有限幾何学

有限幾何学とは、点の数が有限な幾何学体系のことである。ユークリッド直線には無限個の点が含まれるため、よく知られているユークリッド幾何学は有限ではない。ピクセルが点であるとみなされる、コンピュータ画面に表示されるグラフィックスに基づく幾何学は有限幾何学であろう。有限幾何学と呼べる体系は数多くあるが、その規則性と単純さから、有限射影空間とアフィン空間が主に注目されている。その他の重要な有限幾何学のタイプには、有限メビウス平面または反転平面とラゲール平面があり、これらはベンツ平面と呼ばれる一般的なタイプの例であり、高次有限反転幾何学などのそれらの高次元類似物である。

有限幾何学は、有限体上のベクトル空間から始めて、線型代数を介して構築できます。このようにして構築されたアフィン平面と射影平面はガロア幾何学と呼ばれます。有限幾何学は、純粋に公理的に定義することもできます。最も一般的な有限幾何学はガロア幾何学です。これは、 3次元以上の任意の有限射影空間が有限体上の射影空間に同型であるためです（つまり、有限体上のベクトル空間の射影化です）。ただし、2次元には、ガロア幾何学と同型ではないアフィン平面と射影平面、つまり非デザルグ平面があります。同様の結果は、他の種類の有限幾何学にも当てはまります。

有限平面

以下の説明は有限平面にのみ適用されます。有限平面幾何学には、主にアフィン幾何学と射影幾何学の2種類があります。アフィン平面では、通常の平行線の意味が適用されます。一方、射影平面では、任意の2直線は1つの点で交差するため、平行線は存在しません。有限アフィン平面幾何学と有限射影平面幾何学はどちらも、かなり単純な公理によって記述できます。

有限アフィン平面

アフィン平面幾何学は、空でない集合X (その要素は「点」と呼ばれる) と、Xのサブセットの空でないコレクションL (その要素は「線」と呼ばれる) で構成され、次のようになります。

2 つの異なる点ごとに、両方の点を含む 1 本の線が存在します。
プレイフェアの公理：直線と上にない点が与えられたとき、を含む直線が1本だけ存在し、 $\ell$ $p$ $\ell$ $\ell '$ $p$ $\ell \cap \ell '=\varnothing .$
4 つの点の集合が存在し、そのうちの 3 つが同じ直線に属していることはありません。

最後の公理は、幾何学が自明ではないこと（空であるか、任意の数の点がある単一の線など、興味の対象にならないほど単純ではないこと）を保証しますが、最初の 2 つは幾何学の性質を指定します。

最も単純なアフィン平面は4点のみで構成され、位数2のアフィン平面と呼ばれます。（アフィン平面の位数は、任意の直線上の点の数です。後述）。3点が同一直線上には存在しないため、任意の2点から一意の直線が決定されます。したがって、この平面には6本の直線が含まれます。これは、交差しない辺が「平行」とみなされる正四面体、または対辺だけでなく対角線も「平行」とみなされる正方形に相当します。

3次のアフィン平面はヘッセ配置として知られています。

より一般的には、順序nの有限アフィン平面にはn ²個の点とn ² + n個の直線があり、各直線にはn個の点が含まれ、各点はn + 1本の直線上にあります。

有限射影平面

射影平面幾何学は、空でない集合X (その要素は「点」と呼ばれる) と、Xの部分集合の空でないコレクションL (その要素は「線」と呼ばれる) から成り、次のようになります。

2 つの異なる点ごとに、両方の点を含む 1 本の線が存在します。
任意の 2 つの異なる直線の交点には、正確に 1 つの点が含まれます。
4 つの点の集合が存在し、そのうちの 3 つが同じ直線に属していることはありません。

最初の2つの公理を調べると、点と直線の役割が入れ替わっている点を除けば、それらはほぼ同一であることがわかります。これは射影平面幾何学における双対性の原理を示唆しており、つまり、これらのすべての幾何学において成立する任意の真な命題は、点を直線に、直線を点に置き換えても真のままであることを意味します。3つの公理すべてを満たす最小の幾何学には7つの点が含まれます。この最も単純な射影平面には、7つの直線があり、各点は3つの直線上にあり、各直線には3つの点が含まれます。

この特定の射影平面は、ファノ平面と呼ばれることもあります。平面から任意の直線とその直線上の点を除去すると、得られる幾何学は位数2のアフィン平面となります。ファノ平面は（同型性を除いて）一意であるため、位数2の射影平面と呼ばれます。一般に、位数nの射影平面にはn ² + n + 1個の点と同数の直線があり、各直線にはn + 1個の点が含まれ、各点はn + 1個の直線上にあります。

ファノ平面の7点の置換で、同一直線上の点を同一直線上の点に置き換えるものを、平面の共線化（colineation）と呼ぶ。共線化群の位数は168で、群 PSL(2,7) ≈ PSL(3,2) と同型である。この特別な場合、群 PSL(2,7) ≈ PSL(3,2) は一般線型群 GL(3,2) ≈ PGL(3,2)とも同型である。

飛行機の順序

n位の有限平面とは、各直線がn点を持つ平面（アフィン平面の場合）または各直線がn + 1 点を持つ平面（射影平面の場合）である。有限幾何学における主要な未解決問題の一つは、以下の通りである。

有限平面の位数は常に素数冪ですか?

