行列の加算

2 つの行列の加算の図。

数学において、行列の加算は、対応する要素を加算することによって 2 つの行列を追加する演算です。

ベクトルの場合、 2 つの行列を追加すると、各行列変換を に個別に適用し、変換されたベクトルを追加する という幾何学的な効果が得られます。${\displaystyle {\vec {v}}\!}$ ${\displaystyle {\vec {v}}\!}$

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {v}}+\mathbf {B} {\vec {v}}=(\mathbf {A} +\mathbf {B} ){\vec {v}}\!}$

意味

加算する2つの行列は、行数と列数が等しくなければなりません。^[1]この場合、2つの行列AとBの和は、 AとBと同じ行数と列数を持つ行列になります。 AとBの和（ A + B ）は、AとBの対応する要素を加算することによって計算されます。^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}$

あるいはもっと簡潔に言うと（ A + B = Cと仮定）：^{[4] [5]}

${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

例えば：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

同様に、同じ次元を持つ行列同士を減算することも可能です。AとBの差はA − Bと表され、 B の要素をAの対応する要素から減算することで計算され、 AとBと同じ次元を持ちます。例えば、 次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}$

参照

• 行列の乗算
• ベクトル加算
• 行列の直和
• クロネッカー和

注記

1. 初級線形代数、ロレス・アントン著 10e p53
2. リップシュッツ＆リップソン 2017.
3. ライリー、ホブソン、ベンス 2006年。
4. Weisstein, Eric W. 「行列の加算」. mathworld.wolfram.com . 2020年9月7日閲覧。
5. 「2つの行列の和と差を求める | 大学代数学」courses.lumenlearning.com . 2020年9月7日閲覧。

参考文献

• リプシュッツ、シーモア。マーク・リプソン (2017)。シャウムの線形代数の概要(第 6 版)。マグロウヒル教育。ISBN 9781260011449。
• ライリー, KF; ホブソン, MP; ベンス, SJ (2006).物理学と工学のための数学的手法（第3版）. ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9780511810763. ISBN 978-0-521-86153-3。

外部リンク

• 行列代数とR