マルチセット

数学において、多重集合（またはバッグ、mset ）は集合の概念の変形であり、 ^[1]集合とは異なり、各要素が複数のインスタンスを持つことを許容する。各要素に与えられるインスタンスの数は、多重集合におけるその要素の多重度と呼ばれる。結果として、要素aとbのみを含み、要素の多重度が異なる 多重集合が無数に存在する。

• 集合{ a , b }には要素aとbのみが含まれており、{ a , b }を多重集合と見なすと、それぞれの多重度は 1 になります。
• 多重集合{ a , a , b }において、要素aの多重度は 2、要素b の多重度は 1 です。
• 多重集合{ a , a , a , b , b , b }では、aとb は両方とも多重度 3 を持ちます。

これらはすべて同じ要素から構成されているため、多重集合として見るとすべて異なるオブジェクトですが、同じ集合です。集合と同様に、タプルとは対照的に、要素の順序は多重集合の区別には関係ありません。したがって、{ a , a , b }と{ a , b , a }は同じ多重集合を表します。集合と多重集合を区別するために、角括弧を含む表記法が使用されることがあります。多重集合{ a , a , b }は[ a , a , b ]と表記されます。^[2]

多重集合の基数、つまり「サイズ」は、そのすべての要素の多重度の合計です。例えば、多重集合{ a , a , b , b , b , c }において、要素a、b、cの多重度はそれぞれ 2、3、1 であるため、この多重集合の基数は 6 です。

ドナルド・クヌースによると、多重集合という語は1970年代にニコラス・ゴバート・デ・ブリュインによって造語された。^{[3] : 694}しかし、多重集合という概念は、この語の造語より何世紀も前から存在していた。クヌース自身は、多重集合の最初の研究は1150年頃に多重集合の順列を記述したインドの数学者バースカラチャリャによるものだとしている。この概念には、他にもリスト、束、バッグ、ヒープ、サンプル、加重集合、コレクション、スイートなどの名前が提案または使用されてきた。^{[3] : 694}

歴史

ウェイン・ブリザードは、多重集合を数の起源そのものにまで遡り、「古代において、数nはしばしばn個の線、割符、あるいは単位の集合で表されていた」と主張した。^[4]線、割符、あるいは単位は区別がつかないと考えられるため、これらや類似のオブジェクトの集合は多重集合とみなすことができる。これは、数学が出現する以前から、人々が暗黙のうちに多重集合を使用していたことを示している。

この構造の実際的な必要性から、マルチセットは何度か再発見され、文献では異なる名前で登場しています。^{[5] : 323}たとえば、QA4などの初期のAI言語では、マルチセットはバッグと呼ばれていましたが、この用語はピーター・ドイチュに由来しています。^[6]マルチセットは、集約、ヒープ、束、サンプル、重み付きセット、発生セット、ファイアセット（有限繰り返し要素セット）とも呼ばれています。^{[5] : 320  [7]}

多重集合は古代から暗黙的に用いられていましたが、その明確な探求はずっと後になってから行われました。多重集合に関する最初の研究は、1150年頃のインドの数学者バースカラチャリヤによるもので、彼は多重集合の順列を記述しました。 ^{[3] : 694}マリウス・ニゾリウス（1498–1576）の著作にも、多重集合の概念に関する初期の言及が含まれています。^[8] アタナシウス・キルヒャーは、1つの要素が繰り返される場合の多重集合の順列の数を発見しました。^[9] ジャン・プレステは1675年に多重集合の順列に関する一般規則を発表しました。^[10] ジョン・ウォリスは1685年にこの規則をより詳細に説明しました。^[11]

多重集合はリヒャルト・デデキントの著作に明示的に登場した。^{[12] [13]}

20世紀には、他の数学者たちが多重集合を形式化し、精密な数学的構造として研究し始めた。例えば、ハスラー・ホイットニー（1933）は、一般化集合（特性関数が 正、負、またはゼロの任意の整数値を取る「集合」）を記述した。 ^{[5] : 326  [14] : 405} モンロー（1987）は、多重集合のカテゴリ Mulとその射を研究し、多重集合を「同じ種類の」要素間に同値関係を持つ集合と定義し、多重集合間の射を種類を尊重する関数と定義した。彼はまた、多重数、すなわち多重集合から自然数への関数f  ( x )を導入し、多重集合内の要素xの多重度を与える。モンローは、多重集合と多重数の概念はどちらも有用であるにもかかわらず、しばしば無差別に混同されていると主張した。^{[5] : 327–328  [15]}

