ガウス写像

ガウス写像は、曲線または曲面上のすべての点から単位球面上の対応する点への写像を提供します。この例では、2次元曲面の曲率が1次元単位円に写像されています。

微分幾何学において、曲面 のガウス写像とは、曲面上の各点をその法線方向、つまりその点において曲面に直交する単位ベクトルに写像する関数である。すなわち、ユークリッド空間R ³上の曲面Xが与えられたとき、ガウス写像はN : X → S ²（ただしS ²は単位球面）の写像であり、 X内の各pに対して、関数値N ( p ) はpにおいてXに直交する単位ベクトルとなる。ガウス写像はカール・F・ガウスにちなんで名付けられた。

ガウス写像は、曲面が有向性を持つ場合にのみ（大域的に）定義でき、その場合、その次数はオイラー標数の半分となる。ガウス写像は常に局所的に（つまり、曲面の小さな部分上で）定義できる。ガウス写像のヤコビ行列式はガウス曲率に等しく、ガウス写像の微分は形状演算子と呼ばれる。

ガウスは1825年にこのテーマに関する草稿を初めて書き、1827年に出版した。^{[1] [要出典]}

リンクのガウス マップもあり、リンク数を計算します。

一般化

ガウス写像は、R ⁿの超曲面に対して、超曲面から単位球面S ^{n − 1}  ⊆  R ⁿへの写像として定義できます。

R ⁿの一般的な有向k部分多様体に対してもガウス写像を定義することができ、その対象空間は有向グラスマン多様体 、すなわちR ⁿ内のすべての有向k平面の集合である。この場合、部分多様体上の点は、その有向接部分空間に写像される。また、その有向法線部分空間に写像することもできる。これらは、直交補集合を介して と同値である。ユークリッド 3 次元空間において、これは有向 2 次元平面が有向 1 次元直線、つまり単位法線ベクトル（ と同値）によって特徴付けられることを意味し、したがってこれは上記の定義と整合する。 ${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}\cong {\tilde {G}}_{n-k,n}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}_{1,n}\cong S^{n-1}}$

最後に、ガウス写像の概念は、次元nの有向周囲リーマン多様体M内の次元kの有向部分多様体Xへと一般化できる。この場合、ガウス写像はXから接束TM内のk接平面の集合へと写像される。ガウス写像Nの目標空間は、接束TM上に構築されたグラスマン束である。 の場合、接束は自明化され（したがってグラスマン束はグラスマン多様体への写像となる）、前述の定義が復元される。 ${\displaystyle M=\mathbf {R} ^{n}}$

全曲率

ガウス写像の像の面積は全曲率と呼ばれ、ガウス曲率の面積分に等しい。これはガウスによって与えられた本来の解釈である。

${\displaystyle \iint _{R}\pm |N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{S}K\ dA}$

ガウス・ボネの定理は、表面の全曲率とその位相特性を結び付けます。

ガウス写像の尖点

放物線とそのガウス写像を持つ面。尾根が放物線を通過し、ガウス写像上に尖点が生じます。

ガウス写像は曲面の多くの特性を反映します。例えば、曲面のガウス曲率がゼロ（つまり放物線に沿う）の場合、ガウス写像は褶曲カタストロフィー（褶曲崩壊）を起こします。^{[2]この褶曲には}カスプ（尖点）が含まれることがあり、これらのカスプはトーマス・バンチョフ、テレンス・ガフニー、クリント・マクロリーによって詳細に研究されました。放物線とカスプはどちらも安定した現象であり、曲面がわずかに変形しても変化しません。カスプは以下の場合に発生します。

1. サーフェスには双接平面があります。
2. 尾根が放物線と交差する。
3. 曲面の漸近曲線の変曲点の集合が閉じたとき。

尖端には、楕円尖と双曲尖の 2 種類があります。

参考文献

1. ガウス、カール・フリードリヒ (1902). 『曲面の一般的研究 1827年と1825年』モアヘッド、ジェームズ・キャドール、ヒルテバイテル、アダム・ミラー訳. プリンストン大学図書館.
2. McCrory, Clint; Shifrin, Theodore (1984). 「射影ガウス写像のカスプ」. Journal of Differential Geometry . 19 : 257–276 . doi :10.4310/JDG/1214438432. S2CID  118784720.

• ガウス、K.F.、地上権の曲線に関する一般請求(1827 年)
• ガウス、KF著『曲面の一般的研究』英訳。ヒューレット社、ニューヨーク：レイヴン・プレス（1965年）。
• Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Cusps of Gauss Mappings , (1982) Research Notes in Mathematics 55, Pitman, London. online version Archived 2008-08-02 at the Wayback Machine <--broken link; Dan Dreibelbis' online version (accessed 2023-07-01), Archived 2008-08-02 at the Wayback Machine
• Koenderink、JJ、Solid Shape、MIT Press (1990)

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W.「ガウス地図」。マスワールド。
• トーマス・バンチョフ、テレンス・ガフニー、クリント・マクロリー、ダニエル・ドライベルビス (1982)。ガウス写像のカスプ。数学研究ノート第55巻。ロンドン：ピットマン出版社。ISBN 0-273-08536-0. 2016年3月4日閲覧。