楕円関数

複素解析という数学の分野において、楕円関数は特別な種類の有理型関数であり、2つの周期条件を満たします。楕円関数と呼ばれるのは、楕円積分から派生しているためです。また、楕円積分は楕円の弧長の計算で初めて登場したため、楕円型と呼ばれます。

重要な楕円関数には、ヤコビの楕円関数とワイエルシュトラス関数${\displaystyle \wp }$ があります。

この理論のさらなる発展により、超楕円関数とモジュラー形式が生まれました。

意味

有理型関数は、2つの線形独立な複素数が存在し 、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$ そして。${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

したがって、楕円関数には 2 つの周期があり、二重周期関数となります。

周期格子と基本領域

楕円関数の基本領域をその周期格子の単位セルとして表します。

対辺が同一視される平行四辺形

が周期を持つ楕円関数である場合、次の式も成り立つ。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$

${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$

とのすべての線形結合に対して。 ${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

アーベル群

${\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

周期格子と呼ばれます。

およびによって生成される平行四辺形${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$

は、 に作用する基本的な領域です。 ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

幾何学的に、複素平面は平行四辺形で敷き詰められています。一つの基本領域で起こるすべての出来事は、他のすべての基本領域でも繰り返されます。そのため、楕円関数は商群を 定義域とする関数として見ることができます。この商群は楕円曲線と呼ばれ、対辺が同一視される平行四辺形として視覚化することができ、位相的にはトーラスです。^[1]${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

リウヴィルの定理

次の3つの定理は、リウヴィルの定理（1847）として知られています。

第一定理

正則楕円関数は定数である。^[2]

これはリウヴィルの定理の原形であり、そこから導出できる。^[3] 正則楕円関数は、そのすべての値をコンパクトである基本領域上で取るため、有界である。したがって、リウヴィルの定理によれば、それは定数である。

第2定理

すべての楕円関数には有限個の極があり、その留数の和は0である。^[4]${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

この定理は、基本領域に正確に 1 つの 1 次極または 1 次零点を持つ、ゼロに等しくない楕円関数は存在しないことを意味します。

第3定理

非定数楕円関数は、重複度に応じてすべての値を同じ回数だけ取る。^[5]${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

ワイエルシュトラス℘関数

最も重要な楕円関数の一つはワイエルシュトラス関数である。与えられた周期格子に対して、ワイエルシュトラス関数は次のように定義される 。${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

これは、すべての格子点に2次の極を持つように構成されています。この項は、級数を収束させるために存在します。 ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle \wp }$ は偶楕円関数である。つまり、 である。^[6]${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

その派生語

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$

は奇関数である、すなわち^[6]${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$

楕円関数の理論の主な結果の一つは次の通りである：与えられた周期格子に関するすべての楕円関数は、およびに関して有理関数として表すことができる。^[7]${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$

-関数は微分方程式を満たす${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

ここで、 とは に依存する定数です。より正確には、と であり、ここでとはアイゼンシュタイン級数と呼ばれます。^[8]${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle G_{4}}$ ${\displaystyle G_{6}}$

代数言語では、楕円関数の体は次の体と同型である。

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$ 、

ここで同型はおよびにマッピングされます。${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle Y}$

• 
  周期格子を持つワイエルシュトラス関数${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  -関数の微分${\displaystyle \wp }$

楕円積分との関係

楕円積分との関係は、主に歴史的な背景を持つ。楕円積分はルジャンドルによって研究され、その研究はニールス・ヘンリク・アーベルとカール・グスタフ・ヤコビに引き継がれた。

アベルは楕円積分関数の 逆関数をとることで楕円関数を発見した。${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$

と。^[9]${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

さらに彼は関数を定義した^[10]

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

そして

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$ 。

複素平面への延長後、それらは二重周期であることが判明し、アーベル楕円関数として知られています。

ヤコビの楕円関数も同様に楕円積分の逆関数として得られます。

ヤコビは積分関数を考えた

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$

そしてそれを反転しました。はsinus amplitudinisを表し、新しい関数の名前です。^{[11]次に彼は}cosinus amplitudinis とdelta amplitudinisという関数を導入しました。これらは次のように定義されます。 ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$ 。

