乗算

乗算は、四則演算の一つで、他の四則演算は加算、減算、除算です。乗算の結果は積と呼ばれます。乗算は、多くの場合、 ×印、中点演算子、·、並置、あるいはプログラミング言語ではアスタリスク*で表されます。

整数の乗算は、繰り返し加算と考えることができます。つまり、2つの数の乗算は、一方の数（被乗数）を、もう一方の数（乗数）と同じ数だけ加算することに相当します。どちらの数も因数と呼ぶことができます。これは、加算される項とは区別されます。

a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}.

最初の因数が乗数か被乗数かは曖昧であったり、文脈に依存したりする場合があります。例えば、この式は「3×4」と表現され、3が乗数となると評価されますが、「3×4」と表現され、3が被乗数となる場合もあります。^[1]乗算の主要な性質の一つに交換法則があり、この場合、4を3つ足しても3を4つ足しても結果は同じになります。したがって、乗数と被乗数の指定は乗算の結果に影響を与えません。^[2]^[3] $3\times 4$ $4+4+4$

この基本定義を体系的に一般化することで、整数 (負の数を含む)、有理数 (分数)、実数の乗算が定義されます。

掛け算は、長方形に並べられた物体の数を数える（整数の場合）ことや、ある長さの辺を持つ長方形の面積を求めることとして視覚化することもできます。長方形の面積は、どの辺を最初に測るかによって決まるわけではありません。これは交換法則によるものです。

2つの測定値（または物理量）の積は、新しい種類の測定値（または新しい量）であり、通常は導出測定単位が伴います。例えば、長方形の2辺の長さ（メートルまたはフィート）を掛け合わせると、その面積（平方メートルまたは平方フィート）が得られます。このような積は次元解析の対象となります。

掛け算の逆の演算は割り算です。例えば、 4を3で掛けると12になるので、12を3で割ると4になります。実際、3を掛けて3で割ると元の数になります。0以外の数を自身で割ると1になります。

いくつかの数学的概念は、乗算という基本的な考え方を拡張したものです。数列の積、ベクトル乗算、複素数、行列などは、いずれも乗算の適用例です。これらの高度な概念は、行列や一部のベクトル乗算において非可換性を持つことや、複素数の符号を変えることなど、独自の方法で基本的な性質に影響を与える傾向があります。

表記

算術では、掛け算は因数の間に乗算記号（×または）を使って（つまり、中置記法で）書かれることが多い。^[4]例えば、 $\times$

2\times 3=6,

（「2 かける 3は 6です」）

3\times 4=12,

2\times 3\times 5=6\times 5=30,

2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.

乗算には他の数学表記法もあります。

乗算記号 × と共通変数 $x$ との混同を減らすため、乗算はドット記号でも表され、通常は中間のドット（まれにピリオド）です：。^[4]中間ドット表記法またはドット演算子は、現在、米国^[4]^[5]およびその他の国々で標準となっています。^[6]^[^{明確化が必要}^]ドット演算子文字を使用できない場合は、句読点（·）が使用されます。^[6]小数点としてコンマ（および千の位の区切りとしてピリオド）を使用するほとんどのヨーロッパ諸国およびその他の国々では、乗算記号または中間ドットが乗算を示すために使用されます。歴史的に、英国とアイルランドでは、小数点が罫線の中で消えるのを防ぐために中間ドットが使用されることがあり、乗算には終止符（ピリオド）が使用されていました。しかし、 1968年に科学技術省がピリオドを小数点として使用することを決定し、^[7]国際単位系（SI）標準が広く採用されて以来、この用法は現在ではランセットなどのより伝統的なジャーナルでのみ見られます。^[8] $5\cdot 2$
代数学では、変数の乗算はしばしば並置表記（例えば、を倍、を 5 倍）で表し、暗黙の乗算とも呼ばれます。この表記法は、括弧で囲まれた数量にも使用できます（例えば、、または5 を 2 倍）。^{[9]この暗黙の乗算の使用は、連結された変数が別の変数名と偶然一致する場合、括弧の前の変数名が関数名と混同される場合、または}演算順序を正しく決定できない場合に、曖昧さを引き起こす可能性があります。^[10]^[11] $xy$ $x$ $y$ $5x$ $x$ $5(2)$ $(5)2$ $(5)(2)$
ベクトルの乗算では、クロス記号とドット記号が区別されます。クロス記号は一般的に、 2つのベクトルの外積をとり、その結果としてベクトルが得られることを表します。一方、ドット記号は2つのベクトルのドット積をとり、結果としてスカラーが得られることを表します。

