エクアント

プトレマイオス天文学の基本要素。周転円（小さい破線円）、従円（大きい破線円）、離心率（×）、偏心円（•）上の惑星を示しています。

等速円運動（またはプンクトゥム・アエクアンス）は、西暦2世紀にクラウディオス・プトレマイオスによって惑星の観測された運動を説明するために考案された数学的概念です。等速円運動は、惑星の軌道のさまざまな段階で観測される速度の変化を説明するために使用されます。この惑星概念により、プトレマイオスは天体の軌道が一点の周りでは一様であり、別の点の周りでは円であると述べ、等速円運動の理論を維持することができました。

プトレマイオスは偏心を表す言葉を持っていない。彼は「偏心が平均運動を生み出す」といった表現を用いている。^[1]

配置

偏心点（図では大きな•で示される）は、偏心点の中心（×で示される）から地球に対して正反対の位置に配置されます。惑星または周転円（惑星を運ぶ小さな円）の中心は、偏心点に対して一定の角速度で移動すると考えられています。偏心点に置かれた仮想的な観測者には、周転円の中心（小さな·で示される）が一定の角速度で移動しているように見えます。しかし、周転円の中心は偏心点に沿って一定の速度で移動するわけではありません。^[2]

モチベーション

イクアントを実装した理由は、アリストテレスが哲学的な理由から始めた長年の信条である天体の一定の円運動の見かけを維持するためであり、同時に、特に太陽と月を除くすべての太陽系の天体の見かけの逆行運動の大きさにおいて、観測された天体の動きの計算を最もよく一致させるためでもあった。

等量モデルでは、地球を中心としない円軌道上を運動する物体が想定されます。物体の速度は、外側の円（破線）を周回する軌道上で変化し、下半分では速く、上半分では遅くなります。しかし、等量点から見ると、惑星は等角度を等時間で移動するため、この運動は等速であるとみなされます。物体の角速度は、軌道上の他のどの点から見ても不等速です。

周転円なし（太陽など）で適用すると、equant を使用することで、近地点と遠地点での角速度が（軌道離心率）の比率で正確になります。しかし、ケプラーの軌道と比較すると、equant 法では天体が地球から遠い時間に短すぎ、地球に近づきすぎます。たとえば、離心率異常がπ/2 のとき、ケプラーのモデルでは近地点から の時間が経過するとされます（周期、ケプラーの式を参照）が、equant モデルではが少し長くなります。さらに、この時点での真の異角は、equant モデルによるとのみ であるのに対し、ケプラーのモデルでは であり、が長くなります。ただし、離心率が小さい場合、誤差は非常に小さく、離心率の 3 乗に 漸近します。${\displaystyle (1+e)^{2}/(1-e)^{2}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi /2-e}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi /2-\arctan(e),}$ ${\displaystyle \pi /2+\arctan(e),}$ ${\displaystyle \pi /2+\arcsin(e),}$

方程式

頂点が偏角の中心にあり、辺がそれぞれ遊星と偏角と交差する角度αは、次のように時間tの関数となります。

${\displaystyle \alpha =\Omega t-\arcsin \left({\frac {E}{\ R\ }}\ \sin(\Omega t)\right)}$

ここでΩは、等角点の半径がRのとき、距離Eにある等角点から見た一定の角速度である。^[3]

発見と利用

プトレマイオスは『アルマゲスト』の中でエクアントを導入した。^[4]エクアントがアリストテレス物理学に必要な調整であったという証拠は、プトレマイオス自身とある「テオン」（おそらくスミュルナのテオン）による観察に基づいていた。^[2]

ヒッパルコス

プトレマイオス以前の惑星運動モデル（一般的にはヒッパルコスに帰属）では、離心円と周転円が既に特徴として挙げられていました。西暦1世紀のローマの著述家プリニウスは、後期ギリシャ天文学者の著作にアクセスできたようで、自身は天文学者ではありませんでしたが、それでも既知の5つの惑星の遠心円の線とそれらが黄道帯で指す位置を正確に特定しました。 ^[5]このようなデータには、運動の偏心中心の概念が必要です。

紀元前430年頃より以前、アテネのメトンとエウクテモンは季節の長さの違いを観察していました。^[2]これは、太陽が軌道に沿って90度移動する時期を示す春分点と夏至点によって示される季節の長さに見られます。他の人々も試みましたが、ヒッパルコスは紀元前130年頃に最も正確な季節の長さを計算し、提示しました。

