集合の要素

数学において、集合の要素（またはメンバー）とは、その集合に属する異なるオブジェクトのいずれか1つを指します。例えば、最初の4つの正の整数（）を含む集合 $Aが与えられている場合、「3は$ $A$ の要素である」と表現され、これはと表記されます。 $A=\{1,2,3,4\}$ $3\in A$

セット

と書くことで、集合 $A$ の要素は数字 1、2、3、4 であることを意味します。たとえば、 $Aの要素の集合は$ $A$ のサブセットです。 $A=\{1,2,3,4\}$ $\{1,2\}$

集合自体が要素になることもあります。例えば、集合を考えてみましょう。B の要素は1、2、3、4ではありません。B の要素は $、$ $1$ と2という数字と集合の3つだけです。 $B=\{1,2,\{3,4\}\}$ $\{3,4\}$

集合の要素は何でも構いません。例えば、集合の要素は赤色、数字12、集合 $B$ です。 $C=\{\mathrm {\color {赤}赤} ,\mathrm {12} ,B\}$

論理学では、集合はその要素の帰属関係に基づいてと定義できます。これは基本的に、x の帰属関係と呼ばれる一般的な述語があり、これは「すべてのオブジェクト x について、x の一般的な述語が y と同一であり、x が yの定義域の帰属関係にある場合、x は y の帰属関係にあるとみなされる場合に限り、x は y の帰属関係にある」という文と同等であることを意味します。式 x ∈ 𝔇y は、x が y の帰属関係の述語において束縛変数であることを保証することで、この定義を明確に定義します。 $(x\in y)\leftrightarrow \forall x[P_{x}=y]:x\in {\mathfrak {D}}y$

この場合、Px の定義域（y の所属条件を満たすすべての従属論理値 x を含む集合）は、y のユニバース (U) と呼ばれます。Px の値域（x の所属条件を満たす結果として生じるすべての従属集合変数 y の集合）は、U の冪集合であり、yへの x の所属関係の二項関係が直積 U × 𝒫(U)（集合 U と U の冪集合の直積）の任意の部分集合となるような集合です。

表記法と用語

二項関係「はの要素である」は集合の帰属関係とも呼ばれ、記号「∈」で表されます。

x\in A

は「xはAの要素である」という意味です。^{[ 1 ]}同義の表現として「xはAのメンバーである」「x はAに属する」「xはAにある」「xはAにある」などがあります。「 A はxを含む」「A はx を含む」という表現も集合のメンバーシップを表すために使用されますが、一部の著者はこれを「xはAのサブセットである」という意味で使用しています。^[²^]論理学者のジョージ・ブーロスは、「contains」はメンバーシップのみに、「includes」はサブセット関係のみに使用することを強く推奨しました。^[³^]

関係∈ に対して、逆の関係∈ ^Tは次のように書ける。

A\ni x

「Aはxを含む」という意味です。

集合の帰属関係の否定は記号「∉」で表されます。

x\notin A

「 xはAの要素ではない」という意味です。

記号∈は、ジュゼッペ・ペアノが1889年の著書『算術原理、新手法解説』で初めて使用しました。^{[ 4 ]}彼はその10ページにこう書いています。

Signum ∈significat est.Ita $a \in$ blegitur aest quoddam b $;$ …

つまり

記号∈は「である」という意味です。つまり、 $a \in b$ は「aはあるbである」と読みます。…

この記号自体はギリシャ語の小文字イプシロン（"ϵ"）を様式化したものである。これは「である」を意味する単語ἐστίの最初の文字である。^{[ 4 ]}

例

上記で定義した集合、つまりA = {1, 2, 3, 4}、B = {1, 2, {3, 4}}、C = {red, 12, B } を使用すると、次の記述が成り立ちます。

$2\inA $
$5 \notin A$

${3, 4} \in B$
$3\notinB $
$4\notinB $
$黄色 \notin C$

集合の濃度

特定の集合に含まれる要素の数は、濃度と呼ばれる特性です。非公式には、これは集合のサイズです。^{[ 5 ]}上記の例では、集合 Aの濃度は 4 ですが、集合Bと集合Cの濃度はどちらも 3 です。無限集合は要素の数が無限の集合であり、有限集合は要素の数が有限の集合です。上記の例は有限集合の例です。無限集合の例としては、正の整数 ${1, 2, 3, 4, ...}$ の集合が挙げられます。

正式な関係

関係として、集合の帰属関係は定義域と値域を持つ必要がある。慣例的に定義域はユニバースと呼ばれ、 Uと表記される。値域はUの部分集合の集合であり、 Uの冪集合と呼ばれ、P( U ) と表記される。したがって、関係は $U$ $\times P($ $U$ $)$ の部分集合となる。逆の関係は $P($ $U$ $) \times$ $U$ の部分集合となる。 $\in$ $\ni$

参照

参考文献

^ Weisstein, Eric W. 「要素」 . mathworld.wolfram.com . 2020年8月10日閲覧。
^エリック・シェクター(1997). 『分析とその基礎ハンドブック』アカデミック・プレス. ISBN 0-12-622760-8。12ページ
^ George Boolos (1992年2月4日). 24.243 古典集合論（講義）（スピーチ）.マサチューセッツ工科大学.
^ ^a ^b Kennedy, HC (1973年7月). 「ラッセルがペアノから学んだこと」 . Notre Dame Journal of Formal Logic . 14 (3). Duke University Press: 367– 372. doi : 10.1305/ndjfl/1093891001 . MR 0319684 .
^ 「集合 - 要素 | Brilliant Math & Science Wiki」 . brilliant.org . 2020年8月10日閲覧。

さらに読む

Halmos、Paul R. (1974) [1960]、Naive Set Theory、Undergraduate Texts in Mathematics (Hardcover ed.)、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 0-387-90092-6- 「素朴」とは、それが完全に公理化されていないということであり、それが愚かであったり簡単であるという意味ではありません (Halmos の扱いはどちらでもありません)。
ジェック、トーマス（2002）「集合論」、スタンフォード哲学百科事典、スタンフォード大学形而上学研究室
サッペス、パトリック（1972）[1960]、公理的集合論、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-61630-4- 「集合要素」をより深く理解するには、集合（メンバーの集合）、メンバーシップまたは要素性、拡張公理、分離公理、および和公理（サッペスはこれを和公理と呼んでいます）の概念が必要です。