温度計がマイナス華氏温度 (-4 °F) を示しています。

数学において、負の数は正の実数の反対です。[1]同様に、負の数はゼロ未満の実数です。負の数は、損失や不足の大きさを表すためによく使用されます。借りている借金は、負の資産と考えることができます。電子の電荷などの量が 2 つの反対の意味のいずれかを持つ場合、それらの意味を (おそらく恣意的に)正と負として区別することができます。負の数は、温度の摂氏と華氏スケールのように、ゼロ未満のスケールの値を表すために使用されます。負の数の算術法則により、反対の常識的な考え方が算術に反映されます。たとえば、− ‍ ( −3) = 3 です。反対の反対は元の値だからです。

負の数は通常、前にマイナス記号を付けて表記されます。例えば、-3は大きさが3である負の数を表し、「マイナス3」または「マイナス3」と発音されます。逆に、0より大きい数は正と呼ばれます。0は通常（常にではありませんが）、正でも負でもないと考えられています。[2]数の正性は、+3のように、前にプラス記号を付けることで強調されます。一般的に、数の正負は符号と呼ばれます。

ゼロ以外のすべての実数は、正か負のいずれかです。負でない整数は自然数（0、1、2、3、…）と呼ばれ、正と負の整数（ゼロを含む）は整数と呼ばれます。（自然数の定義によっては、ゼロが除外される場合もあります。）

簿記では、負債額は多くの場合、負の数を表す代替表記として赤い数字、または括弧内の数字で表されます。

負の数は『九章算術』で用いられており、現在の形は中国の漢王朝（紀元前202年 - 紀元後220年）の時代に遡りますが、それより古い資料が含まれている可能性も十分にあります。[3] 劉徽（3世紀頃）は負の数の加減の規則を確立しました。[4] 7世紀までに、ブラフマグプタなどのインドの数学者は負の数の使用について記述していました。イスラムの数学者は負の数の減算と乗算の規則をさらに発展させ、負の係数を持つ問題を解きました。[5]負の数の概念が生まれる以前、ディオファントスなどの数学者は、負の数の解は「誤り」であるとし、負の数の解を必要とする方程式は不合理であるとしました。[6]ライプニッツなどの西洋の数学者は負の数を無効としましたが、それでも計算には使用しました。[7] [8]

導入

数直線

負の数、正の数、ゼロの関係は、多くの場合、数直線の形で表現されます。

数直線
数直線

この線上で右になるほど数字は大きくなり、左になるほど数字は小さくなります。つまり、ゼロは中央に表示され、正の数は右側、負の数は左側に表示されます。

負の数の方が大きい場合は小さいとみなされることに注意してください。例えば、（正の）8は（正の） 5より大きいですが、

8 > 5

- 8は - 5より小さいとみなされます。

−8 < −5。

符号付き数字

負の数の文脈では、ゼロより大きい数は正の数と呼ばれます。したがって、ゼロ以外のすべての実数は正か負のいずれかですが、ゼロ自体は符号を持たないものとみなされます。正の数は、前にプラス記号を付けて表記されることがあります。例えば、 +3は正の3を表します。

ゼロは正でも負でもないため、 「非負」という用語は正またはゼロの数を指すために使用されることがあります。一方、「非正」という用語は負またはゼロの数を指すために使用されます。ゼロは中立的な数です。

減算の結果

負の数は、大きい数から小さい数を引いた結果と考えることができます。例えば、負の3は0から3を引いた結果です。

0 − 3 = −3 です。

一般的に、大きい数から小さい数を引くと負の数となり、その差の大きさが2つの数の差となります。例えば、

5 − 8 = −3

8 − 5 = 3なので。

負の数の日常的な使い方

スポーツ

  • サッカーとホッケーの得点差、ラグビーの得点差、クリケットのネットラン率、パーに対するゴルフのスコア。
  • アイスホッケーにおけるプラスマイナス差：特定の選手が氷上にいる時の、チームの合計得点（+）と相手チームの得点（−）の差が、その選手の+/−レーティングです。選手はマイナス（+/−）レーティングを持つこともあります。
  • 野球における得失点差: チームが得点よりも多くの得点を許した場合、得失点差はマイナスになります。
  • クラブは規則違反によりポイントを減点される可能性があり、そのシーズンに少なくともそのポイントを獲得するまでは、合計ポイントがマイナスになる。[9] [10]
  • F1のラップタイム（またはセクタータイム）は、前のラップタイム（またはセクタータイム）（前回の記録や、前のドライバーがちょうど終えたラップなど）との差として表され、遅い場合はプラス、速い場合はマイナスの値となる。[11]
  • 陸上競技では、短距離走、ハードル走、三段跳び、走り幅跳びなど、風の補助が測定・記録されており、[12]追い風の場合はプラス、向かい風の場合はマイナスとなります。[13]