コンピュータプログラミングにおいて、アスタリスク（5*2）は今でも最も一般的な表記法です。これは、歴史的にほとんどのコンピュータが、乗算記号（やなど）を持たない小さな文字セット（ ASCIIやEBCDICなど）に限定されていたためです^[^要出典^]。一方、アスタリスクはすべてのキーボードに表示されていました^[12] 。この用法はFORTRANプログラミング言語に由来します^{[13] 。}⋅×

掛け算される数は、一般的に「因数」（因数分解のように）と呼ばれます。掛け算される数は「被乗数」、掛け算される数は「乗数」です。通常、乗数は最初、被乗数は2番目に配置されます。^[14]^[15]しかし、最初の因数が被乗数、2番目の因数が乗数とみなされる場合もあります。また、掛け算の結果は因数の順序に依存しないため、「被乗数」と「乗数」の区別は、非常に初歩的なレベルと、長乗法などの一部の乗算アルゴリズムにおいてのみ有用です。そのため、一部の文献では、「被乗数」という用語は「因数」の同義語とみなされています。^[16] 代数学では、変数または式の乗数となる数（例えば、の3 ）は係数と呼ばれます。 $3xy^{2}$

掛け算の結果は積と呼ばれます。一方の因数が整数の場合、その積はもう一方の因数の倍数、または他の因数の積の倍数になります。したがって、はの倍数であり、も同様です。整数の積は、それぞれの因数の倍数です。例えば、15は3と5の積であり、3の倍数であると同時に5の倍数でもあります。 $2\times \pi$ $\pi$ $5133\times 486\times \pi$

定義

2 つの数値の積または 2 つの数値間の乗算は、一般的な特殊なケース (自然数、整数、有理数、実数、複素数、四元数) に対して定義できます。

2つの自然数の積

2 つの自然数の積は次のように定義されます。 $r,s\in \mathbb {N}$

$r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.$

2つの整数の積

整数は、ゼロ、非ゼロの自然数、または非ゼロの自然数を引いた値のいずれかです。ゼロと他の整数の積は常にゼロです。2つの非ゼロの整数の積は、それらの正の量の積と、次の規則から導かれる符号の組み合わせによって決まります。

(この規則は、加算に対する乗算の分配法則の結果であり、追加の規則ではありません。)

言葉で言うと：

正の数に正の数を掛けると正の数になる（自然数の積）。
正の数に負の数を掛けると負の数になる。
負の数に正の数を掛けると負の数になる。
負の数に負の数を掛けると正の数になります。

2つの分数の積

2 つの分数は、分子と分母を掛け合わせることで掛け算できます。

{\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},

これはの場合に定義されます。

n,n'\neq 0

2つの実数の積

実数を形式的に定義する方法はいくつかあります。実数の構成を参照してください。乗算の定義は、これらの定義すべてに含まれます。

これらの定義の基本的な側面は、あらゆる実数は有理数によって任意の精度で近似できるということです。これを表現するための標準的な方法は、あらゆる実数は有理数の集合の最小の上限である、というものです。特に、あらゆる正の実数は、その無限小数表現の切り捨ての最小の上限です。例えば、は $\pi$ $\{3,\;3.1,\;3.14,\;3.141,\ldots \}.$