このステップを踏むことによってのみ、ヤコビは1827年に楕円積分の一般的な変換式を証明することができた。^[12]

歴史

微積分学の発展から間もなく、イタリアの数学者ジュリオ・ディ・ファニャーノとスイスの数学者レオンハルト・オイラーによって楕円関数の理論が提唱されました。彼らはレムニスケートの弧長を計算しようとした際、3次および4次の多項式の平方根を含む積分問題に遭遇しました。^[13]これらのいわゆる楕円積分は、初等関数では解けないことは明らかでした。ファニャーノは楕円積分の間に代数的な関係があることを発見し、1750年にそれを発表しました。^[13]オイラーはすぐにファニャーノの結果を一般化し、楕円積分に対する代数的加法定理を提示しました。^[13]

ランデンによるコメント^[14]を除いて、彼のアイデアが追求されたのは1786年、ルジャンドルが論文「楕円弧の積分に関するメモ」^[15]を発表したときだった。その後、ルジャンドルは楕円積分を研究し、それを楕円関数と呼んだ。ルジャンドルは3種類の分類を導入し、当時のかなり複雑な理論を非常に簡単にした。ルジャンドルの他の重要な著作には、楕円超越論（1792年）^{[16] 、} 「積分演習」 (1811–1817年)、^{[17] 、} 「楕円関数論」 (1825–1832年)がある。^[18]ルジャンドルの研究は1826年まで数学者によってほとんど触れられることはなかった。

その後、ニールス・ヘンリク・アーベルとカール・グスタフ・ヤコビが研究を再開し、すぐに新たな結果を発見した。彼らはまず楕円積分関数の逆関数を求めた。1829年のヤコビの示唆を受けて、これらの逆関数は現在では楕円関数と呼ばれている。ヤコビの最も重要な著作の一つは、1829年に出版された『楕円関数の基礎新理論』である^。[19]オイラーが発見した加法定理は、1829年にアーベルによってその一般形で提起・証明された。当時、楕円関数の理論と二重周期関数の理論は異なる理論と考えられていた。これらは1856年にブリオとブーケによって統合された^。[20] ガウスは30年前に楕円関数の多くの性質を発見していたが、この主題に関する著作は出版しなかった。^[21]