例

最も単純で自然な例の一つは、自然数nの素因数の多重集合です。ここで、基礎となる要素集合はnの素因数の集合です。例えば、数120は素因数分解さ れ、多重集合{2, 2, 2, 3, 5}となります。 $${\displaystyle 120=2^{3}3^{1}5^{1},}$$

関連する例として、代数方程式の解の多重集合が挙げられます。例えば、二次方程式には2つの解があります。しかし、場合によっては、解が両方とも同じ数になることがあります。したがって、方程式の解の多重集合は{3, 5}となる場合もあれば、 {4, 4}となる場合もあります。後者の場合、多重度は2です。より一般的には、代数の基本定理によれば、次数dの多項式方程式の複素解は常に濃度dの多重集合を形成するとされています。

上記の特殊なケースは行列の固有値で、その重複度は通常、特性多項式の根としての重複度として定義されます。ただし、固有値には他の 2 つの重複度が自然に定義されます。最小多項式の根としての重複度と、A − λIの核の次元として定義される幾何学的重複度です(ここで、λは行列Aの固有値)。これら 3 つの重複度は、すべて異なっていてもよい 3 つの固有値の多重集合を定義します。Aを、1 つの固有値を持つジョルダン正規形のn  ×  n行列とします。その重複度はnであり、最小多項式の根としての重複度は最大のジョルダン ブロックのサイズであり、幾何学的重複度はジョルダン ブロックの数です。

意味

多重集合は、 Uがユニバースまたは基礎集合と呼ばれる集合であり、Uから非負整数への関数である順序付きペア ( U、m )として正式に定義されます。^[7]要素⁠ ⁠の値は、多重集合における ⁠ ⁠の多重度と呼ばれ、多重集合における⁠ ⁠の出現回数として解釈されます。 ${\displaystyle m\colon U\to \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle m(a)}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

多重集合の支持点、根点、またはキャリアとは、 ⁠ ⁠となる要素 ⁠ ⁠ によって形成される⁠ ⁠の部分${\displaystyle U}$ 集合である。^[7]有限多重集合とは、有限の支持点を持つ多重集合である。多くの著者は多重集合を有限多重集合と定義する。本稿でも同様に定義し、特に断りのない限り、すべての多重集合は有限多重集合である。 ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle m(a)>0}$

一部の著者^{[16]は、任意の}⁠ ⁠に対して⁠ ⁠${\displaystyle m(a)>0}$ 、つまりサポートが基礎集合に等しいという追加の制約を課して多重集合を定義しています。無限多重度を持つ多重集合も研究されていますが^[17] 、本稿では考慮しません。一部の著者^{[誰? ] は}、有限のインデックス集合⁠ ⁠と関数⁠ ⁠を用いて多重集合を定義しています。ここで、要素⁠ ⁠の多重度は⁠ ⁠ ⁠であり、⁠ ⁠によって⁠ ⁠にマッピングされる⁠ ⁠の要素の数です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f\colon I\rightarrow U}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle |f^{-1}(a)|}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

多重集合は、一部の要素が重複する集合として表現できます。例えば、サポート⁠ ⁠${\displaystyle \{a,b\}}$ と多重度関数⁠ ⁠を持つ多重集合は、 ${\displaystyle m(a)=2,\;m(b)=1}$ { a , a , b }と表すことができます。多重度が高い場合、同じ多重集合をより簡潔に表記するに は、 ⁠ ⁠とします。${\displaystyle \{(a,2),(b,1)\}}$

⁠ ⁠ に含まれる台を持つ多重集合は、不定値 の計算規則を適用できるもの として表現されることが多い 。つまり、指数1と指数0の因数は除去でき、多重集合は因数の順序に依存しない。これにより、表記法を無限の基礎集合に拡張することができる。 表記法の利点は、正確な台を知らなくても表記法を使用できることである。例えば、自然数⁠ ⁠の素因数は、次のような多重集合を形成する。 ${\displaystyle A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},}$$ $${\displaystyle \prod _{a\in U}a^{m(a)}.}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle n=\prod _{p\;{\text{prime}}}p^{m(p)}=2^{m(2)}3^{m(3)}5^{m(5)}\cdots .}$$