実数の基本的な性質は、有理近似が算術演算、特に乗算と両立するという点です。これは、 $a$ と $bが$ 正の実数で、かつとなる場合、特に、2つの正の実数の積は、それらの10進表現の列の項ごとの積の最小の上限であることを意味します。 $a=\sup _{x\in A}x$ $b=\sup _{y\in B}y,$ $a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.$

符号を変えると最小の上限が最大の下限に変わるため、1つまたは2つの負の数を含む乗算を扱う最も簡単な方法は、上記の§ 2つの整数の積で説明した符号規則を使用することです。4つの可能な符号構成を考慮する必要がないため、コーシー列を通して実数を構成することがしばしば好まれます。

2つの複素数の積

2 つの複素数は、次のように分配法則とという事実によって乗算できます。 $i^{2}=-1$

{\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}

複素乗算の幾何学的な意味は、複素数を極座標で書き直すことで理解できます。

a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }

さらに、

c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },

そこから得られる

(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.

幾何学的な意味は、大きさを掛け合わせて引数を加算することです。

2つの四元数の積

2つの四元数の積については、四元数に関する記事で説明されています。この場合、とは一般に異なることに注意してください。 $a\cdot b$ $b\cdot a$

計算

鉛筆と紙を使って数を掛け算する一般的な方法の多くは、小さな数（通常は0から9までの任意の2つの数）の積の掛け算表を暗記したり参照したりする必要があります。しかし、農民の掛け算アルゴリズムと呼ばれる方法では、そのような掛け算表は必要ありません。以下の例は、「長掛け算」（「標準アルゴリズム」、「小学校の掛け算」）を示しています。

      23958233
× 5830
———————————————
      00000000 （ = 23,958,233 × 0）
     71874699 （ = 23,958,233 × 30）
   191665864 ( = 23,958,233 × 800)
+ 119791165 （ = 23,958,233 × 5,000）
———————————————
  139676498390 ( = 139,676,498,390 )

ドイツなどの一部の国では、上記の掛け算は同じように表されますが、元の問題は1行に書かれ、計算は乗数の最初の桁から始まります。^[17]

23958233 · 5830
———————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000
———————————————
   139676498390

小数点以下2桁以上の数値を手で掛け算するのは面倒で、間違いが起きやすい作業です。対数の加算は掛け算と同じなので、このような計算を簡素化するために常用対数が発明されました。計算尺を使えば、約3桁の精度で数値を素早く掛け算できるようになりました。20世紀初頭には、マーチャントなどの機械式計算機が、最大10桁の数値の掛け算を自動化しました。現代の電子計算機や計算機のおかげで、手作業による掛け算の必要性は大幅に減少しました。

歴史的アルゴリズム

掛け算の方法は、古代エジプト、ギリシャ、インド、^[要出典]、中国文明の文献に記録されています。

イシャンゴの骨は紀元前18,000年から20,000年頃のものとされ、中央アフリカの後期旧石器時代に掛け算の知識があったことを示唆している可能性があるが、これは推測の域を出ない。^[18]^[^{検証が必要}^]

エジプト人

リンド数学パピルスに記録されているエジプトの整数と分数の乗算法は、連続的な加算と倍加によるものでした。例えば、13と21の積を求めるには、21を3回倍加する必要があり、2 × 21 = 42、4 × 21 = 2 × 42 = 84、8 × 21 = 2 × 84 = 168となります。そして、倍加の順序にある適切な項を足し合わせることで、完全な積を求めることができました。^[19]

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273。

バビロニア人

バビロニア人は、現代の十進法に類似した、 60進位取り記数法を用いていた。そのため、バビロニアの乗算は現代の十進法の乗算と非常に似ていた。60 × 60種類の積を覚えるのは比較的困難であったため、バビロニアの数学者は乗算表を用いていた。これらの表は、ある主要な数nの最初の 20 の倍数のリスト( n、 2 n、 ...、 20 n )と、それに続く 10 nの倍数( 30 n 、 40 n、 50 n )で構成されていた。したがって、60進法の積、たとえば 53 nを計算するには、表から計算された50 nと 3 n を加算するだけで済んだ。 ^[^要出典^]

