一貫性

演繹論理において、矛盾のない 理論とは、論理的矛盾を生じない理論のことである。^[1]理論が矛盾しないのは、 とその否定がの帰結の集合の要素となるような公式が存在しないときである。を の閉じた文（非公式には「公理」）の集合と、 を何らかの（明示的、場合によっては暗黙的に）形式的演繹体系によって証明可能な閉じた文の集合としよう。および となるような公式が存在しないとき、公理の集合は矛盾しない。自明な理論（すなわち、理論の言語ですべての文を証明する理論）は明らかに矛盾している。逆に、爆発的な形式体系（例えば、古典的または直観主義的な命題論理や一階述語論理）では、矛盾する理論はすべて自明である。^{[2] ： 7}理論の矛盾しない性は統語論的概念であり、その意味論的対応物は充足可能性である。理論が満足可能であるとは、モデルが存在する場合、つまり、理論内のすべての公理が真となる解釈が存在する場合である。 ^[3]これは伝統的なアリストテレス論理学における「無矛盾」の意味であるが、現代の数理論理学では「満足可能」という用語が代わりに使用されている。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lnot \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \in \langle A\rangle }$ ${\displaystyle \lnot \varphi \in \langle A\rangle }$

健全な形式体系では、すべての満足可能理論は一貫しているが、その逆は成り立たない。特定の演繹論理で定式化された任意の理論に対してこれらの意味的定義と統語的定義が等価である演繹体系が存在する場合、その論理は完全であると呼ばれる。^[要出典]命題論理の完全性は1918 年にポール・バーネイズ^{[要出典] [4]}と1921 年にエミール・ポスト^[5]によって証明され、 (一階)述語論理の完全性は1930 年にクルト・ゲーデル^{[6]によって証明され、}帰納公理スキームに関して制限された算術の無矛盾性の証明はアッカーマン (1924)、フォン・ノイマン (1927)、ヘルブラント (1931) によって証明された。^[7]二階論理などのより強い論理は完全ではない。

無矛盾性証明とは、特定の理論が無矛盾であることを数学的に証明することです。 ^[8]数学的証明理論の初期の発展は、ヒルベルトのプログラムの一部として数学全体に対する有限無矛盾性の証明を提供したいという願望によって推進されました。ヒルベルトのプログラムは不完全性定理に強く影響を受けました。不完全性定理は、十分に強力な証明理論であっても、その無矛盾性を証明できないことを示し（無矛盾であると仮定した場合）、その証明理論が無矛盾であることを示しました。

整合性はモデル理論を用いて証明できるものの、多くの場合、論理モデルを参照することなく、純粋に統語論的な方法で証明される。カット除去（あるいは、もし存在するならば、基礎となる計算の正規化と同等）は、計算の整合性を意味する。つまり、カットフリーの偽証明が存在しないため、一般に矛盾は存在しない。

算術と集合論における一貫性と完全性

ペアノ算術のような算術理論においては、理論の無矛盾性と完全性の間には複雑な関係がある。ある理論が完全であるとは、その言語におけるあらゆる式 φ に対して、少なくとも φ または ¬φ のいずれか一方が理論の論理的帰結となることを意味する。

プレスブルガー算術は、加法のもとでの自然数に関する公理体系であり、一貫性と完全性を兼ね備えています。

ゲーデルの不完全性定理は、十分に強い帰納的可算算術理論は、完全かつ無矛盾であることはできないことを示している。ゲーデルの定理は、ペアノ算術（PA）と原始再帰算術（PRA）の理論には適用されるが、プレスブルガー算術には適用されない。

さらに、ゲーデルの第二不完全性定理は、十分に強い帰納的可算算術理論の無矛盾性が特定の方法で検証できることを示している。そのような理論は、その理論のゲーデル文と呼ばれる特定の文を証明しない場合にのみ無矛盾である。ゲーデル文とは、その理論が確かに無矛盾であるという主張を形式化したステートメントである。したがって、十分に強く、帰納的可算で無矛盾な算術理論の無矛盾性は、そのシステム自体では決して証明できない。同じ結果は、ツェルメロ-フランケル集合論(ZF) などの集合論を含む、十分に強い算術の断片を記述できる帰納的可算理論にも当てはまる。これらの集合論は、一般に信じられているように無矛盾であれば、それ自身のゲーデル文を証明することはできない。

