有限差分時間領域法では、「Yee格子」を用いてマクスウェル方程式を空間的に離散化します。この手法では、電界と磁界を交互に配置した格子上に配置します。

有限差分時間領域法（FDTD）またはYee 法（1934 年生まれの中国系アメリカ人応用数学者Kane S. Yeeにちなんで命名）は、計算電気力学のモデル化に使用される数値解析手法です。

歴史

時間依存偏微分方程式（PDE）に対する差分法は、長年にわたり数値流体力学の問題に用いられてきました。[1]これには、空間と時間のスタッガードグリッド上の中心差分演算子を用いて2次精度を達成するという考え方も含まれます。[1] Yeeが1966年に発表した画期的な論文[2] で発表したFDTD法の斬新さは、マクスウェルの回転方程式の各電場および磁気ベクトル場成分に対し、空間と時間のスタッガードグリッド上の中心差分演算子を適用するという点でした。「有限差分時間領域」という記述子と、それに対応する略語「FDTD」は、1980年にAllen Tafloveによって考案されました。 [3] 1990年頃から、FDTD法は、電磁波と物質構造との相互作用 を扱う多くの科学的および工学的問題を計算的にモデル化するための主要な手段として登場しました。現在のFDTDモデリングの用途は、近DC （地球全体の電離層導波管を含む超低周波地球物理学）からマイクロ波（レーダーシグネチャ技術、アンテナ、無線通信デバイス、デジタル相互接続、生物医学的画像/治療）、可視光（フォトニック結晶、ナノプラズモニクス、ソリトン、バイオフォトニクス）まで多岐にわたります。[4] 2006年には、科学技術文献に約2,000件のFDTD関連の出版物が掲載されました（人気度を参照）。2013年現在、少なくとも25の商用/独自のFDTDソフトウェアベンダー、13のフリーソフトウェア/オープンソースソフトウェアのFDTDプロジェクト、および2つのフリーウェア/クローズドソースのFDTDプロジェクトがあり、商用利用は許可されていません（外部リンクを参照）。

FDTD法とマクスウェル方程式の発展

マクスウェル方程式に対するFDTD数値解析手法の基礎、技術開発、そして将来性を理解するには、まずその歴史を振り返ることが重要です。以下に、この分野における主要な出版物をいくつか挙げます。

FDTDモデルと手法

マクスウェルの微分方程式を考察すると、電界の時間変化（時間微分）は、磁界の空間分布における変化（回転）に依存することがわかる。このことから、空間内の任意の点において、電界の時間変化は、電界の保存値と磁界の空間分布における局所的な回転に依存するという、FDTD法における基本的な時間ステップ関係が導かれる。[2]

磁界も同様の方法で時間ステップで変化します。空間上の任意の点において、時間的に更新される磁界の値は、保存された磁界の値と、空間における電界の局所分布の数値的回転に依存します。電界と磁界の更新を反復することで、時間的に進行するプロセスが生じます。このプロセスでは、対象とする連続電磁波のサンプルデータ類似体が、コンピュータメモリに保存された数値グリッド内を伝播します。

FDTD法に用いられる標準的な直交座標系Yeeセルの図解。このセルの周りには電界と磁界のベクトル成分が分布している。[2]立方体のボクセルとして可視化され、電界成分は立方体の辺を形成し、磁界成分は立方体の面の法線を形成する。3次元空間格子は、このようなYeeセルの多重集合から構成される。電磁波相互作用構造は、各電界成分に適切な誘電率、各磁界成分に適切な透磁率を割り当てることで、空間格子にマッピングされる。

この記述は、1次元、2次元、3次元のFDTD法に当てはまります。多次元を考慮すると、数値回転の計算は複雑になる可能性があります。Kane Yeeの1966年の独創的な論文では、直交座標系計算グリッドの長方形単位セルの周囲に電界と磁界のベクトル成分を空間的にずらして配置し、各電界ベクトル成分が磁界ベクトル成分のペアの中間に位置するようにし、逆もまた同様とすることを提案しました。[2] 現在Yee格子として知られるこの手法は、非常に堅牢であることが証明されており、現在多くのFDTDソフトウェア構成要素の中核となっています。

さらに、Yeeは、電界と磁界の更新をずらし、各時間ステップの途中で電界の更新を行い、その逆も行うという、時間を進めるためのリープフロッグ方式を提案した。[2]この明示的な時間ステップ方式の利点としては、同時方程式を解く必要がなくなり、さらに散逸のない数値波動伝播が得られる。一方、この方式では数値安定性を確保するために時間ステップに上限が設定される。[9]その結果、特定の種類のシミュレーションでは、完了までに数千もの時間ステップが必要になる場合がある。

