モーメント問題

例: 平均と分散（およびそれ以降の キュムラントはすべて0 に等しい）が与えられている場合、正規分布はモーメント問題を解く分布です。${\displaystyle \sigma ^{2}}$

数学において、モーメント問題は、測度を モーメントの列に写像する逆写像を試みる結果として生じる。${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,.}$

より一般的には、

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.}$

任意の関数のシーケンスに対して。 ${\displaystyle M_{n}}$

導入

古典的な設定では、は実数直線上の測度であり、は数列 です。この形式では、確率論において、指定された平均、分散などを持つ確率測度が存在するかどうか 、そしてそれが一意であるかどうかという 問題が提起されます。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{x^{n}:n=1,2,\dotsc \}}$

古典的なモーメント問題には、実数直線全体をサポートできるハンバーガー モーメント問題、に対するスティルチェスモーメント問題、および一般性を失うことなく とみなせる有界区間 に対するハウスドルフ モーメント問題が 3 つあります。 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle [0,1]}$

モーメント問題は、ハンケル行列がテプリッツ行列に置き換えられ、 μのサポートが実数直線ではなく複素単位円になる三角モーメント問題として複素解析にも拡張されます。 ^[1]

存在

数列は、ある正値条件が満たされる場合にのみ測度のモーメント列となる。すなわち、ハンケル行列、 ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,}$

は半正定値 でなければならない。これは、半正定値ハンケル行列が、 かつ （多項式の平方和に対して非負）となるような線型汎関数に対応するためである。 は に拡張できると仮定する。一変数の場合、非負の多項式は常に平方和として表すことができる。したがって、一変数の場合、線型汎関数はすべての非負多項式に対して正である。ハビランドの定理によれば、線型汎関数は測度形式、つまり を持つ。与えられた区間 でサポートされる測度が存在するためには、同様の形式の条件が必要かつ十分である。 ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=m_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda (f^{2})\geq 0}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu }$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle [a,b]}$

これらの結果を証明する一つの方法は、多項式を送る 線形関数を考えることである。${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}}$

に

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

が に支えられた何らかの測度のモーメントである場合、明らかに ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle [a,b]}$

逆に、（１ ）が成り立つ場合、 M.リースの拡張定理を適用して、コンパクト台を持つ連続関数の空間上の汎関数に拡張することができる。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C_{c}([a,b])}$

リースの表現定理によれば、（２ ）が成り立つのは、上に支持される測度が存在し、 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \varphi (f)=\int f\,d\mu }$

すべての について。 ${\displaystyle f\in C_{c}([a,b])}$

したがって、測度の存在は( 1 )と同値である。上の正多項式の表現定理を用いると、( 1 )をハンケル行列の条件として再定式化することができる。^{[2] [3]}${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle [a,b]}$

一意性（または決定性）

ハウスドルフモーメント問題におけるの一意性は、上の連続関数の空間において多項式が一様ノルムの下で稠密であると述べるワイエルシュトラスの近似定理から導かれる。無限区間上の問題の場合、一意性はより微妙な問題となる。^[4]対数正規分布のように、すべての正の整数に対して有限のモーメントを持つが、他の分布は同じモーメントを持つ分布が ある。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle [0,1]}$

正式な解決策

解が存在する場合、ディラックのデルタ関数の微分を使って次のように 正式に記述できる。

${\displaystyle d\mu (x)=\rho (x)dx,\quad \rho (x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)m_{n}}$ 。

この式は、その特性関数の逆フーリエ変換をとることによって導出できます。

バリエーション

重要な変種として、打ち切りモーメント問題があります。これは、最初のk個のモーメントを固定した測度（有限のkに対して）の性質を研究するものです。打ち切りモーメント問題の結果は、極限問題、最適化、確率論における極限定理など、数多くの応用があります。^[3]

確率

モーメント問題は確率論にも応用されており、一般的に以下のようなものが用いられる。^[5]

定理 (フレシェ-ショハト) —が決定測度 (つまり、そのモーメントによって一意に決定される) であり、測度が分布に従うようなものである場合。 ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \mu _{n}}$ $${\displaystyle \forall k\geq 0\quad \lim _{n\rightarrow \infty }m_{k}\left[\mu _{n}\right]=m_{k}[\mu ],}$$ ${\textstyle \mu _{n}\rightarrow \mu }$

カールマンの条件を確認すると、標準正規分布が決定的な測度であることがわかり、中心極限定理の次の形式が得られます。

系—確率分布のシーケンスがを満たす場合、分布は に収束します。${\textstyle \nu _{n}}$ $${\displaystyle m_{2k}[\nu _{n}]\to {\frac {(2k)!}{2^{k}k!}};\quad m_{2k+1}[\nu _{n}]\to 0}$$ ${\textstyle \nu _{n}}$ ${\textstyle N(0,1)}$

参照

• カールマン病
• ハンバーガーモーメント問題
• ハンケル行列
• ハウスドルフモーメント問題
• モーメント（数学）
• スティルチェスモーメント問題
• 三角モーメント問題

注記

1. シュミュッゲン 2017、257頁。
2. ショハット＆タマルキン 1943年。
3. Kreĭn & Nudel'man 1977.
4. アキエザー 1965年。
5. Sodin, Sasha (2019年3月5日). 「古典モーメント問題」(PDF) . 2022年7月1日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。

参考文献

• ショーハット、ジェームズ・アレクサンダー;タマルキン、ジェイコブ・D. (1943). 『モーメントの問題』 ニューヨーク: アメリカ数学協会. ISBN 978-1-4704-1228-9。
• アキエゼル、ナウム・I. (1965).解析学における古典モーメント問題といくつかの関連問題. ニューヨーク: ハフナー出版.（ロシア語からの翻訳：N.ケマー）
• Kreĭn, MG; Nudel′man, AA (1977).マルコフモーメント問題と極値問題. 数学モノグラフの翻訳. プロビデンス、ロードアイランド: アメリカ数学協会. doi :10.1090/mmono/050. ISBN 978-0-8218-4500-4. ISSN  0065-9282.
• Schmüdgen, Konrad (2017).モーメント問題. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 277. 出版社: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-64546-9. ISBN 978-3-319-64545-2. ISSN  0072-5285.