中国語

紀元前300年以前の数学書『周筆算経』と『九章算術』では、掛け算の計算は文字で記されていましたが、初期の中国の数学者たちは、位取り加減乗除を含む棒計算を用いていました。中国では、戦国時代末期には既に十進法の掛け算表が使用されていました。^[20]

現代的な方法

ヒンドゥー・アラビア数字体系に基づく現代の乗算法は、ブラフマグプタによって初めて記述されました。ブラフマグプタは、加算、減算、乗算、除算の規則を定めました。当時プリンストン大学の数学教授であったヘンリー・バーチャード・ファイン氏は、次のように記しています。

インド人は位取り十進法そのものだけでなく、その基本的な計算過程のほとんどを発明した。彼らは加減算を現代とほぼ同様に行っていた。乗算は様々な方法で行っていたが、我々のやり方も例外ではなかった。しかし、除算は煩雑な方法で行っていた。^[21]

これらの位取り十進法のアルゴリズムは、9世紀初頭にアル・フワーリズミーによってアラブ諸国に導入され、 13世紀にフィボナッチによって西洋世界に普及しました。 ^[22]

グリッド法

グリッド法による掛け算、またはボックス法は、イングランドとウェールズ、そしてアメリカ合衆国の一部の地域^{（どの地域？）}の小学校で、多桁の掛け算の仕組みを理解するために用いられています。34と13を掛け算する例として、数字を次のようにグリッドに並べます。

そしてエントリを追加します。

コンピュータアルゴリズム

$n$ 桁の 2 つの数を乗算する古典的な方法では、 $n回の 2$ 桁の乗算が必要です。大きな数を乗算するときに計算時間を大幅に短縮する乗算アルゴリズムが設計されています。離散フーリエ変換に基づく方法は、計算の複雑さを $O (n log n log log n)$ に削減します。2016 年には、係数 $log log n は$ 、まだ一定ではありませんが、はるかにゆっくりと増加する関数に置き換えられました。^{[23] 2019 年 3 月、 David Harvey と Joris van der Hoeven は、複雑さが}^[24]の整数乗算アルゴリズムを提示した論文を提出しました。このアルゴリズムも高速フーリエ変換に基づいており、漸近的に最適であると推測されています。^{[25]このアルゴリズムは、非常に大きな数 (} $2$ $1729$ $12$ ビットを超える) を乗算する場合にのみ高速になるため、実際には役に立ちません。 ^[26] $O(n\log n).$

測定結果

同じ種類の量同士の加算や減算は意味を持ちますが、異なる種類の量同士の乗算や除算は問題なく行えます。例えば、ビー玉が3つずつ入った4つの袋は、次のように考えることができます。^[2]

[4袋] × [袋あたり3個] = 12個。

2つの測定値を掛け合わせると、その積は測定値の種類に応じた型になります。一般理論は次元解析によって与えられます。この解析は物理学で日常的に応用されていますが、金融などの応用分野にも応用されています。

物理学におけるよくある例としては、速度と時間を掛け合わせると距離が得られるという事実があります。例えば、

時速50キロメートル×3時間＝150キロメートル。

この場合、時間単位は打ち消され、製品にはキロメートル単位のみが残ります。

単位を含む乗算の他の例としては、次のものがあります。

2.5メートル×4.5メートル＝11.25平方メートル

11メートル/秒×9秒＝99メートル

1軒あたり4.5人 × 20軒 = 90人

シーケンスの積

大文字のπ表記

因数列の積は積の記号で表すことができる。これはギリシャ文字のΠ（パイ）に由来する（和の記号がギリシャ文字のΣ（シグマ）に由来するのとよく似ている）。 ^[27]^[28]この表記法の意味は次のように与えられる。 $\textstyle \prod$ $\textstyle \sum$

\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),

その結果

\prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.