これらの計算によると、春は約94年続きました +1/ 2 ⁠日、夏約⁠92+1/ 2 ⁠、秋頃⁠88+1/ 8 ⁠、冬は約90+1/ 8 ⁠、季節の長さに確かに差があることを示しました。これは後に、黄道不等式、つまり太陽の運動速度が一定ではなく、軌道の一部が速くなったり遅くなったりしているように見える現象の証拠として使われました。この時点でギリシャ天文学で理解されていた太陽の年周運動はこの点を考慮していませんでした。太陽は地球を中心とする完全な円軌道を持ち、一定の速度で周回していると想定されていたからです。天文学者ヒッパルコスによると、太陽の軌道の中心を地球からわずかに遠ざけると、観測される太陽の運動をそれほど苦労せずに満たすことができ、太陽の軌道を偏心軌道にすることができます。^[2]

ヒッパルコスに関する知識のほとんどは、プトレマイオスによる彼の著作の引用を通して得られたものです。^[4]ヒッパルコスのモデルの特徴は、地球上の季節の長さの違い（「第一異常」として知られる）と、惑星の逆行運動の出現（「第二異常」として知られる）を説明しました。しかし、ヒッパルコスは惑星の逆行運動の位置と期間に関する予測を観測結果と一致させることはできませんでした。位置か期間を一致させることはできましたが、両方を同時に一致させることはできなかったのです。^[6]

プトレマイオス

ヒッパルコスのモデルとプトレマイオスのモデルの間には、火星の観測された運動に基づいて惑星の運動全般を説明するために提案された中間モデルがありました。このモデルでは、従円の中心が等円の中心でもあり、従円の対称線に沿って移動させることで惑星の逆行運動に合わせることができます。しかし、ヒッパルコスが指摘したように、このモデルは実際の惑星の運動とは一致していませんでした。これは特に、逆行円弧の実際の間隔と幅に関して当てはまり、後にプトレマイオスのモデルによって確認され、比較されるようになりました。^[2]

プトレマイオス自身もこの矛盾を是正するために、自身の著作^[4]に等分点を導入した。彼は等分点を従円の中心から分離し、等分点と従円の中心をそれぞれ独立したモデルの一部とし、従円の中心は惑星の運動を通して静止していると仮定した。^[2]位置は従円と周転円によって決定され、持続時間は等分点の周りの等速運動によって決定された。彼は、等分点の創造に至る経緯について十分な説明や根拠を示すことなく、他の科学論文と同様に、証明を伴い形式的かつ簡潔に提示することのみに決めた。後期の著作においても説明不足を認識していたにもかかわらず、彼はそれ以上の説明を試みなかった。^[2]

プトレマイオスの天文学モデルは、占星術や惑星の位置予測に関する疑問に答える技術的な方法として、ほぼ1500年にわたって用いられました。しかし、後世の多くの天文学者からは、偏心と離心率は、すべての運動が地球を中心としていると仮定する純粋なアリストテレス物理学に反するものとみなされていました。プトレマイオスの宇宙モデルは非常に人気があり、革命的であったため、プトレマイオス自身の著作以外で、それ以前に用いられたモデルの詳細を見つけることは通常非常に困難であると報告されています。^[2]

コペルニクスからケプラーまで

何世紀にもわたって、これらの違反を正すことは学者たちの最大の関心事であり、イブン・アル＝シャティールとコペルニクスによる解決に至りました。プトレマイオスの予言は、何世紀にもわたって関係する学者による絶え間ない検討と修正を必要とし、最終的にウラニボルグにおけるティコ・ブラーエの観測に至りました。

ヨハネス・ケプラーがウラニボルグでティコと共に収集したデータに基づいて『新天文学』を出版するまで、プトレマイオスの天体モデルは新しい幾何学モデルに完全に取って代わられることはなかった。 ^{[7] [8]}

批評家

等速点は、惑星の異常な運動を説明するという最後の主要な問題を解決しましたが、古代ギリシャ哲学者の原理、すなわち地球の周りの等速円運動に反すると考える人もいました。^[9]等速性は一般的に、従点の中心から観測されると想定されていましたが、それはただ1点のみで起こるため、他の点からは非等速運動しか観測されませんでした。プトレマイオスは観測点を従点の中心から等速点に移動させました。これは等速円運動の公理に違反していると考えられます。