FDTD法の使用

マクスウェル方程式のFDTD法を実装するには、まず計算領域を設定する必要があります。計算領域とは、シミュレーションを実行する物理的な領域です。計算領域内の空間の各点における電界と磁界が決定されます。計算領域内の各セルの材質を指定する必要があります。通常、材質は自由空間（空気）、金属、または誘電体のいずれかです。透磁率、誘電率、導電率が指定されていれば、任意の材質を使用できます。

表形式の分散性材料の誘電率は、そのままFDTD法に代入することはできません。代わりに、複数のデバイ項、ドルーデ項、ローレンツ項、あるいは臨界点項を用いて近似することができます。この近似はオープンフィッティングプログラム[67]を用いて得られますが、必ずしも物理的な意味を持つわけではありません。

計算領域とグリッド材質が決定したら、光源を指定します。光源は、電線上の電流、印加電界、または入射平面波のいずれかです。平面波の場合、FDTD法は、任意の形状の物体からの光散乱、様々な入射角における平面周期構造[68] [69] 、および無限周期構造の光子バンド構造[70] [71]をシミュレートするために使用できます。

E場とH場は直接決定されるため、シミュレーションの出力は通常、計算領域内の1点または複数の点におけるE場またはH場となります。シミュレーションは、E場とH場を時間的に前進させます。

シミュレーションによって返されるEフィールドとHフィールドに対して処理が行われる場合があります。また、シミュレーションの実行中にデータ処理が行われる場合もあります。

FDTD法はコンパクトな空間領域内の電磁場を計算するが、散乱および/または放射された遠方場は近傍場から遠方場への変換によって得ることができる。[14]

安定性

FDTD法の線形性のため、FDTD法の安定領域はフォン・ノイマン安定性解析によって決定できる。この手法では、電界と磁界が単色複素指数に比例すると仮定する。単一の時間ステップ後、安定磁界の振幅は一定以下でなければならない。これは、安定性を確保するためのFDTDパラメータの関係を記述するクーラン・フリードリヒス・レヴィ条件に繋がる。[4]

FDTDモデリングの強み

すべてのモデリング手法には長所と短所があり、FDTD 法も例外ではありません。

  • FDTD法は、マクスウェル方程式を解くために使用される汎用的なモデリング手法です。直感的な操作性のため、ユーザーは使い方を簡単に理解し、特定のモデルから何を期待できるかを把握できます。
  • FDTD法は時間領域解析手法であり、広帯域パルス（ガウスパルスなど）を信号源として用いることで、システムの応答を広範囲の周波数にわたって1回のシミュレーションで得ることができます。これは、共振周波数が正確に分かっていないアプリケーションや、広帯域の解析結果が必要な場合に役立ちます。
  • FDTD法は、計算領域内のあらゆる場所における電界と磁界を時間経過とともに変化させながら計算するため、モデル内における電磁場の動きをアニメーションで表示することができます。この表示は、モデル内で何が起こっているかを理解し、モデルが正しく動作していることを確認するのに役立ちます。
  • FDTD法では、計算領域内のあらゆる点において材料を指定できます。多様な線形および非線形の誘電体や磁性材料を自然かつ容易にモデル化できます。
  • FDTD法を用いると、開口部の影響を直接的に求めることができます。遮蔽効果を求めることができ、構造物の内外の電界を直接的または間接的に求めることができます。
  • FDTD法は電界と磁界を直接使用します。ほとんどのEMI/EMCモデリングアプリケーションは電界と磁界に着目するため、シミュレーション実行後にこれらの値を取得するために変換を行う必要がないのは便利です。

FDTDモデリングの弱点

単純な1次元FDTD法による方形パルス信号の数値分散。パルスのエッジ付近のリンギングアーティファクトが顕著に現れ（ギブス現象）、分散媒質がない場合でも信号は伝播するにつれて歪む。このアーティファクトは離散化法の直接的な結果である。[4]
  • FDTD法では計算領域全体をグリッド化する必要があり、グリッド空間の離散化はモデル内の最小の電磁波波長と最小の幾何学的特徴の両方を解像できるほど十分に細かくなければならないため、非常に大きな計算領域が構築され、その結果、解読時間が非常に長くなります。細長い形状（例えばワイヤー）を持つモデルは、必要となる計算領域が非常に大きくなるため、FDTD法ではモデル化が困難です。固有モード展開法などの手法は、Z方向の細かいグリッドを必要としないため、より効率的な代替手段となります。[72]
  • 材料界面における誘電率と透磁率の一意の値を決定する方法はありません。
  • 空間ステップと時間ステップはCFL 条件を満たす必要があります。そうでないと、偏微分方程式を解くために使用されるリープフロッグ積分が不安定になる可能性があります。
  • FDTD法は、計算領域内のあらゆる場所における電界/磁界を直接求めます。ある距離における電界値を求める場合、その距離によって計算領域が過度に大きくなる可能性があります。FDTD法では遠方場拡張が可能ですが、ある程度の後処理が必要です。[4]
  • FDTDシミュレーションは計算領域内のすべての点における電界と磁界を計算するため、計算領域はコンピュータメモリに格納できるように有限でなければなりません。多くの場合、これはシミュレーション空間に人工的な境界を挿入することによって実現されます。このような境界によって生じる誤差を最小限に抑えるよう注意が必要です。無限で境界のない計算領域をシミュレートするための、非常に効果的な吸収境界条件（ABC）が数多く利用可能です。[4]最近のFDTD実装のほとんどは、吸収境界を実現するために、完全整合層（PML） と呼ばれる特殊な吸収「材料」を使用しています。 [42] [47]
  • FDTD法は時間領域において電磁場を前方に伝播させることで解くため、媒質の電磁時間応答を明示的にモデル化する必要があります。任意の応答に対しては、計算コストの高い時間畳み込みが必要になりますが、ほとんどの場合、媒質（または分散（光学））の時間応答は、再帰畳み込み（RC）法、補助微分方程式（ADE）法、またはZ変換法のいずれかを用いて適切かつ簡単にモデル化できます。マクスウェル方程式を解く別の方法として、任意の分散を容易に扱うことができる擬似スペクトル空間領域（PSSD）法があります。これは、空間において電磁場を前方に伝播させる方法です。