これは真実であると推測されます。

n が素数（正の整数指数の素数）のべき乗であるとき、 n = p ^k個の元を持つ有限体上のアフィン平面と射影平面を用いることで、n位のアフィン平面と射影平面が存在する。有限体から導出されない平面も存在する（例えばの場合）が、既知の例はすべて位数が素数である。^[1] $n=9$

現在までに得られた最も優れた一般的な結果は、 1949 年のブルック・ライザー定理であり、次のように述べられています。

nが4 k + 1または4 k + 2の形式の正の整数であり、n が2 つの整数の平方の和に等しくない場合、n は有限平面の順序として発生しません。

素数冪ではなく、ブルック＝ライザー定理の適用範囲外となる最小の整数は10である。10は4 k + 2の形をとるが、 1 ² + 3 ²の平方和に等しい。10の位数を持つ有限平面が存在しないことは、 1989年に完了したコンピュータ支援による証明によって証明された。詳細は(Lam 1991)を参照のこと。

次に考慮すべき最小の数字は 12 ですが、これについては、正の結果も負の結果も証明されていません。

歴史

個々の例は、トーマス・ペントン・カークマン(1847)の研究や、フォン・シュタウト(1856)による有限射影幾何学の体系的な展開に見ることができます。

有限射影幾何学の最初の公理的扱いは、イタリアの数学者ジーノ・ファーノによって発展した。彼が展開した射影 n 空間の公理集合の独立性を証明する研究^{[2]において}^[3]、彼は15個の点、35本の直線、15本の平面（図参照）を持つ有限の3次元空間を考察した。この空間では、各直線上には3点しか存在しない。^[4]

1906年、オズワルド・ヴェブレンとWHブッシーは、ガロア体GF( q )を要素とする同次座標系を用いた射影幾何学を記述した。n + 1座標系を用いる場合、 n次元有限幾何学はPG( n,q )と表記される。[ 5 ^]これは合成幾何学において現れ、関連する変換群を持つ。

3次元以上の有限空間

有限平面幾何学と高次元有限空間の幾何学の重要な違いについては、公理的射影空間を参照してください。高次元有限空間全般に関する議論については、例えばJWPヒルシュフェルトの研究を参照してください。これらの高次元空間（n ≥ 3）の研究は、高度な数学理論において多くの重要な応用を持っています。

公理的な定義

射影空間 Sは、集合P（点の集合）とPの部分集合L（直線の集合）として公理的に定義され、以下の公理を満たす：^[6]

2 つの異なる点pとqは、正確に 1 本の直線上にあります。
ヴェブレンの公理：^[7]a、b、c、dが異なる点であり、 abとcdを通る線が交わる場合、 acとbdを通る線も交わる。
どの線にも少なくとも 3 つの点があります。

最後の公理は、異なる射影空間内の任意の2点を結ぶ2点直線と、射影空間の互いに素な和として書き表せるような簡約な場合を排除する。より抽象的に、これは点の集合P、直線の集合L、そしてどの点がどの直線上にあるかを示す接続関係Iからなる接続構造 ( P , L , I )として定義できる。

有限射影空間を得るには、もう 1 つの公理が必要です。

点の集合Pは有限集合です。

任意の有限射影空間では、各線には同じ数の点が含まれ、空間の 順序はこの共通数より 1 小さいものとして定義されます。

射影空間の部分空間とは、 X の部分集合であり、 Xの2点を含む任意の直線はXの部分集合（つまり、Xに完全に含まれる）となる。完全空間と空空間は常に部分空間である。

空間の幾何学的次元は、次の形式の部分空間の厳密に上昇する連鎖が存在する最大の数である n であると言われます。

\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.

代数的構成

A standard algebraic construction of systems satisfies these axioms. For a division ring D construct an (n + 1)-dimensional vector space over D (vector space dimension is the number of elements in a basis). Let P be the 1-dimensional (single generator) subspaces and L the 2-dimensional (two independent generators) subspaces (closed under vector addition) of this vector space. Incidence is containment. If D is finite then it must be a finite field GF(q), since by Wedderburn's little theorem all finite division rings are fields. In this case, this construction produces a finite projective space. Furthermore, if the geometric dimension of a projective space is at least three then there is a division ring from which the space can be constructed in this manner. Consequently, all finite projective spaces of geometric dimension at least three are defined over finite fields. A finite projective space defined over such a finite field has q + 1 points on a line, so the two concepts of order coincide. Such a finite projective space is denoted by PG(n, q), where PG stands for projective geometry, n is the geometric dimension of the geometry and q is the size (order) of the finite field used to construct the geometry.