ZFの一貫性はZFでは証明できないので、より弱い概念相対的な整合性は集合論（および十分に表現力のある他の公理系）において興味深いものです。T が理論で A が追加の公理である場合、Tが整合性を持つならばT+Aも整合性を持つことが証明できるとき、T+AT（または単にATと整合性がある）と言われます。A と ¬ A の両方が T と整合性を持つ場合、AはTから独立していると言われます。

一階論理

表記

数理論理学の以下の文脈において、回転式記号は 「〜から証明可能」を意味します。つまり、bは（ある特定の形式体系において） aから証明可能である、と読みます。 ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle a\vdash b}$

意味

• 第一階述語論理における式 の集合は、かつ となる式が存在しない場合に矛盾がない（ と表記される）とされる。そうでない場合は矛盾がある（ と表記される）。${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \Phi \vdash \lnot \varphi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi }$ の公式が存在しない場合に、 と の否定が の定理である場合、 は単矛盾でないといわれる。^{[説明が必要]}${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi }$ の言語における少なくとも 1 つの式がの定理でない場合、 は絶対的に一貫している、またはポスト一貫していると言われます。${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi }$ が最大限に一貫しているとは、が一貫しており、すべての式 に対して が成り立つ場合であると言われます。${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (\Phi \cup \{\varphi \})}$ ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi }$ が証拠を含むとは、形式のすべての式に対して、（ただし、はの各式を で置き換えることを表す）となる項が存在する場合を言う。一階述語論理も参照のこと。^[要出典]${\displaystyle \exists x\,\varphi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (\exists x\,\varphi \to \varphi {t \over x})\in \Phi }$ ${\displaystyle \varphi {t \over x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t}$

基本的な結果

1. 以下は同等です:
   1. ${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$
   2. すべての人のために${\displaystyle \varphi ,\;\Phi \vdash \varphi .}$
2. すべての満足可能な式集合は一貫しています。式集合が満足可能なのは、となるモデルが存在する場合のみです。${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\vDash \Phi }$
3. すべておよび： ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$
   1. そうでなければ、${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$
   2. かつならば;​${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$
   3. の場合、または。${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$
4. を最大限矛盾のない式集合とし、それが証拠 を含むと仮定する。すべてのおよびに対して、以下のようになる。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$
   1. もし、ならば、${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$
   2. どちらか、${\displaystyle \varphi \in \Phi }$ ${\displaystyle \lnot \varphi \in \Phi }$
   3. ${\displaystyle (\varphi \lor \psi )\in \Phi }$ またはの場合に限り、${\displaystyle \varphi \in \Phi }$ ${\displaystyle \psi \in \Phi }$
   4. かつならば、​${\displaystyle (\varphi \to \psi )\in \Phi }$ ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$ ${\displaystyle \psi \in \Phi }$
   5. ${\displaystyle \exists x\,\varphi \in \Phi }$ となる項が存在する場合のみ。^[要出典]${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi {t \over x}\in \Phi }$

ヘンキンの定理

を記号の集合とする。を証拠を含む式の最大一貫性のある集合とする。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S}$

が等式を表す場合、項の集合における同値関係 を で定義します。を含む項の同値類を とします。 は記号の集合に基づく項の集合です。 ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t_{0}\sim t_{1}}$ ${\displaystyle \;t_{0}\equiv t_{1}\in \Phi }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {\overline {t}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T_{\Phi }:=\{\;{\overline {t}}\mid t\in T^{S}\}}$ ${\displaystyle T^{S}}$ ${\displaystyle S}$

に対応する項構造とも呼ばれる上の-構造を次のように定義します。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\Phi }}$ ${\displaystyle T_{\Phi }}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. 各項関係記号に対して、[ ^9]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R\in S}$ ${\displaystyle R^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}{\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}}$ ${\displaystyle \;Rt_{0}\ldots t_{n-1}\in \Phi ;}$
2. 各項関数記号に対して、定義する${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle f^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}({\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}):={\overline {ft_{0}\ldots t_{n-1}}};}$
3. 各定数記号について、定義する${\displaystyle c\in S}$ ${\displaystyle c^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}:={\overline {c}}.}$