このような表記法では、変数 $i は$ 乗算指数と呼ばれる可変整数を表します。乗算指数は、下付き文字で示される下限値 $1$ から上付き文字で示される上限値 $4$ までの範囲をとります。積は、積演算子に続く式において、下限値と上限値（境界値を含む）の間の整数を乗算指数に代入して得られるすべての因数を乗算することで得られます。

より一般的には、この表記法は次のように定義される。

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},

ここで、 mとnは整数、または整数として評価される式です。m = nの場合、積の値は単一の因数x _mの値と同じになります。m > nの場合、積は因数の式に関わらず値が1の空積になります。

大文字π記法の特性

定義上、

\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.

$すべての因数が同一であれば、 n$ 因数の積はべき乗に等しい。

\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.

乗算の結合性と可換性は、

\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)

そして

\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}

$aが$ 負でない整数、またはすべてが正の実数である場合、 $x_{i}$

\prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}

すべてが負でない整数である場合、または $x$ が正の実数である場合。 $a_{i}$

無限の製品

無限個の因数の積を考えることもできます。これらは無限積と呼ばれます。記法的には、上記のnを無限大記号∞に置き換えることです。このような無限列の積は、 nが無限に増加する場合の最初のn因数の積の極限として定義されます。つまり、

\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.

同様に、m を負の無限大に置き換えて定義することもできます。

\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),

ただし、両方の制限が存在する場合。^[要出典]

累乗

乗算を繰り返すと、その結果得られる演算は指数乗と呼ばれます。例えば、2の因数3つの積（2×2×2）は「2の3乗」であり、2 ³（2に上付き文字3）で表されます。この例では、2が底で、3が指数です。^[29]一般に、指数（または上付き文字）は、式の中で底が何回現れるかを示します。つまり、式は

a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a

は、基数aのn個のコピーを掛け合わせることを示します。この記法は、乗算がべき乗結合法であることが分かっている場合はいつでも使用できます。

プロパティ

実数と複素数(自然数、整数、分数など)の場合、乗算には特定の特性があります。

交換法則

2つの数を掛け合わせる順序は重要ではない: ^[30]^[31]

x\cdot y=y\cdot x.

結合法則

乗算または加算のみを含む式は演算順序に関して不変である：^[30]^[31]

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).

分配法則

乗算と加算に関して成立する。この恒等式は代数式を簡略化する上で極めて重要である。^[30]^[31]

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.

アイデンティティ要素

乗法単位元は1である。つまり、1を掛けたものはそれ自身である。1のこの性質は単位元の性質として知られている。^[30]^[31]

x\cdot 1=x.

0のプロパティ

任意の数を0倍すると0になる。これは乗算の零性として知られている。 ^[30]

x\cdot 0=0.

否定

任意の数を-1倍すると、その数の 加法逆数に等しくなります。

(-1)\cdot x=(-x)

、どこ

(-x)+x=0.

−1 掛ける −1 は 1 です:

(-1)\cdot (-1)=1.

逆要素: 0を除くすべての数xには逆数があり、となる。^[32] ${\frac {1}{x}}$ $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$

秩序の維持

正の数を掛け算すると順序が保存されます。

a > 0の場合、b > cであれば、ab > acです。

負の数を掛けると順序が逆になります。

a < 0、b > cの場合、ab < acです。

複素数は加算と乗算の両方と互換性のある順序を持っていない。^[33]

乗算演算を含む他の数学体系は、これらの性質をすべて備えているとは限りません。例えば、行列や四元数では、乗算は一般に可換ではありません。^[30] ハーヴィッツの定理は、八元数、十元数、三元数を含む8 次元以上の超複素数では、乗算は一般に結合法則に反することを示しています。^[34]

公理

ジュゼッペ・ペアノは著書『算術原理、新手法解説』の中で、自然数に関する自身の公理に基づいて算術の公理を提唱しました。ペアノ算術には、乗算に関する2つの公理があります。

x\times 0=0

x\times S(y)=(x\times y)+x

ここでS ( y ) はyの次の自然数、すなわちy の次の自然数を表す。結合法則などの様々な性質は、これらと帰納法を含むペアノ算術の他の公理から証明できる。例えば、 1で表されるS (0) は乗法単位元である。

x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.