グリッド切り捨て技術

オープン領域 FDTD モデリング問題で最も一般的に使用されるグリッド切り捨て手法は、Mur 吸収境界条件 (ABC)、[13]、 Liao ABC、[16]、およびさまざまな完全整合層(PML) 定式化です。[4] [43] [42] [47] Mur 手法と Liao 手法は PML よりも単純です。ただし、PML (技術的には境界条件自体ではなく吸収領域) は、桁違いに低い反射を提供できます。 PML の概念は、1994 年に J.-P. Berenger によって Journal of Computational Physics に発表された画期的な論文で導入されました。[42] 1994 年以来、Berenger のオリジナルの分割フィールド実装は修正され、単軸 PML (UPML)、畳み込み PML (CPML)、および高次 PML に拡張されてきました。後者の 2 つの PML 定式化では、エバネッセント波を吸収する能力が向上しているため、原理的には、Berenger の元の定式化よりもシミュレートされた散乱構造または放射構造の近くに配置できます。

PMLからの不要な数値反射を減らすために、追加の背面吸収層技術を使用することができる。[73]

人気


同時期に学術出版のスループットが全体的に増加し、あらゆる計算電磁気学 (CEM) 技術への関心が全体的に高まったにもかかわらず、マクスウェル方程式の FDTD 計算ソリューション アプローチへの関心が大幅に高まった主な理由は 7 つあります。

  1. FDTD法は逆行列演算を必要としません。FDTD法は完全に明示的な計算であるため、逆行列演算に伴う問題を回避できます。逆行列演算は周波数領域積分方程式や有限要素電磁気学モデルのサイズを、一般的に10 9 個未満の電磁場未知数に制限します。[4] FDTD法では、10 9個もの電磁場未知数を持つモデルも実行されていますが、この数には固有の上限はありません。[4]
  2. FDTD法は正確かつ堅牢です。FDTD法の計算における誤差の原因は十分に理解されており、その範囲を限定することで、非常に多様な電磁波相互作用問題に対して正確なモデルを構築することができます。[4]
  3. FDTD法はインパルス的な挙動を自然に扱います。時間領域法であるFDTD法は、電磁システムのインパルス応答を直接計算します。そのため、単一のFDTDシミュレーションで、超広帯域の時間波形または励起スペクトル内の任意の周波数における正弦波の定常応答のいずれかを得ることができます。[4]
  4. FDTD法は非線形挙動を自然に扱います。時間領域法であるFDTD法は、電磁気システムの非線形応答を直接計算します。これにより、FDTD法は、古典的または半古典的な観点から非線形性を記述する補助微分方程式と自然に融合することができます。[4]研究の最前線の一つは、FDTD法による古典電磁力学モデルと、量子電磁力学、特にカシミール効果 などの真空揺らぎに起因する現象を融合するハイブリッドアルゴリズムの開発です。[4] [74]
  5. FDTD法は体系的なアプローチです。FDTD法を用いると、モデル化対象となる新しい構造の指定は、複雑な積分方程式の再定式化ではなく、メッシュ生成の問題に簡略化されます。例えば、FDTD法では構造に依存するグリーン関数の計算は不要です。[4]
  6. 並列処理コンピュータアーキテクチャはスーパーコンピューティングの主流となってきました。FDTDは並列処理CPUベースのコンピュータ上で高い効率でスケーリングし、最近開発されたGPUベースのアクセラレータ技術でも非常に優れた性能を発揮します。[4]
  7. コンピュータ可視化能力は急速に向上しています。この傾向はあらゆる数値解析手法にプラスの影響を与えていますが、特にFDTD法には大きな利点があります。FDTD法は、フィールドのダイナミクスを示すカラービデオに適した、フィールド量の時間進行配列を生成することができます。[4]
  8. FDTD法では異方性は自然に扱われます。各直交座標方向に成分を持つYeeセルは、異方性特性を持つように容易に構成できます。[4]