各変数 について、による変数割り当てを定義します。に関連付けられた項解釈を とします。 ${\displaystyle \beta _{\Phi }}$ ${\displaystyle \beta _{\Phi }(x):={\bar {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }:=({\mathfrak {T}}_{\Phi },\beta _{\Phi })}$ ${\displaystyle \Phi }$

次に、各式について: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi }$ もし、そしてその場合に限り^[要出典]${\displaystyle \;\varphi \in \Phi .}$

証明のスケッチ

検証すべき点がいくつかあります。まず、 は実際に同値関係です。次に、(1)、(2)、(3) が適切に定義されていることを検証する必要があります。これは が同値関係であるという事実から導き出されるものであり、さらに (1) と (2)がクラス代表の選択とは独立であることを証明する必要があります。最後に、は式に基づく帰納法によって検証できます。 ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi }$

モデル理論

古典的な一階述語論理を伴うZFC集合論において、^[10]矛盾理論とは、 とその否定 の両方を含む閉じた文が存在する理論である。矛盾のない理論とは、以下の論理的に同値な条件が成り立つ 理論である。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi '}$

1. ${\displaystyle \{\varphi ,\varphi '\}\not \subseteq T}$ ^[11]
2. ${\displaystyle \varphi '\not \in T\lor \varphi \not \in T}$

参照

• 哲学ポータル

• 認知的不協和 – 矛盾した信念を抱く精神現象
• 等一貫性 – 同じように一貫していること
• ヒルベルトの問題 – 1900年に提起された23の数学の問題
• ヒルベルトの第二問題 – 算術公理の一貫性
• ヤン・ウカシェヴィチ – ポーランドの論理学者、哲学者 (1878–1956)
• 矛盾論理 – 爆発原理を持たない形式論理の一種
• ω-一貫性 – 数学理論Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ゲンツェンの無矛盾性証明 – 数学的論理の概念
• 背理法による証明 – 証明の形式
• 自己反証的なアイデア – 自分自身を反証するアイデア