等円円説の著名な批判者としては、ペルシャの天文学者ナシル・アッディーン・トゥーシーが挙げられます。彼はトゥーシー対を代替説明として提唱しました^[10] 。また、ニコラウス・コペルニクスは、それぞれの偏円円に対して新たな一対の小さな周転円を代用しました。等円円説への嫌悪は、コペルニクスが太陽中心説を構築する大きな動機となりました^{[11] [12] 。}

従円の中心の周りの等速円運動の破れは、多くの思想家、特にコペルニクスを悩ませました。コペルニクスは『天球回転論』の中で、等速円運動を「奇怪な構成」と呼んでいます。コペルニクスが地球を宇宙の中心からずらしたことで、プトレマイオスの周転円の根本的な必要性はなくなりました。周転円は、地球と惑星の相対運動による遠近法の効果として、逆行運動を説明したのです。しかし、太陽と月の非等速運動は説明できませんでした。コペルニクスは、太陽と月の相対運動を変えませんでした（太陽が地球を周回する軌道を地球が太陽を周回する軌道に書き換えましたが、両者は幾何学的に等価です）。惑星の運動の中心を地球から太陽に移動させたとしても、太陽の非等速運動を説明する必要性は変わりませんでした。コペルニクスは、等速円運動の代わりに、2つ（あるいは複数）のより小さな周転円を用いました。

参照

• 等次元：形容詞として使われる場合、これはequantの同義語です。 ^{[引用が必要]}

参考文献

1. クラウディウス・プトレマイオス『アルマゲスト』（PDF）GJ Toomerによる翻訳。
2. エヴァンス、ジェームズ (1984年4月18日). 「プトレマイオスの等量の機能と推定される起源について」(PDF) . American Journal of Physics . 52 (12): 1080–89 . Bibcode :1984AmJPh..52.1080E. doi :10.1119/1.13764 . 2014年8月29日閲覧。
3. 「偏心円、従円、周転円、等円」の式8を参照。Mathpages。筆者はこれを微分と積分を使った複雑な方法で導出していますが、実際には方程式 3 から直接導かれます。
4. プトレマイオス、クラウディウス。Μαθηματικὴ Σύνταξις (Mathēmatikē Syntaxis) [数学論文 ("Almagest") ]。 9、5.
5. ガイウス・プリニウス・セクンドゥス. 「世界と元素について：同じ星が、ある時はより高く、ある時はより近くに見えるのはなぜか」.博物誌[博物誌]第2巻、第13章. 2014年8月7日閲覧。
6. Equants、ケプラーの『新天文学』第1部より。新天文学。science.larouchepac.com 。 2014年8月1日閲覧。— エクワントの効果に関する優れたビデオ
7. ペリーマン、マイケル (2012年9月17日). 「天体測定の歴史」.ヨーロッパ物理ジャーナルH. 37 ( 5): 745– 792. arXiv : 1209.3563 . Bibcode :2012EPJH...37..745P. doi :10.1140/epjh/e2012-30039-4. S2CID  119111979.
8. Bracco, C.; Provost, J.-P. (2009年7月24日). 「火星が存在しなかったら：ケプラーの等量モデルとその物理的帰結」. European Journal of Physics . 30 (5): 1085– 1092. arXiv : 0906.0484 . Bibcode :2009EJPh...30.1085B. doi :10.1088/0143-0807/30/5/015. S2CID  46989038.
9. ヴァン・ヘルデン。 「天動説システム」。2014 年3 月 20 日に取得。
10. クレイグ・G・フレイザー（2006年）『宇宙：歴史的視点』グリーンウッド出版グループ、39ページ。ISBN 978-0-313-33218-0。
11. クーン、トーマス（1957年）『コペルニクス的転回』ハーバード大学出版局、70-71頁。ISBN 978-0-674-17103-9。 （著作権は1985年に更新されました）
12. Koestler, A. (1959). 『夢遊病者たち：人類の宇宙観の変遷史』ペンギンブックス、ハーモンズワース、英国。322ページ。206ページおよびその参考文献も参照。 「The Sleepwalkers」（アーカイブコピー） – インターネットアーカイブ（archive.org）経由。

外部リンク

• プトレマイオス体系 – ライス大学のガリレオプロジェクト
• プトレマイオス体系の Java シミュレーション – ノーザンイリノイ大学の Paul Stoddard の Animated Virtual Planetarium にて。