タフローブは、これらの要因が組み合わさって、FDTDが計算電気力学の主要な手法の1つであり続けることを示唆していると主張している（そして、潜在的には他のマルチフィジックス問題でもそうである）。[4]

参照

参考文献

  1. ^ ab J. von Neumann; RD Richtmyer (1950年3月). 「流体衝撃波の数値計算法」. Journal of Applied Physics . 21 (3): 232– 237. Bibcode :1950JAP....21..232V. doi :10.1063/1.1699639.
  2. ^ abcdef Kane Yee (1966). 「等方性媒質におけるマクスウェル方程式を含む初期境界値問題の数値解」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 14 (3): 302– 307. Bibcode :1966ITAP...14..302Y. doi :10.1109/TAP.1966.1138693. S2CID  122712881.
  3. ^ ab A. Taflove (1980). 「有限差分時間領域法の正弦波定常電磁波浸透問題への応用」(PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 22 (3): 191– 202. Bibcode :1980ITElC..22..191T. doi :10.1109/TEMC.1980.303879. S2CID  39236486.
  4. ^ abcdefghijklmnopq アレン・タフラブ、スーザン・C・ハグネス(2005). 計算電気力学：有限差分時間領域法、第3版. Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9。
  5. ^ Taflove and Hagness (2005) の許可を得て改変。
  6. ^ リチャード・クーラント;クルト・オットー・フリードリヒス。ハンス・レヴィ (1928)。「数学物理学における重要な部分」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。100 (1): 32–74。書誌コード:1928MatAn.100...32C。土井：10.1007/BF01448839。JFM  54.0486.01。MR  1512478。S2CID 120760331  。
  7. ^ GG O'Brien, M. A Hyman, S. Kaplan (1950). 「偏微分方程式の数値解に関する研究」. Journal of Mathematical Physics . 29 (1): 223– 251. doi :10.1002/sapm1950291223. MR  0040805. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  8. ^ Dong-Hoa Lam (1969). 「電磁散乱問題のための有限差分法」(PDF) .ミシシッピ州立大学, Interaction Notes . 44 .
  9. ^ ab A. Taflove; ME Brodwin (1975). 「時間依存マクスウェル方程式を用いた定常電磁散乱問題の数値解法」(PDF) . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 23 (8): 623– 630. Bibcode :1975ITMTT..23..623T. doi :10.1109/TMTT.1975.1128640.
  10. ^ A. Taflove; ME Brodwin (1975). 「マイクロ波照射を受けたヒトの眼球モデルにおける電磁場と誘導温度の計算」(PDF) . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 23 (11): 888– 896. Bibcode :1975ITMTT..23..888T. doi :10.1109/TMTT.1975.1128708.
  11. ^ R. Holland (1977). 「Threde: 自由場EMP結合および散乱コード」. IEEE Transactions on Nuclear Science . 24 (6): 2416– 2421. Bibcode :1977ITNS...24.2416H. doi :10.1109/TNS.1977.4329229. S2CID  35395821.
  12. ^ KS Kunz; KM Lee (1978). 「複雑な過渡電磁環境に対する航空機の外部応答の3次元差分法」IEEE Trans. Electromagn. Compat. 20 (2): 333– 341. doi :10.1109/TEMC.1978.303727. S2CID  31666283.
  13. ^ ab G. Mur (1981). 「時間領域電磁場方程式の有限差分近似における吸収境界条件」. IEEE Trans. Electromagn. Compat. 23 (4): 377– 382. doi :10.1109/TEMC.1981.303970. S2CID  25768246.
  14. ^ ab KR Umashankar; A. Taflove (1982). 「複雑な物体の電磁散乱を解析するための新しい手法」(PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 24 (4): 397– 405. Bibcode :1982ITElC..24..397U. doi :10.1109/TEMC.1982.304054. S2CID  37962500.
  15. ^ A. Taflove; KR Umashankar (1983). 「一般的な3次元散乱体のレーダー断面積」(PDF) . IEEE Trans. Electromagn. Compat. 25 (4): 433– 440. doi :10.1109/TEMC.1983.304133. S2CID  40419955.
  16. ^ ab ZP Liao; HL Wong; BP Yang; YF Yuan (1984). 「過渡波解析のための透過境界」. Scientia Sinica, Series A. 27 : 1063–1076 .
  17. ^ W. Gwarek (1985). 「任意形状平面回路の解析 — 時間領域アプローチ」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 33 (10): 1067– 1072. Bibcode :1985ITMTT..33.1067G. doi :10.1109/TMTT.1985.1133170.
  18. ^ DH Choi; WJ Hoefer (1986). 「有限差分時間領域法と固有値問題への応用」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 34 (12): 1464– 1470. Bibcode :1986ITMTT..34.1464C. doi :10.1109/TMTT.1986.1133564.
  19. ^ GA Kriegsmann; A. Taflove; KR Umashankar (1987). 「表面放射境界条件アプローチを用いた電磁波散乱の新しい定式化」(PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 35 (2): 153– 161. Bibcode :1987ITAP...35..153K. doi :10.1109/TAP.1987.1144062.
  20. ^ TG Moore; JG Blaschak; A. Taflove; GA Kriegsmann (1988). 「放射境界演算子の理論と応用」(PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (12): 1797– 1812. Bibcode :1988ITAP...36.1797M. doi :10.1109/8.14402.
