数学において、二項演算の単位元または中立元とは、演算を適用してもすべての要素が変化しない元のことです。[1] [2]例えば、0は実数の加法の単位元です。この概念は、群や環などの代数構造で使用されます。単位元という用語は、混同の可能性がない場合には、しばしば単位元と短縮されます（加法単位元と乗法単位元の場合のように）[3]が、その単位元は暗黙的に、それが関連付けられている二項演算に依存します。

定義

集合Sに二項演算∗が備わっている とすると、Sの  元 eはSの sに対して e∗s=s成り立つ場合、左恒等式、および a右恒等式は、 S内の 全ての ss∗e=s場合に。[4]eが左恒等式かつ右恒等式である場合に二面性のあるアイデンティティ、あるいは単にアイデンティティ。[5][6][7][8][9]

加法に関する恒等式は加法的な恒等式（0と表記されることが多い）と乗法に関する恒等式は乗法単位元（しばしば1と表記される）。[3]群の場合、単位元は単に記号 で表されることがある環、整域、体など、二項演算の両方をサポートする集合で最もよく用いられる。乗法単位元はしばしば後者の文脈における単位元（単位元を持つ環）[10][11][12]単位元と混同すべきではない乗法逆元を持つ任意の元である元の定義によれば、単位元自体は必然的に単位元である。[13][14]

例

プロパティ

与えられた等式を持つ例S = { e,f } において、 Sは半群です。これは、 ( S , ∗)が複数の左単位元を持つ可能性があることを示しています。実際、すべての元は左単位元になり得ます。同様に、右単位元も複数存在し得ます。しかし、右単位元と左単位元の両方が存在する場合、それらは必ず等しく、結果として単一の両側単位元になります。

これを理解するには、lが左恒等式でrが右恒等式である場合、l = l ∗ r = rとなることに注意する。特に、両側恒等式は1つしか存在しない。例えばeとf が2つある場合、e ∗ f はeとf の両方に等しくなければならない。

また、乗算演算における偶数の場合のように、 ( S ,∗)に単位元が存在しないことも十分にあり得ます。 [15] [3]もう1つの一般的な例はベクトルの外積で、単位元が存在しない理由は、非ゼロの外積の方向が、乗算される要素と常に直交するという事実に関係しています。つまり、元のベクトルと同じ方向の非ゼロベクトルを得ることはできません。単位元を持たない構造のさらに別の例として、正の自然数の加法半群が挙げられます。

参照

注釈と参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W.「恒等元」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月1日閲覧。
  2. ^ 「アイデンティティ要素の定義」www.merriam-webster.com . 2019年12月1日閲覧。
  3. ^ abc 「恒等元」. www.encyclopedia.com . 2019年12月1日閲覧。
  4. ^ フレイリー（1976年、21ページ）
  5. ^ Beauregard & Fraleigh (1973、p. 96)
  6. ^ フレイリー（1976年、18ページ）
  7. ^ ハーシュタイン（1964年、26ページ）
  8. ^ マッコイ（1973年、17ページ）
  9. ^ 「恒等元 | Brilliant Math & Science Wiki」brilliant.org . 2019年12月1日閲覧。
  10. ^ Beauregard & Fraleigh (1973、p. 135)
  11. ^ フレイリー（1976年、198ページ）
  12. ^ マッコイ（1973年、22ページ）
  13. ^ フレイリー (1976, pp. 198, 266)
  14. ^ ハーシュタイン（1964年、106ページ）
  15. ^ マッコイ（1973年、22ページ）

参考文献

さらに読む

  • M. Kilp、U. Knauer、AV Mikhalev、モノイド、アクトとカテゴリー、リース積とグラフへの応用、De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29、Walter de Gruyter、2000、ISBN 3-11-015248-7、14～15ページ