超長方形

{\displaystyle k=1} — Kセルの平面への射影（から）。高次元セルの辺のみが示されている。 $k=1$ $6$

幾何学において、超長方形（ボックス、ハイパーボックス、-セル、または直交座標系^{[2]とも呼ばれる）は、}長方形（平面図形）と直方体（立体図形）を高次元に一般化したものである。必要十分条件は、有限区間の直積と合同であることである。^[3]これは、 -次元直方体の各辺が、定義で使用される閉区間のいずれかに等しいことを意味する。すべての-セルはコンパクトである。^[4]^[5] $k$ $k$ $k$

すべての辺の長さが等しい場合、それは超立方体です。超長方形は平行四辺形の特殊なケースです。

正式な定義

からまでの任意の整数に対して、とをとなる実数とする。内の座標が不等式を満たすすべての点の集合は-セルである。^[6] $i$ $1$ $k$ $a_{i}$ $b_{i}$ $a_{i}{b_{i}$ $x=(x_{1},\dots,x_{k})$ $\mathbb {R} ^{k}$ $a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}$ $k$

直感

次元の - セルは特に単純です。例えば、1 セルは単にの区間です。2 セルは 2 つの閉区間の直積によって形成される長方形であり、3 セルは直方体です。 $k$ $k\leq 3$ $[a,b]$ $a<b$

3 セルの辺と辺は、(ユークリッド)長さが等しい必要はありません。単位立方体(境界のユークリッド長さが等しい)は 3 セルですが、等しい長さの辺を持つすべての 3 セルの集合は、すべての 3 セルの集合の厳密な部分集合です。 $k$

種類

4次元の正射影平面は超直方体である可能性が高い。^[7]

$n次元直交座標において$ 、すべての辺の長さが等しい特殊なケースは $n$ 立方体または超立方体である。^[2]

同様に、「超長方形」という用語は、実数ではなく、データベース理論におけるキーの範囲や整数の範囲など、他の種類の直交区間の直積を指すこともあります。^[8]

双対多面体

$n$ 次元直交体の双対多面体は、長方形 $n$ 次元直交体、菱形 $n$ 次元多面体、または $n$ 次元菱形など、様々な呼び方があります。これは、直交体の長方形面の中心に位置する $2$ $n$ 個の点によって構成されます。

n連立方程式のシュレーフリ記号は、 $n$ 本の直交線分の和で表すことができます: ${$ $} + { } + ... + { }$ または $n$ ${ }。$

1-フュジルは線分です。2-フュジルは菱形です。すべての軸のペアにおける平面交差選択は菱形です。

参照

注記

^ ab NWジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章有限対称群、11.5 球面コクセター群、p.251
^ コクセター、1973年
^ フォラン（1991）
^ ルディン（1976:39）
^ フォラン（1991:24）
^ ルディン（1976:31）
^ 広津隆 (2022). 「与えられた超立方体内の通常サイズの超直方体」. arXiv : 2211.15342 [math.CO].
^例: Zhang、Yiを参照。ムナガラ、カメシュ。 Yang, Jun (2011)、「ディスク上の行列の保存: 理論と実践の再検討」(PDF)、Proc. VLDB、4 (11): 1075–1086、土井:10.14778/3402707.3402743。

参考文献

コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド (1973).正多面体（第3版）. ニューヨーク: ドーバー. pp. 122–123. ISBN 0-486-61480-8。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「オルソトープ」。MathWorld。
フォーラン、ジェームズ（1991年1月7日）『実解析の基礎』CRC Press. ISBN 9780824784539. 2014年5月23日閲覧。
ルーディン、ウォルター（1976年）『数学解析の原理』マグロウヒル社。