  21. ^ KR Umashankar; A. Taflove; B. Beker (1987). 「任意形状キャビティ内の結合線路に発生する誘導電流の計算と実験的検証」(PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 35 (11): 1248– 1257. Bibcode :1987ITAP...35.1248U. doi :10.1109/TAP.1987.1144000.
  22. ^ A. Taflove; KR Umashankar; B. Beker; FA Harfoush; KS Yee (1988). 「厚い導電性スクリーンの狭いスロットと重ね合わせた接合部を貫通する電磁場の詳細なFDTD解析」(PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (2): 247– 257. Bibcode :1988ITAP...36..247T. doi :10.1109/8.1102.
  23. ^ TG Jurgens; A. Taflove; KR Umashankar; TG Moore (1992). 「曲面の有限差分時間領域モデリング」(PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 40 (4): 357– 366. Bibcode :1992ITAP...40..357J. doi :10.1109/8.138836.
  24. ^ DM Sullivan; OP Gandhi; A. Taflove (1988). 「人体モデルにおける電磁波吸収の計算における有限差分時間領域法の使用」(PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 35 (3): 179– 186. doi :10.1109/10.1360. PMID  3350546. S2CID  20350396.
  25. ^ X. Zhang; J. Fang; KK Mei; Y. Liu (1988). 「時間領域有限差分法によるマイクロストリップの分散特性の計算」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 36 (2): 263– 267. Bibcode :1988ITMTT..36..263Z. doi :10.1109/22.3514.
  26. ^ T. Kashiwa; I. Fukai (1990). 「FDTD法による電子分極に伴う分散特性の解析」. Microwave and Optical Technology Letters . 3 (6): 203– 205. doi :10.1002/mop.4650030606.
  27. ^ R. Luebbers; F. Hunsberger; K. Kunz; R. Standler; M. Schneider (1990). 「分散性材料のための周波数依存有限差分時間領域定式化」. IEEE Trans. Electromagn. Compat. 32 (3): 222– 227. doi :10.1109/15.57116.
  28. ^ RM Joseph; SC Hagness; A. Taflove (1991). 「吸収を伴う線形分散媒質におけるマクスウェル方程式の直接時間積分によるフェムト秒電磁パルスの散乱と伝播」(PDF) . Optics Letters . 16 (18): 1412–4 . Bibcode :1991OptL...16.1412J. doi :10.1364/OL.16.001412. PMID  19776986.
  29. ^ JG Maloney; GS Smith; WR Scott Jr. (1990). 「有限差分時間領域法を用いた単純アンテナからの放射の正確な計算」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 38 (7): 1059– 1068. Bibcode :1990ITAP...38.1059M. doi :10.1109/8.55618. S2CID  31583883.
  30. ^ DS Katz; A. Taflove ; MJ Piket-May ; KR Umashankar (1991). 「ホーンアンテナを含むシステムからの電磁波放射のFDTD解析」(PDF) . IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 39 (8): 1203– 1212. Bibcode :1991ITAP...39.1203K. doi :10.1109/8.97356.
  31. ^ PA Tirkas; CA Balanis (1991). 「ホーンアンテナからの放射に関する有限差分時間領域法」.アンテナ・伝播学会シンポジウム 1991 ダイジェスト. 第3巻. pp.  1750– 1753. doi :10.1109/APS.1991.175196. ISBN 978-0-7803-0144-3. S2CID  122038624。
  32. ^ E. Sano; T. Shibata (1990). 「ピコ秒光伝導スイッチの全波解析」. IEEE Journal of Quantum Electronics . 26 (2): 372– 377. Bibcode :1990IJQE...26..372S. doi :10.1109/3.44970.
  33. ^ SM El-Ghazaly; RP Joshi; RO Grondin (1990). 「サブピコ秒光伝導スイッチモデリングにおける電磁気的および輸送的考察」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 38 (5): 629– 637. Bibcode :1990ITMTT..38..629E. doi :10.1109/22.54932.
  34. ^ PM Goorjian; A. Taflove (1992). 「非線形分散媒質におけるマクスウェル方程式の直接時間積分によるフェムト秒電磁ソリトンの伝播と散乱」(PDF) . Optics Letters . 17 (3): 180– 182. Bibcode :1992OptL...17..180G. doi :10.1364/OL.17.000180. PMID  19784268.
  35. ^ RW Ziolkowski; JB Judkins (1993). 「有限応答時間を示す非線形カー媒質における超短光パルスの自己集束の全波ベクトルマクスウェル方程式モデリング」アメリカ光学会誌 B . 10 (2): 186– 198. Bibcode :1993JOSAB..10..186Z. doi :10.1364/JOSAB.10.000186.
  36. ^ RM Joseph; PM Goorjian; A. Taflove (1993). 「2次元誘電体導波路におけるマクスウェル方程式の直接時間積分によるフェムト秒電磁ソリトンの伝搬と散乱」(PDF) . Optics Letters . 18 (7): 491–3 . Bibcode :1993OptL...18..491J. doi :10.1364/OL.18.000491. PMID  19802177.
  37. ^ RM Joseph; A. Taflove (1994). 「FDTDマクスウェル方程式モデリングによる空間ソリトン偏向メカニズム」(PDF) . IEEE Photonics Technology Letters . 2 (10): 1251– 1254. Bibcode :1994IPTL....6.1251J. doi :10.1109/68.329654. S2CID  46710331.