集合⁠ ⁠の有限部分集合は、基礎集合${\displaystyle U}$ ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ を持つ多重集合とまったく同じであり、任意の⁠ ⁠に対して⁠ ⁠${\displaystyle m(a)\leq 1}$ が成り立ちます。 ${\displaystyle a\in U}$

基本的なプロパティと操作

多重集合の要素は、通常、固定された集合U （宇宙とも呼ばれる）に取り込まれ、これはしばしば自然数の集合である。与えられた多重集合に属さないUの要素は、その多重集合において多重度 0 を持つと言われる。これは、多重集合の多重度関数を、 Uから非負整数の集合への関数へと拡張する。これにより、これらの関数と、その要素がUに含まれる多重集合との間に一対一の対応が定義される。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

この拡張された多重度関数は、一般的に単に多重度関数と呼ばれ、要素を含む集合が固定されている場合の多重集合を定義するのに十分である。この多重度関数は、部分集合の指示関数の一般化であり、それといくつかの性質を共有する。

宇宙Uにおける多重集合の台とは、多重集合の基礎集合^[7]であり、^[7]、^[18]、またはで表される。多重度関数を用いると、それは次のように特徴付けられる 。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {S} _{A}}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \operatorname {Supp} (A):=\{x\in U\mid m_{A}(x)>0\}.}$$

多重集合が有限であるとは、その台が有限である、あるいは同義語として、その濃度が 有限であることを意味します。空多重集合とは、台（基底集合）が空である唯一の多重集合であり、したがって濃度は0です。 $${\displaystyle |A|=\sum _{x\in \operatorname {Supp} (A)}m_{A}(x)=\sum _{x\in U}m_{A}(x)}$$

集合に対する通常の演算は、部分集合に対する指示関数と同様に、多重集合に対しても多重度関数を用いて拡張することができる。以下では、AとBは与えられたユニバースUにおける多重集合であり、多重度関数と${\displaystyle m_{A}}$ ${\displaystyle m_{B}.}$

• 包含: AはBに含まれ、A ⊆ Bと表される。$${\displaystyle m_{A}(x)\leq m_{B}(x)\quad \forall x\in U.}$$
• 和集合: AとBの和集合(文脈によっては最大公倍数または最小公倍数と呼ばれる)は、重複度関数^[13]を持つ多重集合Cである。 $${\displaystyle m_{C}(x)=\max(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.}$$
• 共通部分: AとBの共通部分（文脈によっては、最小値または最大公約数と呼ばれる）は、重複度関数を持つ多重集合Cである。$${\displaystyle m_{C}(x)=\min(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.}$$
• 和: AとBの和は、重複度関数を持つ多重集合Cである。これは、集合の素和の一般化と見ることができる。これは、与えられた宇宙における有限多重集合上の可換モノイド構造を定義する。このモノイドは、宇宙を基底とする自由可換モノイドである。$${\displaystyle m_{C}(x)=m_{A}(x)+m_{B}(x)\quad \forall x\in U.}$$
• 差：AとBの差は多重度関数を持つ多重集合Cである$${\displaystyle m_{C}(x)=\max(m_{A}(x)-m_{B}(x),0)\quad \forall x\in U.}$$

二つの多重集合は、それらのサポートが互いに素な集合である場合、互いに素である。これは、それらの共通集合が空多重集合である、あるいはそれらの和がそれらの和集合に等しいということと同義である。

有限多重集合には包含排他原理（集合の場合と同様の原理）があり、有限多重集合の有限和は2つの多重集合の和の差であると述べている。最初の和では、与えられた多重集合の奇数個の可能な交差をすべて考慮し、2番目の和では、与えられた多重集合の偶数個の可能な交差をすべて考慮する。^[要出典]

多重集合を数える

7集合の3部分集合（左）
と5集合の要素を持つ3多重集合（右）の間の一対一写像
。これは次のことを示しています。${\textstyle {7 \choose 3}=\left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right).}$

有限集合の基数nから要素を取った基数kの多重集合の数は、多重集合係数または多重集合数と呼ばれることがあります。この数は、一部の著者によって と表記されます。これは、二項係数の表記法に似たものになります。例えば、(Stanley, 1997) で使用されており、 の「 n choose k」に似せて「 n multichoose k 」と発音されることもあります。二項係数を含む二項分布と同様に、多重集合係数が発生する負の二項分布が存在します。多重集合係数は、多項式定理で発生する多項式係数と混同しないでください。 ${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$

