に対してより一般的に適用できます。^[2]共変ベクトルと反変ベクトルを扱う場合、添え字の位置がベクトルの種類を示しますが、通常は前者が適用されます。共変ベクトルは反変ベクトルと縮約することしかできず、係数の積の和に相当します。一方、座標基底が固定されている場合（または座標ベクトルを考慮していない場合）、添え字のみを使用することもできます。以下の「§ 上付き文字と添え字 vs. 添え字のみ」を参照してください。

ベクトル表現

上付き文字と下付き文字 vs 下付き文字のみ

ベクトルの共分散と反分散の観点から、

上位の添え字は反変ベクトル（ベクトル）の成分を表し、
下位のインデックスは共変ベクトル（共ベクトル）の成分を表します。

これらは、基底の変更に関して、それぞれ反変的または共変的に変換されます。

この事実を認識して、次の表記では、ベクトルまたは共ベクトルとその成分の両方に同じ記号を使用します。 ${\begin{aligned}v=e_{i}v^{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

ここで、はベクトル、はその成分（番目の共ベクトルではない）、は共ベクトル、はその成分です。基底ベクトルの要素はそれぞれ列ベクトルであり、共ベクトルの基底要素はそれぞれ行共ベクトルです。（§ 抽象的説明、双対性、および下記の例も参照してください。） $v$ $v^{i}$ $i$ $v$ $w$ $w_{i}$ $e_{i}$ $e^{i}$

非退化形式（同型 $V \to V *$ 、例えばリーマン計量やミンコフスキー計量）が存在する場合、指数を上げたり下げたりすることができる。

基底は（双対基底を介して）そのような形式を与えるため、ユークリッド計量と固定直交基底を持つ $R n$ を扱うときは、下付き文字のみを扱うという選択肢があります。

ただし、座標を変更すると、係数の変化の仕方はオブジェクトの分散に依存するため、その違いを無視することはできません。「ベクトルの共分散と反分散」を参照してください。

記憶術

上記の例では、ベクトルは $n \times 1$ 行列(列ベクトル) として表され、共ベクトルは $1 \times n$ 行列 (行共ベクトル) として表されます。

列ベクトル規則を使用する場合:

「上のインデックスは上から下へ、下のインデックスは左から右へ移動します。」
「Coバリアントテンソルは、以下のインデックスを持つ行ベクトルです（co-row-below）。」
共ベクトルは行ベクトルです。したがって、下位のインデックスはどの列にいるかを示します。 ${\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.$
反変ベクトルは列ベクトルです。したがって、上位のインデックスはどの行にいるかを示します。 ${\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}$

要約説明

アインシュタイン表記法の利点は、不変量を単純な表記法で表現できることです。

物理学において、スカラーは基底の変換に対して不変である。特に、ローレンツスカラーはローレンツ変換に対して不変である。しかし、和の個々の項は不変ではない。基底が変化すると、ベクトルの成分は行列で記述される線型変換によって変化する。このことから、アインシュタインは、添え字が繰り返される場合は必ず和をとるという慣例を提案した。

共ベクトルに関しては、逆行列によって変化します。これは、共ベクトルに関連付けられた線形関数、つまり上記の和が、基底が何であっても同じになることを保証するために設計されています。

アインシュタインの規約の価値は、テンソル積と双対性を用いて $V$ から構築される他のベクトル空間にも適用できることです。例えば、 $V$ $\otimes$ $V （ V と$ $それ$ 自身とのテンソル積）は、 $e$ $ij$ $=$ $e$ $i$ $\otimes$ $e$ $j$ という形のテンソルからなる基底を持ちます。 $V$ $\otimes$ $V$ 内の任意のテンソル $T は$ 、次のように表すことができます。 $\mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.$

$V$ の双対である $V$ $*$ は基底 $e 1$ , $e 2$ , ..., $e n$ $を持ち、これはδ$ がクロネッカーのデルタである規則に従います。行列の行/列座標はテンソル積の上限/下限インデックスに対応します。 $\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.$ $\operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W$

この表記法における一般的な演算

アインシュタイン記法では、行列の- 行目と- 列目の通常の要素参照はとなります。したがって、以下の演算はアインシュタイン記法で次のように記述できます。 $A_{mn}$ $m$ $n$ $A$ ${A^{m}}_{n}$

内積

2 つのベクトルの内積は、対応する要素の積の和で、一方のベクトルのインデックスを下げたものです (「インデックスの上げ下げ」を参照)。直交基底の場合はとなり、式は次のように簡略化されます。 $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}$ $u^{j}=u_{j}$ $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{j}u^{j}v^{j}=u_{j}v^{j}$

ベクトル外積

3次元では、正の向きの直交基底に関する2つのベクトルの外積、つまりは次のように表すことができます。 $\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}$ $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{\,jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}$

ここで、はレヴィ・チヴィタ記号です。基底は直交基底なので、をテンソルとして扱う場合、指数を大きくしてもの値は変わりません。 $\varepsilon _{\,jk}^{i}=\varepsilon _{ijk}$ $i$ $\varepsilon _{ijk}$

行列とベクトルの乗算

$行列A ij$ と列ベクトル $v j$ の積は次式と等しい。 $\mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}$ $u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}$

これは行列乗算の特殊なケースです。

行列の乗算

2つの行列 $A$ $ij$ と $B$ $jk$ の行列積は次のようになります。 $\mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}$

相当する ${C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}$

トレース

正方行列 $A i j$ の場合、トレースは対角要素の合計、つまり共通インデックス $A i i$ の合計になります。

外積

$列ベクトルu$ $i$ と行ベクトル $v$ $j$ の外積は $m$ $\times$ $n$ 行列 $A$ を生成する。 ${A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}$

$i$ と $j は$ 2 つの異なるインデックスを表すため、合計はなく、乗算によってインデックスが削除されることはありません。

インデックスの上げ下げ

テンソルが与えられたとき、そのテンソルを計量テンソル $g$ $μν$ と縮約することで、指数を上げたり下げたりすることができます。例えば、テンソル $T$ $α$ $β$ をとれば、指数を下げることができます。 $g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }$

あるいは、インデックスを上げることもできます。 $g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }$

参照

注記

これは数値インデックスにのみ当てはまります。抽象インデックスの場合は状況が逆になります。その場合、この記事の冒頭の例にあるように、ベクトル自体は上位抽象インデックスを持ち、共ベクトルは下位抽象インデックスを持ちます。ベクトルの基底の元は、下位数値インデックスと上位抽象インデックスを持つ場合があります。

参考文献

^ アインシュタイン、アルバート(1916). 「一般相対性理論の基礎」. Annalen der Physik . 354 (7): 769. Bibcode :1916AnP...354..769E. doi :10.1002/andp.19163540702. 2006年8月29日時点のオリジナル( PDF )からのアーカイブ。 2006年9月3日閲覧。
^ 「アインシュタインの総和」 Wolfram Mathworld . 2011年4月13日閲覧。

参考文献

Kuptsov, LP (2001) [1994]、「アインシュタインの規則」、数学百科事典、EMS Press。

外部リンク

ウィキブック「一般相対性理論」には、アインシュタインの和記法に関するページがあります。

ローリングス、スティーブ (2007年2月1日). 「講義10 – アインシュタインの和定理とベクトル恒等式」. オックスフォード大学. 2017年1月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年7月2日閲覧。
「指数表記法によるベクトル計算（アインシュタインの和の規則）」（PDF）。
「NumPyのeinsumを理解する」。Stack Overflow。