In general, the number of k-dimensional subspaces of PG(n, q) is given by the product:^[8]

{{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},

which is a Gaussian binomial coefficient, a q analogue of a binomial coefficient.

Classification of finite projective spaces by geometric dimension

Dimension 0 (no lines): The space is a single point and is so degenerate that it is usually ignored.
Dimension 1 (exactly one line): All points lie on the unique line, called a projective line.
Dimension 2: There are at least 2 lines, and any two lines meet. A projective space for n = 2 is a projective plane. These are much harder to classify, as not all of them are isomorphic with a PG(d, q). The Desarguesian planes (those that are isomorphic with a PG(2, q)) satisfy Desargues's theorem and are projective planes over finite fields, but there are many non-Desarguesian planes.
次元が少なくとも3の場合：交差しない2本の直線が存在する。ヴェブレン＝ヤングの定理は、有限の場合において、幾何学的次元n ≥ 3のすべての射影空間は、ある有限体GF( q )上のn次元射影空間PG( n , q )と同型であることを述べている。

最小の射影三次元空間

最小の3次元射影空間はGF(2)体上にあり、 PG(3,2)と表記される。PG(3,2)は15個の点、35個の直線、15個の平面を持つ。各平面は7個の点と7個の直線を含み、各直線は3個の点を含む。幾何学的には、これらの平面はファノ平面と同型である。

すべての点は7本の線に含まれます。すべての異なる点のペアは正確に1本の線に含まれ、すべての異なる平面のペアは正確に1本の線に交差します。

1892 年、ジーノ・ファーノが初めてそのような有限幾何学を考察しました。

カークマンの女子高生問題

PG(3,2)は、カークマンの女子生徒問題の解決の背景として現れます。この問題は、「15人の女子生徒が毎日3人ずつの5つのグループに分かれて歩きます。1週間、各ペアの女子生徒が一緒に歩くのは1回だけになるように、女子生徒の歩き方を調整してください。」と述べています。女子生徒が一緒に歩く組み合わせは35通りあります。また、週は7日あり、各グループには3人の女子生徒がいます。この問題の7つの非同型解のうち2つは、ファノの3次元空間PG(3,2)におけるパッキングと呼ばれる構造で表すことができます。射影空間の広がりとは、その点を互いに素な直線に分割することであり、パッキングとは、直線を互いに素な広がりに分割することです。PG(3,2)において、広がりとは15点を5つの互いに素な直線（各直線に3点ずつ）に分割することであり、これは特定の日の女子生徒の配置に対応します。 PG(3,2)のパッキングは7つの別々のスプレッドで構成され、1週間分の配置に相当します。

参照

注記

^ レイワイン, チャールズ F.; マレン, ゲイリー L. (1998-09-17). ラテン方陣を用いた離散数学. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 9780471240648。
^ Fano, G. ( 1892)、「Sui postulati Fondamentali della geometria proiettiva」、Giornale di Matematiche、30 : 106–132
^ コッリーノ、コンテ、ヴェッラ、2013、p. 6
^ マルケヴィッチ有限幾何学？AMS特集コラム
^ オズワルド・ヴェブレン(1906) 有限射影幾何学、アメリカ数学会誌7: 241–59
^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998、6–7 ページ
^ ヴェブレン＝ヤング公理とも呼ばれ、誤ってパシュ公理と称されることもある（Beutelspacher & Rosenbaum 1998, pgs. 6–7）。パシュは実射影空間に着目し、秩序を導入しようと試みたが、これはヴェブレン＝ヤング公理の関心事ではない。
^ Dembowski 1968、p. 28、ここで式はベクトル空間次元に関してN _{k +1} ( n + 1, q )で与えられます。

参考文献

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Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8、MR 0233275
イヴス、ハワード（1963年）「幾何学概論：第1巻」ボストン：アリン＆ベーコン社。
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メサーブ、ブルース・E.（1983）『幾何学の基礎概念』ニューヨーク：ドーバー出版
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外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「有限幾何学」。MathWorld。
エリック・ムーアハウスによる入射幾何学
テレンス・タオ著『代数的組合せ幾何学』
マイケル・グリーンバーグによる有限幾何学に関するエッセイ（2022年12月24日、Wayback Machineにアーカイブ）
有限幾何学（スクリプト）
有限幾何学リソース 2011年9月27日アーカイブ - Wayback Machine
有限幾何学の研究者、JWPヒルシュフェルト
- ヒルシュフェルトの有限幾何学に関する著書
AMS コラム: 有限幾何学?
ガロア幾何学と一般化多角形、1998年の集中講座
Carnahan, Scott (2007-10-27)、「Small finite sets」、Secret Blogging Seminar 、 Jean-Pierre Serreによる小さな有限集合の標準的な幾何学的特性に関する講演のメモ。{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
ウェイバックマシンの「問題31：カークマンの女子高生問題」（2010年8月17日アーカイブ）
MathOverflow の 12 次射影平面。