多重集合係数の値は、明示的に次のように表すことができます 。ここで、2番目の式は二項係数です。 ^[a]実際、多くの著者は別々の表記を避け、単に二項係数と書いています。したがって、このような多重集合の数は、基数n + k − 1の集合における基数kの部分集合の数と同じです。二項係数との類似性は、上記の式の分子を階乗上昇で表すことで強調できます 。これは、階乗下降を用いた二項係数の式と一致させるためです。 $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k!},}$$ $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n^{\overline {k}} \over k!},}$$ $${\displaystyle {n \choose k}={n^{\underline {k}} \over k!}.}$$

例えば、2要素集合{1, 2}から要素を取った基数3の多重集合${\displaystyle \textstyle 4=\left(\!{\binom {2}{3}}\!\right)}$ は、{1, 1, 1}、{1, 1, 2} 、 {1, 2, 2}、{2, 2, 2}が存在します。また、 4要素集合{1, 2, 3, 4 }には、基数3のサブセットが⁠ ⁠存在し、 {1, 2, 3}、{1, 2, 4}、{1, 3, 4}、{2, 3, 4}が存在します。 ${\displaystyle \textstyle 4={\binom {4}{3}}}$

上記の多重集合係数と二項係数の等式を証明する簡単な方法の一つは、多重集合を以下のように表すことです。まず、 { a , a , a , a , a , a , b , b , c , c , c , d , d , d , d , d } (6 a s, 2 b s, 3 c s , 7 d s)を以下の形式で表す 多重集合の表記法を考えます。

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これは、基数n = 4の集合の要素で構成される基数k = 18の多重集合です。この表記法で使用される点と縦線の両方を含む文字の数は、18 + 4 − 1です。縦線の数は 4 − 1 です。基数 18 の多重集合の数は、 18 + 4 − 1 個の文字の間に4 − 1本の縦線を配置する方法の数であり、したがって、基数 18 + 4 − 1 の集合の基数 4 − 1 の部分集合の数です。同様に、これは 18 + 4 − 1個の文字の間に 18 個の点を配置​​する方法の数であり、これは基数18 + 4 − 1の集合の基数 18 の部分集合の数です。したがって、これは 多重集合係数の値とその同値性です。 $${\displaystyle {4+18-1 \choose 4-1}={4+18-1 \choose 18}=1330,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\!\!{4 \choose 18}\!\!\right)&={21 \choose 18}={\frac {21!}{18!\,3!}}={21 \choose 3},\\[1ex]&={\frac {{\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}\cdot \mathbf {19\cdot 20\cdot 21} }{\mathbf {1\cdot 2\cdot 3} \cdot {\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}}},\\[1ex]&={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;19\cdot 20\cdot 21} }{\,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;1\cdot 2\cdot 3\quad } }},\\[1ex]&={\frac {19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3}}.\end{aligned}}}$$

二項係数と多重集合係数の関係から、濃度nの集合における濃度kの多重集合の数は次のように書ける 。さらに、 $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=(-1)^{k}{-n \choose k}.}$$ $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{k+1 \choose n-1}\!\!\right).}$$

再帰関係

多重集合係数の再帰関係は 次の ように表される。 $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)+\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right)\quad {\mbox{for }}n,k>0}$$ $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose 0}\!\!\right)=1,\quad n\in \mathbb {N} ,\quad {\mbox{and}}\quad \left(\!\!{0 \choose k}\!\!\right)=0,\quad k>0.}$$

上記の再帰式は次のように解釈できる。を元集合とする。サイズ0の（空の）多重集合は常に1つだけ存在し、n = 0の場合、それより大きな多重集合は存在しない。これが初期条件となる。 ${\displaystyle [n]:=\{1,\dots ,n\}}$

ここで、 n , k > 0の場合を考えてみましょう。 [ n ]の要素を含む基数kの多重集合には、最後の要素nのインスタンスが含まれる場合と含まれない場合があります。もし含まれる場合、n を一度取り除くと、 [ n ]の要素を含む基数k − 1の多重集合が残ります。このような多重集合はすべて発生する可能性があり、合計で 個の可能性が存在します 。 $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)}$$

nが現れない場合、元の多重集合は[ n − 1]の要素を持つ濃度kの多重集合に等しくなり、その要素は $${\displaystyle \left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right).}$$

したがって、 $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)+\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right).}$$