整数の公理は、典型的には自然数の順序対の同値類として定義される。このモデルは、xとyを整数として扱う場合、( x , y )をx − yと同値とみなすことに基づいている。したがって、(0,1)と(1,2)はどちらも-1と同値である。このように定義された整数の乗法公理は、

(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).

−1 × −1 = 1という規則は、

(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).

乗算は同様に有理数に拡張され、さらに実数にも拡張されます。^[要出典]

集合論による乗算

非負整数の積は、基数またはペアノ公理を用いた集合論で定義できます。これを任意の整数の積、そして任意の有理数の積に拡張する方法については、以下を参照してください。実数の積は有理数の積によって定義されます。実数の構成を参照してください。^[35]

群論における乗算

乗法の演算において、群の構造を定義する公理を満たす集合は数多く存在します。これらの公理とは、閉包性、結合性、そして単位元と逆元の包含です。

簡単な例として、非ゼロ有理数の集合が挙げられます。ここでは恒等式が1ですが、加法における群では恒等式は通常0です。有理数の場合、乗算において逆数が存在しないため、0は除外する必要があることに注意してください。つまり、0を乗じて1になる有理数は存在しません。この例ではアーベル群が存在します。しかし、常にそうであるとは限りません。

これを理解するには、与えられた体上の与えられた次元の可逆正方行列の集合を考えてみましょう。ここでは、閉包性、結合性、そして単位行列（単位行列）と逆行列の包含関係は簡単に検証できます。しかし、行列の乗法は可換ではないため、この群は非可換群であることがわかります。

もう一つ注目すべき事実は、乗算の対象となる整数は、たとえ0を除外したとしても群を形成しないということです。これは、1と-1以外のすべての元に逆元が存在しないことから容易に分かります。

群論における乗法は、典型的にはドットか、あるいは並列（要素間の演算記号の省略）で表記される。例えば、要素aと要素bの乗算は、 a bまたはabと表記される。集合と演算の指示によって群を指す場合は、ドットが用いられる。例えば、最初の例はと表記される。^[36] $\cdot$ $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$

異なる種類の数の掛け算

数字は、数える（リンゴ 3 個）、順序付ける（3 番目のリンゴ）、または測る（高さ 3.5 フィート）ことができます。数学の歴史は、指で数えることから量子力学をモデル化することまで進歩しており、掛け算はより複雑で抽象的な種類の数字や、数字ではないもの（行列など）や数字に似ていないもの（四元数など）に一般化されています。

整数: $N\times M$ は、 NとMが正の整数であるとき、MのN個のコピーの合計である。これは、幅N 、高さMの配列に含まれるものの個数を表す。負の数への一般化は次のように行うことができる。; $N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ そして; $(-N)\times (-M)=N\times M$; 有理数と実数に同じ符号規則が適用されます。

有理数: 分数への一般化は、分子と分母をそれぞれ掛け合わせることによって行われます。これは長方形の縦横の面積を与え、有理数が整数である場合の配列内のものの個数と一致します。^[30] ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$ ${\frac {A}{B}}$ ${\frac {C}{D}}$

実数: 実数とその積は、有理数の列で定義できます。

複素数: 複素数とを実数と対として考えると、積はとなります。これは、虚数部とがゼロの場合の実数の場合と同じです。 $z_{1}$ $z_{2}$ $(a_{1},b_{1})$ $(a_{2},b_{2})$ $z_{1}\times z_{2}$ $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$ $a_{1}\times a_{2}$ $b_{1}$ $b_{2}$

同様に、と表記すると、^[30]

{\sqrt {-1}}

i

z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.

