記憶喪失

確率と統計において、無記憶性は確率分布の特性の一つです。これは、過去の失敗や経過時間が将来の試行や更なる待ち時間に影響を与えない状況を表します。無記憶性を持つのは幾何分布と指数分布のみです。

意味

ランダム変数 がメモリレスであるとは、がそれぞれ離散または連続で、と が非負の数であるときの確率質量関数または確率密度関数である場合です。 ^{[1] [2]}離散的なケースでは、定義は、コインを投げて表が出るまでの回数のように、独立かつ同一に分布するベルヌーイ試行の無限シーケンスでの最初の成功を表します。 ^[3]連続的な状況では、メモリレスは、2 つの地震の間の時間のようなランダム現象をモデル化します。^[4]メモリレス特性は、以前に失敗した試行の回数または経過時間が将来の試行またはリードタイムに独立している、つまり影響を及ぼさないことを主張します。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t)}$$ ${\displaystyle \Pr}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$

この等式は、離散的コンテキストと連続的コンテキストにおける幾何分布と指数分布をそれぞれ特徴付けます。^{[1] [5]}言い換えれば、幾何確率変数は唯一の離散的な無記憶分布であり、指数確率変数は唯一の連続的な無記憶分布です。

離散的な文脈では、幾何分布が から始まるときの定義は から始まるときに変更されますが、それでも等式は満たされます。^{[6] [7]}${\textstyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

指数分布の特徴

連続確率分布が記憶なしである場合、それは指数分布でなければなりません。

記憶なしの性質から、条件付き確率の定義から次のことがわかる。生存関数、との等式を整理すると、次のようになる。これは、任意の自然数に対して が成り立つことを意味する。同様に、生存関数の入力を割り算し、- 乗根を取ると、が成り立つ。一般に、 の代わりに任意の有理数に対して等式が成り立つ。生存関数は連続であり、有理数は実数に稠密である（言い換えれば、任意の実数に任意に近い有理数が常に存在する）ため、等式は実数に対しても成り立つ。結果として、となる。これは指数分布の生存関数である。^[5]$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t).}$$ $${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t).}$$ ${\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}$ $${\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s).}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle S(kt)=S(t)^{k}.}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle S\left({\frac {t}{k}}\right)=S(t)^{\frac {1}{k}}.}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle S(t)=S(1)^{t}=e^{t\ln S(1)}=e^{-\lambda t}}$$ ${\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}$

幾何分布の特徴

離散確率分布が記憶を持たない場合、それは幾何分布でなければなりません。

記憶のない性質から、 条件付き確率 の定義は次のことを明らかにする。 このことから、帰納的に次のことが証明できる。 すると次のことが導かれ 、とすれば、 あるパラメータで幾何分布している ことが簡単にわかる。言い換えれば、 $${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t).}$$ $${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X\geq s)}}=\Pr(X>t).}$$ $${\displaystyle \Pr(X>k)=\Pr(X>1)^{k}.}$$ $${\displaystyle f_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=1-\Pr(X>x)=1-\Pr(X>1)^{x},}$$ $${\displaystyle p:=1-\Pr(X>1)\in [0,1]}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle X\sim \operatorname {Geo} (p).}$$

参考文献

1. デッキング、フレデリック・ミシェル;クライカンプ、コーネリス。ロプハー、ヘンドリック・ポール。メースター、ルドルフ・アーウィン (2005)。確率と統計の現代的な入門。統計学におけるシュプリンガーのテキスト。ロンドン：スプリンガーロンドン。 p. 50.土井：10.1007/1-84628-168-7。ISBN 978-1-85233-896-1。
2. ピットマン、ジム (1993). 確率. ニューヨーク: シュプリンガー・ニューヨーク. p. 279. doi :10.1007/978-1-4612-4374-8. ISBN 978-0-387-94594-1。
3. ナーゲル、ヴェルナー; ステイヤー、ロルフ (2017年4月4日). 確率と条件付き期待値：経験科学の基礎. ワイリー確率統計シリーズ（第1版）. ワイリー. pp.  260– 261. doi :10.1002/9781119243496. ISBN 978-1-119-24352-6。
4. Bas, Esra (2019). 確率過程の基礎. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. p. 74. doi :10.1007/978-3-030-32323-3. ISBN 978-3-030-32322-6。
5. Riposo, Julien (2023). ブロックチェーン数学の基礎. シュプリンガー・ネイチャー・スイス. pp.  8– 9. doi :10.1007/978-3-031-31323-3. ISBN 978-3-031-31322-6。
6. ジョンソン, ノーマン L.;ケンプ, アドリエンヌ W.;コッツ, サミュエル (2005-08-19). 単変量離散分布. Wileyシリーズ 確率統計 (第1版). Wiley. p. 210. doi :10.1002/0471715816. ISBN 978-0-471-27246-5。
7. Weisstein, Eric W.; Ross, Andrew M. "Memoryless". mathworld.wolfram.com . 2024年12月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年7月25日閲覧。