マイクロコンティニュイティ

古典数学の一分野である非標準解析では、点aにおける内部関数fのミクロ連続性(またはS連続性)は次のように定義されます。

aに無限に近いすべてのxに対して、値f ( x ) はf ( a )に無限に近くなります。

ここでx はfの定義域を通る。式で表すと、次のように表すことができる。

もしそうなら。

x\approx a

f(x)\approx f(a)

上で定義された関数fの定義は、ハローを用いて次のように表現できる。fがにおいて微分連続となるのは、のときのみである。ここで、 fの超実数への自然な拡張は、依然としてfと表記される。あるいは、 cにおける微分連続性の性質は、cのハロー上で合成が一定であると述べることで表現できる。ここで、「st」は標準部分関数である。 $\mathbb {R}$ $c\in \mathbb {R}$ $f(hal(c))\subseteq hal(f(c))$ ${\text{st}}\circ f$

歴史

関数の連続性という現代的な性質は、1817年にボルツァーノによって初めて定義されました。しかし、ボルツァーノの研究は、1860年代にハイネによって再発見されるまで、数学界全体には注目されませんでした。一方、コーシーの教科書『解析学』は、 1821年に上記のように無限小を用いて連続性を定義しました。^[1]

連続性と均一な連続性

微分連続性の性質は、実関数fの自然拡大f*に典型的に適用される。したがって、実区間 I 上で定義されたfが連続であるための必要十分条件は、 f*がI のあらゆる点で微分連続である場合である。一方、fがI上で一様連続であるための必要十分条件は、 f* がその定義域Iの自然拡大I*のあらゆる点（標準点および非標準点）で微分連続である場合である（Davis, 1977, p. 96 参照）。

例1

開区間 (0,1) 上の実関数は一様連続ではありません。これは、 fの自然拡張f* が無限小において微分連続でなくなるためです。実際、そのようなaに対して、値aと2aは無限に近いですが、 f*の値、つまりとは無限に近いわけではありません。 $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ $a>0$ ${\tfrac {1}{a}}$ ${\tfrac {1}{2a}}$

例2

上の関数は一様連続ではありません。なぜなら、 f*は無限遠点で微分連続ではなくなるからです。つまり、K = H + eと設定すると、 HとKは無限遠に近いですが、f *( H ) とf *( K ) は無限遠ではないことが容易にわかります。 $f(x)=x^{2}$ $\mathbb {R}$ $H\in \mathbb {R} ^{*}$ $e={\tfrac {1}{H}}$

一様収束

一様収束も同様に、超実数の設定において簡略化された定義が可能である。したがって、列がfに一様収束するとは、 f*の定義域内のすべてのxとすべての無限nに対して、がに無限に近いことを意味する。 $f_{n}$ $f_{n}^{*}(x)$ $f^{*}(x)$

参照

標準部品機能

参考文献

マーティン・デイヴィス(1977) 『応用非標準解析学』純粋数学と応用数学. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York-London-Sydney. xii+181 pp. ISBN 0-471-19897-8
Gordon, EI; Kusraev, AG; Kutateladze , SS: 無限小解析。2001年のロシア語原著の改訂・更新。Kutateladze訳。『数学とその応用』544ページ。Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002年。

参考文献

^ ボロヴィク、アレクサンドル；カッツ、ミハイル・G.（2011）「コーシー＝ワイエルシュトラスの物語を教えてくれたのは誰か？厳密な微積分の二重の歴史」『科学の基礎』17（3）：245-276、arXiv：1108.2885、doi：10.1007/s10699-011-9235-x 。