注記

1. Tarski 1946は次のように述べている。「演繹理論が無矛盾または無矛盾であるとは、その理論の主張する二つの文が互いに矛盾しない場合、言い換えれば、二つの矛盾する文のうち少なくとも一方が証明できない場合を言う。」(p. 135)。ここでTarskiは矛盾を次のように定義している。「 『ない』という言葉を用いて、いかなる文も否定を成すことはできない。二つの文のうち、最初の文が二番目の文の否定となっているものは、矛盾した文と呼ばれる。」(p. 20)。この定義には「証明」という概念が必要である。 Gödel 1931 はこの概念を次のように定義しています。「証明可能な式のクラスは、公理を含み、「即時の帰結」の関係で閉じている式の最小のクラスとして定義されます。つまり、aとbの式cは、 modus ponensまたは置換の観点から即時の帰結として定義されます。Gödel 1931、van Heijenoort 1967、p. 601 を参照してください。Tarski は「証明」を非公式に次のように定義しています。「特定の原則に従って、一定の順序でステートメントが次々と続き、すべての真の前提に対してその妥当性 [真の結論] を確立することを意図した考察が伴う」– Reichenbach 1947、p. 68]」については、Tarski 1946、3 ページを参照してください。Kleene 1952 は、この概念を、帰納法に関して、または言い換えれば、数列の各式が公理または先行する数の「直接の帰結」のいずれかであるような数の有限列に関して定義しています。「証明はその最後の式の証明であると言われ、この式は(形式的に) 証明可能である、または(形式的な) 定理であると言われる」については、Kleene 1952、83 ページを参照してください。
2. カルニエリ, ウォルター; コニーリオ, マルセロ・エステバン (2016).パラコンシステント論理：一貫性、矛盾、そして否定. 論理、認識論、そして科学の統一性. 第40巻. シュプリンガー社. doi :10.1007/978-3-319-33205-5. ISBN 978-3-319-33203-1. MR  3822731. Zbl  1355.03001.
3. Hodges, Wilfrid (1997). A Shorter Model Theory . New York: Cambridge University Press. p. 37.をシグネチャ、を の理論、をの文とします。のすべてのモデルが のモデルである場合、は の結果である、または をシンボル において含意するという。(特に、にモデルがない場合、 はを含意する。)警告: である場合にからの証明があることは要求しません。 いずれにしても、無限言語では、何が証明を構成するかが常に明らかであるとは限りません。 筆者の中には、 が特定の形式的証明計算においてから演繹可能であることを意味するために を使用し、私たちの伴意の概念 ( と衝突する表記法) について記述する人もいます。一階述語論理では、2 種類の伴意は、問題の証明計算の完全性定理によって一致する。 がすべての-構造で真である場合、 は有効である、または は論理定理である、とシンボル において述べます。が何らかの -構造において真であるとき、それは無矛盾であると言います。同様に、理論がモデルを持つとき、それは無矛盾であると言います。L無限大オメガにおける2つの理論SとTは、同じモデルを持つとき、つまりMod(S) = Mod(T)であるとき、同値であると言います。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\infty \omega }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L_{\infty \omega }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T\vdash \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$
   ${\displaystyle T\vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\models \varphi }$ ${\displaystyle A\models \varphi }$
   ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T}$
   (30ページのMod(T)の定義に注意してください...)
4. van Heijenoort 1967、p. 265 では、ベルナイスが『プリンキピア・マテマティカ』の公理の独立性を決定したと述べられているが、その結果は 1926 年まで公表されなかったが、ベルナイスがその公理の一貫性を証明したことについては何も述べられていない。
5. ポストはPMの命題計算の一貫性と完全性の両方を証明している。ヴァン・ヘイエノールトの解説と、ポストの1931年の著書『基本命題の一般理論への入門』（ヴァン・ヘイエノールト 1967、264ページ以降）を参照。また、タルスキ 1946、134ページ以降も参照。
6. van Heijenoort の解説とゲーデルの 1930 年の著書「論理の機能的計算の公理の完全性」( van Heijenoort 1967、582 ページ以降) を参照。
7. cf van Heijenoort の解説と Herbrand の 1930 年、 van Heijenoortの算術の一貫性について、 1967 年、618 頁以降。
8. 無矛盾性の証明は、しばしば別の理論の無矛盾性を前提とします。多くの場合、この別の理論 とは、選択公理の有無にかかわらずツェルメロ＝フランケル集合論です（これら2つの理論は等無矛盾であることが証明されているため、これは等価です。つまり、一方が無矛盾であれば、もう一方も無矛盾であるということです）。
9. この定義は、 の置換性と の最大一貫性により、の選択とは無関係です。${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle \Phi }$
10. 他の数学の分野への多くの応用における一般的なケース、および微積分学や物理学、化学、工学への応用における非公式数学の通常の推論モード
11. ド・モルガンの法則によれば

参考文献

• ゲーデル、クルト（1931年12月1日）。 「正式な数学と教育システム I を確立する」。数学と物理学のモナトシェフ。38 (1): 173–198。土井:10.1007/BF01700692。
• クリーネ、スティーブン（1952年）『メタ数学入門』ニューヨーク：ノースホランド、ISBN 0-7204-2103-9。 1991年10回目の印象。
• ライヘンバッハ、ハンス（1947年）『記号論理学の要素』ニューヨーク：ドーバー、ISBN 0-486-24004-5。
• タルスキ、アルフレッド（1946年）『論理学および演繹科学の方法論入門』（第2版）ニューヨーク：ドーバー、ISBN 0-486-28462-X。
• ヴァン・ヘイエノールト、ジャン（1967年）『フレーゲからゲーデルへ：数理論理学の原典』ケンブリッジ、マサチューセッツ州：ハーバード大学出版局、ISBN 0-674-32449-8。（ペーパーバック）
• 「一貫性」。ケンブリッジ哲学辞典。
• エビングハウス、HD; フラム、J.; トーマス、W.数学論理。
• ジェヴォンズ, WS (1870). 『論理学初等レッスン』

外部リンク

• モーテンセン、クリス (2017). 「矛盾した数学」.スタンフォード哲学百科事典.