あるいは三角関数の形で、もしならば、^[30]

z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})

{\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}

さらなる一般化: 上記の群論における乗法、および行列乗法を含む乗法群を参照してください。乗法の非常に一般的で抽象的な概念は、環における「乗法的に表記された」（第二の）二項演算です。上記のいずれの数体系にも当てはまらない環の例としては、多項式環があります（多項式は加算と乗算が可能ですが、通常の意味での数ではありません）。

分割: 多くの場合、除算は逆元による乗算と同じになります。ある種の「数」の乗算には、逆元を持たない除算が存在する場合があります。例えば、整域xには逆元「」が存在しない場合もありますが、定義されることがあります。除算環には逆元が存在しますが、非可換環ではがと同じである必要はないため、逆元は曖昧になることがあります。^[^要出典^] ${\frac {x}{y}}$ $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ ${\frac {1}{x}}$ ${\frac {x}{y}}$ ${\frac {x}{y}}$ $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ $\left({\frac {1}{y}}\right)x$

参照

次元解析
乗算アルゴリズム
- 大きな数に対するKaratsubaアルゴリズム
- トゥーム・クック乗法（非常に大きな数の場合）
- シェーンハーゲ・シュトラッセンアルゴリズム、巨大な数の場合
掛け算表
2進乗算器、コンピュータの乗算方法
逆数、逆数
階乗
ジュナイユ＝リュカ朝
月の算術
ネイピアの骨
農民の増殖
積（数学）、一般化について
計算尺