  38. ^ W. Sui; DA Christensen; CH Durney (1992). 「2次元FDTD法の能動・受動集中定数素子を用いたハイブリッド電磁システムへの拡張」IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 40 (4): 724– 730. Bibcode :1992ITMTT..40..724S. doi :10.1109/22.127522.
  39. ^ B. Toland; B. Houshmand; T. Itoh (1993). 「FDTD法による非線形活性領域のモデリング」. IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 3 (9): 333– 335. doi :10.1109/75.244870. S2CID  27549555.
  40. ^ Aoyagi, PH; Lee, JF; Mittra, R. (1993). 「ハイブリッドYeeアルゴリズム／スカラー波動方程式アプローチ」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 41 (9): 1593– 1600. Bibcode :1993ITMTT..41.1593A. doi :10.1109/22.245683.
  41. ^ VA Thomas; ME Jones; MJ Piket-May ; A. Taflove; E. Harrigan (1994). 「FDTD法による高速電子回路設計におけるサブグリッドモデルとしてのSPICE集中定数回路の利用」(PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (5): 141– 143. doi :10.1109/75.289516. S2CID  32905331.
  42. ^ abcd J. Berenger (1994). 「電磁波吸収のための完全整合層」(PDF) . Journal of Computational Physics . 114 (2): 185– 200. Bibcode :1994JCoPh.114..185B. doi :10.1006/jcph.1994.1159.
  43. ^ ab EA Navarro; C. Wu; PY Chung; J. Litva (1994). 「PML超吸収境界条件の非直交FDTD法への適用」. Electronics Letters . 30 (20): 1654– 1656. Bibcode :1994ElL....30.1654N. doi :10.1049/el:19941139.
  44. ^ DS Katz; ET Thiele; A. Taflove (1994). 「FDTDメッシュにおけるベレンジャーPML吸収境界条件の検証と3次元への拡張」(PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (8): 268– 270. doi :10.1109/75.311494. S2CID  10156811.
  45. ^ CE Reuter; RM Joseph; ET Thiele; DS Katz; A. Taflove (1994). 「FDTDシミュレーションにおける導波構造の終端に関する超広帯域吸収境界条件」(PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 4 (10): 344– 346. doi :10.1109/75.324711. S2CID  24572883.
  46. ^ WC Chew; WH Weedon (1994). 「引き伸ばされた座標を用いた修正マクスウェル方程式による3次元完全整合媒質」.マイクロ波・光技術レター. 7 (13): 599– 604.書誌コード:1994MiOTL...7..599C. doi :10.1002/mop.4650071304.
  47. ^ abc SD Gedney (1996). 「FDTD格子の切断のための異方性完全整合層吸収媒体」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 44 (12): 1630– 1639. Bibcode :1996ITAP...44.1630G. doi :10.1109/8.546249.
  48. ^ ZS Sacks; DM Kingsland; R. Lee; JF Lee (1995). 「吸収境界条件として用いるための完全に整合した異方性吸収体」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 43 (12): 1460– 1463. Bibcode :1995ITAP...43.1460S. doi :10.1109/8.477075.
  49. ^ QH Liu (1997). 「擬似スペクトル時間領域法（PSTD）: マクスウェル方程式の解のための新しいアルゴリズム」IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium 1997. ダイジェスト. 第1巻. pp.  122– 125. doi :10.1109/APS.1997.630102. ISBN 978-0-7803-4178-4. S2CID  21345353。
  50. ^ OM Ramahi (1997). 「FDTDシミュレーションにおける相補演算子法」. IEEE Antennas and Propagation Magazine . 39 (6): 33– 45. Bibcode :1997IAPM...39...33R. doi :10.1109/74.646801.
  51. ^ JG Maloney; MP Kesler (1998). 「周期構造の解析」. 『計算電気力学の進歩：有限差分時間領域法』A. Taflove編、Artech House, Publishers, 第6章.
  52. ^ AS Nagra; RA York (1998). 「非線形吸収・利得媒質における波動伝搬のFDTD解析」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 46 (3): 334– 340. Bibcode :1998ITAP...46..334N. doi :10.1109/8.662652.
  53. ^ SC Hagness; A. Taflove; JE Bridges (1998). 「乳がん検出のためのパルスマイクロ波共焦点システムの2次元FDTD解析：固定焦点およびアンテナアレイセンサー」（PDF） . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 45 (12): 1470– 1479. doi :10.1109/10.730440. PMID  9835195. S2CID  6169784.
  54. ^ JB Schneider; CL Wagner (1999). 「FDTD分散の再考：光より速い伝搬」. IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 54– 56. CiteSeerX 10.1.1.77.9132 . doi :10.1109/75.755044. 
  55. ^ F. Zhen; Z. Chen; J. Zhang (2000). 「3次元無条件安定有限差分時間領域法の開発に向けて」IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 48 (9): 1550– 1558. Bibcode :2000ITMTT..48.1550Z. doi :10.1109/22.869007.