シリーズの生成

多重集合係数の 生成関数は非常に単純で、 である。多重集合は単項式 と一対一に対応するので、はn個の不定元における次数dの単項式の個数でもある。したがって、上記の級数は多項式環のヒルベルト級数でもある。$${\displaystyle \sum _{d=0}^{\infty }\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)t^{d}={\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$$ ${\displaystyle \left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}$ ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

はn の多項式なので、多項式と生成関数はnの任意の複素数値に対して明確に定義されます。 ${\displaystyle \left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}$

一般化と負の二項級数への接続

乗法式では、 n を任意の数α (負、実数、または複素数) に置き換えることで、多重集合係数の定義を拡張できます。$${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)={\frac {\alpha ^{\overline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{for }}k\in \mathbb {N} {\text{ and arbitrary }}\alpha .}$$

この定義により、負の二項式の一般化（変数の1つを1に設定）が得られ、負の二項係数を呼び出すことが正当化されます。 ${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)}$ $${\displaystyle (1-X)^{-\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)X^{k}.}$$

このテイラー級数の公式は、 | X | < 1を満たすすべての複素数αとXに対して成立する。また、これはXにおける形式的な冪級数の恒等式として解釈することもでき、定数係数が1である任意の級数の冪の定義として用いることもできる。重要なのは、 この定義により、特に指数関数に期待されるすべての恒等式が成立するという点である。

$${\displaystyle (1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )},}$$ このような式は多重集合係数の恒等式を証明するために使用できます。

αが非正の整数nの場合、k > − nとなる項はすべてゼロとなり、無限級数は有限和となる。ただし、αが正の整数や有理数など他の値の場合、級数は無限となる。

アプリケーション

多重集合には様々な応用があります。^[7]組合せ論において基本的な概念となりつつあります。^{[19] [20] [21] [22]多重集合は、}関係データベース理論において重要なツールとなっており、同義語バッグがよく用いられます。^{[23] [24] [25]}例えば、多重集合はデータベースシステムにおける関係の実装によく用いられます。特に、主キーを持たないテーブルは、複数の同一レコードを持つことができるため、多重集合として機能します。同様に、SQLは多重集合を操作し、同一レコードを返します。例えば、「SELECT name FROM Student」を考えてみましょう。学生テーブルに「Sara」という名前のレコードが複数ある場合、それらすべてが表示されます。つまり、SQLクエリの結果は多重集合です。結果が集合であれば、結果セット内の重複レコードは削除されます。多重集合のもう一つの応用は、多重グラフのモデリングです。多重グラフでは、任意の2つの頂点間に複数の辺が存在する可能性があります。したがって、エッジを指定するエンティティはセットではなく、マルチセットです。

他にも応用例があります。例えば、リチャード・ラドは多重集合を集合族の性質を調べるための手段として用いました。彼は次のように書いています。「集合という概念は、その要素のいずれかが複数回出現することを考慮しません。しかし、まさにこの種の情報がしばしば重要になります。多項式f  ( x )の根の集合や線型作用素のスペクトルを考えるだけで十分です。」^{[5] : 328–329}

一般化

多重集合のさまざまな一般化が導入され、研究され、問題の解決に適用されてきました。

• 符号付き多重集合（要素の多重度が任意の整数になる集合）^[26]
• 実数値多重集合（要素の多重度が任意の実数になる集合）^[27]
• ファジィ多重集合^[28]
• 粗い多重集合^[29]
• ハイブリッドセット^[30]
• 任意の実数値ステップ関数を多重度とする多重集合^[31]
• ソフトマルチセット^[32]
• ソフトファジィマルチセット^[33]
• 名前付き集合（集合のすべての一般化の統一）^{[34] [35] [36] [37]}

参照

• 多重度アナログとしての頻度（統計）
• 準集合
• 集合論
• バッグ・オブ・ワード・モデル
• Wikiversityの多重集合の分割に関する学習教材

注記

1. 通常の二項係数として見た場合、式⁠ ⁠は${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}$ n = 0 (ただし必然的にk = 0 ) では⁠ ⁠${\displaystyle {\tbinom {-1}{0}}}$ と評価されるため機能しませんが、式n ( n +1)( n +2)...( n + k −1)/ k !は分子が空積で1/0! = 1となるため、この場合は機能します。ただし、一般化二項係数として解釈する場合、 n = k = 0では⁠ ⁠${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}$ は意味をなします。実際、一般化二項係数として見た場合、 ⁠ ⁠ は上記の式の右辺に等しくなります。${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}$

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