参考文献

^ Foster, Colin (2022-03-01). 「正しい掛け算の仕方」. Mathematics in School . 51 (2). The Mathematical Association (UK): 16–17 . hdl :2134/19299752.v1 . 2025年5月15日閲覧。
^ ab Devlin, Keith (2011年1月). 「What Exactly is Multiplication?」. Mathematical Association of America . 2017年5月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年5月14日閲覧。乗算では、被乗数（2番目に書く）と乗数（1番目に書く）を掛け合わせます。
^ Devlin, Keith (2011年1月). 「What exact is multiplication?」. profkeithdevlin.org . 2024年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年12月12日閲覧。
^ abc Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). 『小学校教師のための数学：現代的アプローチ』John Wiley & Sons . p. 101. ISBN 978-1-118-48700-6。
^ クローゼ、オルヴァル（1966年）『数体系と算術演算』ペルガモン出版、39ページ。ISBN 978-1-4831-3709-4。
^ ab アレクサンダー・ヒューメズ、ニコラス・ヒューメズ (2008年10月2日). 「オン・ザ・ドット：世界を変えた斑点」オックスフォード大学出版局. p. 103. ISBN 978-0-19-971718-7。
^ 「ポイントでの勝利」. Nature . 218 (5137): 111. 1968. Bibcode :1968Natur.218S.111.. doi : 10.1038/218111c0 .
^ 「The Lancet – 電子原稿提出のためのフォーマットガイドライン」（PDF） . 2017年4月25日閲覧。
^ トール、デイビッド (1983). 「コンピュータによる代数の導入：今日と未来」.学校における数学. 12 (5): 37– 40. JSTOR 30213874.
^ Peterson, Dave (2019年10月14日). 「演算順序：暗黙の乗算？」. 代数 / PEMDAS. The Math Doctors. 2023年9月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年9月25日閲覧。
^ Peterson, Dave (2023年8月18日). 「暗黙の乗算 1: 思ったほど悪くない」. 代数 / 曖昧さ, PEMDAS. The Math Doctors. 2023年9月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年9月25日閲覧。; Peterson, Dave (2023-08-25). 「暗黙の乗算 2：標準はあるか？」代数、算術／曖昧性、PEMDAS。The Math Doctors。2023年9月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年9月25日閲覧。; Peterson, Dave (2023-09-01). 「暗黙の乗算 3：証明できない」. 代数 / PEMDAS. The Math Doctors. 2023年9月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年9月25日閲覧。
^ グーキン、ダン (2004). C For Dummies (第2版). Wiley. p. 88. ISBN 978-0-7645-7392-7。
^ Fuller, William R. (1977). FORTRANプログラミング：微積分コースのための補足. Universitext. Springer. p. 10. doi :10.1007/978-1-4612-9938-7. ISBN 978-0-387-90283-8。
^ 「乗数 | 数学 | ブリタニカ」www.britannica.com . Encyclopædia Britannica, Inc . 2024年11月15日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. 「Multiplicand」. mathworld.wolfram.com . Wolfram Research, Inc . 2024年11月15日閲覧。
^ リトビン、チェスター（2012年）『精神伝導による高度な脳刺激』トラフォード、pp. 2– 3, 5– 6. ISBN 978-1-4669-0152-0– Google ブック検索経由。
^ “Multiplication”. mathematische-basteleien.de . 2022年3月15日閲覧。
^ Pletser, Vladimir (2012-04-04). 「イシャンゴの骨は12進法の知識を示唆しているか？人類初の数学ツールである先史時代の発見の解釈」arXiv : 1204.1019 [math.HO].
^ 「農民の増殖」. cut-the-knot.org . 2021年12月29日閲覧。
^ Qiu, Jane (2014年1月7日). 「中国の竹ひごに隠された古代の年表」Nature . doi : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID 130132289. 2014年1月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2014年1月22日閲覧。
^ ファイン、ヘンリー・B. (1907). 『代数学の数体系 ― 理論的・歴史的に扱う』(PDF) (第2版). p. 90.
^ ベルンハルト、アドリアン. 「失われたイスラムの図書館から現代数学が生まれた経緯」bbc.com . 2022年4月22日閲覧。
^ デヴィッド、ハーヴェイ;ファン・デル・ホーフェン、ジョリス。ルセルフ、グレゴワール (2016)。「整数乗算がさらに高速化」。複雑さのジャーナル。36 : 1–30.arXiv : 1407.3360 。土井：10.1016/j.jco.2016.03.001。ISSN 0885-064X。S2CID 205861906。
^ David Harvey, Joris Van Der Hoeven (2019). O(n log n) の時間で整数乗算を実行 Archived 2019-04-08 at the Wayback Machine
^ ハートネット、ケビン (2019年4月11日). 「数学者、完璧な掛け算の方法を発見」. Quanta Magazine . 2020年1月25日閲覧。
^ Klarreich, Erica (2020年1月). 「Multiplication Hits the Speed Limit」. cacm.acm.org . 2020年10月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年1月25日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. 「Product」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月16日閲覧。
^ 「合計と積の表記法」. math.illinoisstate.edu . 2020年8月16日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. 「指数関数」. mathworld.wolfram.com . 2021年12月29日閲覧。
^ abcdefghi 「掛け算」。数学百科事典。2021年12月29日閲覧。
^ abcd Biggs, Norman L. (2002).離散数学. オックスフォード大学出版局. p. 25. ISBN 978-0-19-871369-2。
^ Weisstein, Eric W. 「Multiplicative Inverse」. Wolfram MathWorld . 2022年4月19日閲覧。
^ Angell, David. 「複素数の順序付け…NOT*」(PDF) . UNSW Sydney, 数学・統計学部. 2021年12月29日閲覧。
^ カワガス、ラウル E.;カラスカル、アレクサンダー S.バウティスタ、リンカーン A.マリア、ジョン P. ステーション。ウルティア、ジャッキー・D。貴族、バーナデス (2009)。「次元 32 のケイリー・ディクソン代数の部分代数構造 (trigintaduonion)」。arXiv : 0907.2047v3 [math.RA]。
^ “10.2: 実数の構築”. Mathematics LibreTexts . 2018年4月11日. 2023年6月23日閲覧。
^ バーンズ、ジェラルド (1977).群論入門とその応用. ニューヨーク: アカデミック・プレス. ISBN 9780121457501。

さらに読む

Boyer, Carl B. （ Merzbach, Uta C.改訂）（1991年）『数学史』 John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

外部リンク

cut-the-knotにおける様々な数体系での乗算と算術演算
現代中国のそろばんを使った掛け算のテクニック