ループエントロピー

ループエントロピーとは、ポリマーの2つの残基を所定の距離内に近づける際に失われるエントロピーである。ループが1つの場合、エントロピーはループ内の 残基数に応じて対数的に変化する。${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Delta S=\alpha k_{B}\ln N\,}$

ここで、はボルツマン定数、はポリマーの特性に依存する係数です。このエントロピーの式は、残基が接触する確率の べき乗分布に対応します。${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P\sim N^{-\alpha }}$

ループエントロピーは、接触する残基の位置によっても変化する可能性があります。ポリマーの末端に近い残基は、主に排除体積効果により、中間（すなわち末端から遠い）の残基よりも接触する可能性が高くなります（定量的に、より低い）。 ${\displaystyle \alpha }$

ワング・ウーレンベックエントロピー

ループエントロピーの式はループが複数になるとより複雑になりますが、ガウス分布を持つポリマーについては、 WangとUhlenbeckによって開発された行列法を用いて決定できます。ポリマーのループを定義する残基間に接触があるとします。Wang-Uhlenbeck行列は対称実行列であり、その要素はループとループ間の共通残基の数に等しくなります。指定された接触を形成するエントロピーは ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \Delta S=\alpha k_{B}\ln \det \mathbf {W} }$

例として、ポリマー（リボヌクレアーゼAを参照）中の残基26と84、および残基58と110が接触する際に失われるエントロピーを考えてみましょう。第1ループと第2ループの長さはそれぞれ58（=84-26）と52（=110-58）で、共通残基数は26（=84-58）です。対応するワング・ウーレンベック行列は

${\displaystyle \mathbf {W} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\begin{bmatrix}58&&26\\26&&52\end{bmatrix}}}$

その行列式は 2340 です。対数をとって定数を掛けるとエントロピーが得られます。 ${\displaystyle \alpha k_{B}}$

参考文献

• ワング, MC, ウーレンベック, GE (1945). ブラウン運動の理論について II.現代物理学評論, 17 (2-3), 323.[1]