  56. ^ F. Zheng; Z. Chen (2001). 「無条件安定3次元ADI-FDTD法の数値分散解析」. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 49 (5): 1006– 1009. Bibcode :2001ITMTT..49.1006Z. doi :10.1109/22.920165.
  57. ^ JA Roden; SD Gedney (2000). 「畳み込みPML（CPML）：任意の媒質に対するCFS-PMLの効率的なFDTD実装」. Microwave and Optical Technology Letters . 27 (5): 334– 339. doi :10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A. 2013年1月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  58. ^ T. Rylander; A. Bondeson (2000). 「マクスウェル方程式のための安定FDTD-FEMハイブリッド法」. Computer Physics Communications . 125 ( 1–3 ): 75–82 . doi :10.1016/S0010-4655(99)00463-4.
  59. ^ M. Hayakawa; T. Otsuyama (2002). 「FDTD法によるELF波動伝搬の不均質電離層下導波路モデル解析」. ACES Journal . 17 : 239–244 . 2012年5月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  60. ^ JJ Simpson; A. Taflove (2002). 「地球の対蹠ELF伝搬とシューマン共鳴の2次元FDTDモデル」(PDF) . IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters . 1 (2): 53– 56. Bibcode :2002IAWPL...1...53S. CiteSeerX 10.1.1.694.4837 . doi :10.1109/LAWP.2002.805123. S2CID  368964. 2010年6月17日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 
  61. ^ H. De Raedt; K. Michielsen; JS Kole; MT Figge (2003). 「チェビシェフ法によるマクスウェル方程式の解法：ワンステップ有限差分時間領域アルゴリズム」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 51 (11): 3155– 3160. arXiv : physics/0208060 . Bibcode :2003ITAP...51.3155D. doi :10.1109/TAP.2003.818809. S2CID  119095479.
  62. ^ A. Soriano; EA Navarro; J. Portí; V. Such (2004). 「量子デバイスにおけるシュレーディンガー方程式を解くための有限差分時間領域法の解析」. Journal of Applied Physics . 95 (12): 8011– 8018. Bibcode :2004JAP....95.8011S. doi :10.1063/1.1753661. hdl : 10550/12837 .
  63. ^ I. Ahmed; EK Chua; EP Li; Z. Chen (2008). 「3次元無条件安定LOD-FDTD法の開発」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 56 (11): 3596– 3600. Bibcode :2008ITAP...56.3596A. doi :10.1109/TAP.2008.2005544. S2CID  31351974.
  64. ^ 谷口雄三; 馬場雄三; 長岡尚志; 雨谷明生 (2008). 「FDTD計算のための改良された細線表現」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 56 (10): 3248– 3252. Bibcode :2008ITAP...56.3248T. doi :10.1109/TAP.2008.929447. S2CID  29617214.
  65. ^ RMS de Oliveira; CLSS Sobrinho (2009). 「有限差分時間領域法による変電所における落雷シミュレーションのための計算環境」IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility . 51 (4): 995– 1000. doi :10.1109/TEMC.2009.2028879.
  66. ^ RMS de Oliveira; RR Paiva (2021). 「最小二乗法有限差分時間領域法」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 69 (9): 6111– 6115. Bibcode :2021ITAP...69.6111D. doi :10.1109/TAP.2021.3069576. S2CID  234307029.
  67. ^ 「誘電関数のフィッティング」。
  68. ^ I. Valuev; A. Deinega; S. Belousov (2008). 「有限差分時間領域法における斜入射周期構造解析のための反復法」. Opt. Lett . 33 (13): 1491–3 . Bibcode :2008OptL...33.1491V. doi :10.1364/ol.33.001491. PMID  18594675.
  69. ^ A. Aminian; Y. Rahmat-Samii (2006). 「スペクトルFDTD法：周期構造における斜入射平面波の解析のための新技術」IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 54 (6): 1818– 1825. Bibcode :2006ITAP...54.1818A. doi :10.1109/tap.2006.875484. S2CID  25120679.
  70. ^ A. Deinega; S. Belousov; I. Valuev (2009). 「層状周期構造のためのハイブリッド転送マトリックスFDTD法」. Opt. Lett . 34 (6): 860–2 . Bibcode :2009OptL...34..860D. doi :10.1364/ol.34.000860. PMID  19282957. S2CID  27742034.
  71. ^ Y. Hao; R. Mittra (2009). メタマテリアルのFDTDモデリング：理論と応用. Artech House Publishers.
  72. ^ D. Gallagher (2008). 「フォトニクスCADの成熟」(PDF) . LEOSニュースレター.
  73. ^ A. Deinega; I. Valuev (2011). 「層状周期構造におけるPML吸収境界の長時間挙動」. Comput. Phys. Commun . 182 (1): 149– 151. Bibcode :2011CoPhC.182..149D. doi :10.1016/j.cpc.2010.06.006.
  74. ^ SG Johnson、「カシミール相互作用を計算するための数値的手法」、Casimir Physics（D. Dalvit、P. Milonni、D. Roberts、F. da Rosa編）、Lecture Notes in Physics第834巻、第6章、pp. 175–218、ベルリン：Springer、2011年6月。