参照

• 楕円積分
• 楕円曲線
• モジュラーグループ
• シータ関数

参考文献

1. Rolf Busam (2006)、Funktionentheorie 1 (ドイツ語) (4.、korr. und erw. Aufl ed.)、ベルリン: Springer、p. 259、ISBN 978-3-540-32058-6
2. Rolf Busam (2006)、Funktionentheorie 1 (ドイツ語) (4.、korr. und erw. Aufl ed.)、ベルリン: Springer、p. 258、ISBN 978-3-540-32058-6
3. ジェレミー・グレイ（2015年）『実在と複素：19世紀の分析の歴史』（ドイツ語）、Cham、pp. 118f、ISBN 978-3-319-23715-2
4. Rolf Busam (2006)、Funktionentheorie 1 (ドイツ語) (4.、korr. und erw. Aufl ed.)、ベルリン: Springer、p. 260、ISBN 978-3-540-32058-6
5. Rolf Busam (2006)、Funktionentheorie 1 (ドイツ語) (4.、korr. und erw. Aufl ed.)、ベルリン: Springer、p. 262、ISBN 978-3-540-32058-6
6. K. Chandrasekharan (1985),楕円関数（ドイツ語）、ベルリン：Springer-Verlag、p. 28、ISBN 0-387-15295-4
7. Rolf Busam (2006)、Funktionentheorie 1 (ドイツ語) (4.、korr. und erw. Aufl ed.)、ベルリン: Springer、p. 275、ISBN 978-3-540-32058-6
8. Rolf Busam (2006)、Funktionentheorie 1 (ドイツ語) (4.、korr. und erw. Aufl ed.)、ベルリン: Springer、p. 276、ISBN 978-3-540-32058-6
9. グレイ、ジェレミー（2015年10月14日）、実在と複素数：19世紀の分析の歴史（ドイツ語）、Cham、p.74、ISBN 978-3-319-23715-2
10. グレイ、ジェレミー（2015年10月14日）、実在と複素数：19世紀の分析の歴史（ドイツ語）、Cham、p.75、ISBN 978-3-319-23715-2
11. グレイ、ジェレミー（2015年10月14日）、実在と複素数：19世紀の分析の歴史（ドイツ語）、Cham、p.82、ISBN 978-3-319-23715-2
12. グレイ、ジェレミー（2015年10月14日）、実在と複素数：19世紀の分析の歴史（ドイツ語）、Cham、p.81、ISBN 978-3-319-23715-2
13. グレイ、ジェレミー (2015). 『実在と複素：19世紀における分析の歴史』チャム社 pp. 23f. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC  932002663.
14. ジョン・ランデン：「2つの楕円弧を用いて任意の円錐双曲線の任意の弧の長さを求めるための一般的な定理の考察、およびそこから導かれるその他の新しい有用な定理」ロンドン王立協会哲学論文集65 (1775)、第XXVI号、S. 283–289、JSTOR  106197。
15. アドリアン＝マリー・ルジャンドル: 楕円弧の統合に関する記憶。所蔵: Histoire de l'Académie Royale des Sciences Paris (1788)、S. 616–643。 – Ders.: 楕円弧の統合に関する 2 番目のメモワール、および弧の比較。所蔵: Histoire de l'Académie Royale des Sciences Paris (1788)、S. 644–683。
16. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les超越的な楕円法、比較と評価の容易なメソッドの比較、楕円弧の理解、および計算統合のアプリケーションの再構築。 Du Pont & Firmin-Didot、パリ、1​​792 年。英語の超越論に関する回想録。で: Thomas Leybourn:数学リポジトリの新しいシリーズ。バンド 2。グレンディング、ロンドン 1809、テイル 3、S. 1–34。
17. Adrien-Marie Legendre:積分計算の演習、超越的な手法と求積法。 3 バンデ。 (バンド 1、バンド 2、バンド 3)。パリ 1811 ～ 1817 年。
18. Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique. 3Bde。 (バンド 1、バンド 2、バンド 3/1、バンド 3/2、バンド 3/3)。ユザール・クルシエ、パリ、1​​825 ～ 1832 年。
19. カール グスタフ ヤコブ ヤコビ: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum。ケーニヒスベルク 1829年。
20. グレイ、ジェレミー（2015年）『実在と複素：19世紀における分析の歴史』チャム社、122頁。ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC  932002663.
21. グレイ、ジェレミー（2015年）『実在と複素：19世紀における分析の歴史』チャム社、p.96、ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC  932002663.

文学

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]。「第16章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月初版第10刷に訂正を加えた第9刷、初版）。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省国立標準局、ドーバー出版。567、627頁。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN  64-60036. MR 0167642.  LCCN 65-12253  . 第 18 章も参照してください (実数不変量のケースのみを考慮します)。
• NI Akhiezer , Elements of the Theory of Elliptic Functions , (1970) Moscow, translations in English in AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• トム・M・アポストル『モジュラー関数と数論におけるディリクレ級数』 Springer-Verlag、ニューヨーク、1976年。ISBN 0-387-97127-0 （第1章を参照）
• E.T.ウィテカーとG.N.ワトソン著『現代分析講座』ケンブリッジ大学出版局、1952年

外部リンク

• 「楕円関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• MAA、楕円関数に関するアベルの論文の翻訳。
• YouTubeの楕円関数と楕円積分、ウィリアム A. シュワルムによる講義 (4 時間)
• ヨハンソン, フレドリック (2018). 「楕円関数、楕円積分、モジュラー形式の数値評価」arXiv : 1806.06725 [cs.NA].