さらに読む

Nature Milestones: Photonsの次の記事は、マクスウェル方程式に関連した FDTD 法の歴史的重要性を説明しています。

  • デイヴィッド・パイル (2010年5月). 「マイルストーン2 (1861) マクスウェル方程式」 . Nature Milestones: Photons . doi : 10.1038/nmat2639 . 2010年6月17日閲覧.

マクスウェル方程式の出版150周年を記念したNature Photonics誌2015年1月号の特集号に掲載された、アレン・タフローブ氏へのインタビュー「数値解」。このインタビューでは、FDTD法の発展がマクスウェルの電気力学理論の150年にわたる歴史とどのように結びついているかについて触れています。

  • ネイチャーフォトニクスのインタビュー

以下の大学レベルの教科書は、FDTD 法の一般的な入門書として最適です。

  • Wenhua Yu、Raj Mittra、Tao Su、Yongjun Liu、Xiaoling Yang (2006). 並列有限差分時間領域法. Artech House Publishers. ISBN 978-1-59693-085-8。
  • John B. Schneider (2010). FDTD法の理解. オンラインで入手可能.
ウィキメディア コモンズには、有限差分時間領域法に関連するメディアがあります。

フリーソフトウェア/オープンソースソフトウェアFDTD プロジェクト:

  • FDTD++: 高度なフル機能のFDTDソフトウェア、洗練された材料モデルと定義済みのフィット、ディスカッション/サポートフォーラム、電子メールサポート
  • openEMS (C++ で記述され、Matlab / Octaveインターフェイスを使用した、完全な 3D 直交座標および円筒形の段階的メッシュ EC-FDTD ソルバー)
  • pFDTD (Se-Heon Kim が開発した 3D C++ FDTD コード)
  • JFDTD (Jeffrey M. McMahon がナノフォトニクス向けに開発した 2D/3D C++ FDTD コード)
  • WOLFSIM 2008-07-02ウェイバックマシンにアーカイブ(NCSU) (2-D)
  • Meep ( MIT、2D/3D/円筒並列FDTD)
  • （地理）レーダーFDTD
  • bigboy (メンテナンスされていない、リリース ファイルはありません。ソースは CVS から取得する必要があります)
  • C++ の並列 (MPI&OpenMP) FDTD コード (Zs. Szabó によって開発)
  • Fortran 90のFDTDコード
  • 2次元電磁波シミュレーションのためのC言語によるFDTDコード
  • Angora (3D 並列 FDTD ソフトウェア パッケージ、Ilker R. Capoglu が管理)
  • GSvit (グラフィック カード コンピューティングをサポートする C 言語で記述された 3D FDTD ソルバー、グラフィカル ユーザー インターフェイス XSvit が利用可能)
  • gprMax (オープンソース (GPLv3)、GPR 用に開発された Python/Cython の 3D/2D FDTD モデリング コードですが、一般的な EM モデリングにも使用できます。)

フリーウェア/クローズドソースのFDTD プロジェクト (一部商用利用不可):

  • EMTL (電磁気テンプレート ライブラリ) (電磁気シミュレーション用の無料の C++ ライブラリ。現在のバージョンでは主に FDTD を実装しています)。