科学

ファイナンス

  • 財務諸表にはマイナスの残高が含まれることがあり、マイナス記号で示されるか、残高が括弧で囲まれることで示されます。[16]例としては、銀行口座の当座貸越や事業損失（マイナスの利益）が挙げられます。
  • 国のGDPの年間成長率がマイナスになる場合があり、これは不況にあることを示す指標の1つです。 [ 17]
  • 時折、インフレ率がマイナス（デフレ）となり、平均価格の下落を示すことがあります。[18]
  • FTSE 100やダウ・ジョーンズなどの株価または株式市場指数の日々の変化。
  • 財務におけるマイナスの数字は「負債」や「赤字」と同義であり、「赤字」とも呼ばれます。
  • 貸し手がお金を預ける際に手数料がかかる場合、金利はマイナスになることがあります[19] [20] [21] 。

他の

エレベーター内のマイナス階数。
  • 建物内の地上階以下の階数の番号。
  • iPodなどのポータブル メディア プレーヤーでオーディオファイルを再生する場合、画面に残り時間が負の数値として表示され、再生済みの時間が 0 から増加するのと同じ割合で残り時間が 0 まで増加することがあります。
  • テレビのゲーム番組：
    • QIの参加者は、多くの場合、マイナスのポイント スコアで終了します。
    • 大学チャレンジのチームは、最初の回答が間違っていて質問を中断した場合、マイナススコアになります。
    • Jeopardy!にはマイナスの賞金スコアがあります。出場者は一定額の賞金を目指してプレイしますが、不正解をして現在持っている金額以上の金額を失うと、マイナスのスコアになる可能性があります。
    • 『ザ・プライス・イズ・ライト』の価格設定ゲームの「買うか売るか」では、現在銀行にある金額を超える金額が失われると、マイナスのスコアが発生します。
  • 選挙と選挙の間での政党への支持の変化。スイングと呼ばれる。
  • 政治家の支持率。[22]
  • ビデオゲームでは、負の数は、シミュレーションのジャンルに応じて、生命の損失、損傷、スコアのペナルティ、またはリソースの消費を示します。
  • フレックスタイム制の従業員は、契約で定められた勤務時間よりも勤務時間が短い場合、タイムシートにマイナス残高が表示されることがあります。従業員は年間の年次休暇取得日数を超えて休暇を取得し、マイナス残高を翌年に繰り越すことができる場合があります。
  • 電子キーボードの移調音は、増加の場合は正の数値、減少の場合は負の数値でディスプレイに表示されます。たとえば、「-1」は半音下げになります。

負の数を含む算術

マイナス記号「−」は、減算（ 2つのオペランド）の二項演算（ y − zなど）と、否定（1つのオペランド）の単項演算（− x、または−(− x )の2倍）の両方を表す演算子です。単項否定の特別なケースは、正の数に対して演算を行う場合に発生し、その場合、結果は負の数になります（−5など）。

「−」記号の曖昧さは、演算順序によって各「−」記号の解釈がどちらか一方しかできないため、算術式においては通常、曖昧さにつながることはありません。しかし、演算子記号が隣接して現れると、混乱を招き、式を理解しにくくなる可能性があります。解決策としては、単項演算子「−」とそのオペランドを括弧で囲むことが挙げられます。

例えば、7 + −5という式は、 7 + (−5)と書いた方が分かりやすいかもしれません（形式的には全く同じ意味ですが）。減算式7 − 5は同じ演算を表すわけではない異なる式ですが、評価すると同じ結果になります。

小学校では、負の数と正の数を明確に区別するために、数字の前に上付きのマイナス記号またはプラス記号を付けることがあります[23]

− 2 + − 5は− 7  になります 。

追加

正の数と負の数の加算を視覚的に表したものです。ボールが大きいほど、数の大きさが大きくなります。

2つの負の数の加算は、2つの正の数の加算と非常によく似ています。例えば、

(−3) + (−5) = −8。

2 つの債務を 1 つの大きな債務に統合できるという考え方です。

正の数と負の数を混ぜて足し合わせる場合、負の数は正の量を減算したものと考えることができます。例えば、

8 + (−3) = 8 − 3 = 5 かつ  (  −2) + 7 = 7 − 2 = 5。

最初の例では、貸方8と借方3を合わせると、貸方の合計は5になります。負の数の絶対値が大きい場合、結果は負になります。

(−8) + 3 = 3 − 8 = −5  かつ 2 + (−7) = 2 − 7 = −5。

ここでは、信用が負債より少ないため、最終的な結果は負債となります。

減算

上で説明したように、2 つの非負の数を減算すると負の答えが出る可能性があります。

5 − 8 = −3

一般的に、正の数の引き算は、同じ大きさの負の数の足し算と同じ結果になります。つまり

5 − 8 = 5 + (−8) = −3

そして

(−3) − 5 = (−3) + (−5) = −8

一方、負の数を減算すると、同じ大きさの正の数を加算した場合と同じ結果になります。（借金がなくなることは、信用が 増えることと同じであるという考えです。）つまり

3 − (−5) = 3 + 5 = 8

そして

(−5) − (−8) = (−5) + 8 = 3 .

乗算

負の数による乗算は、因数の積の絶対値に等しい大きさのベクトルの方向の変化として考えることができます。

数を掛け合わせる場合、その積の大きさは常に2つの大きさの積になります。積の 符号は以下の規則によって決定されます。

  • 1 つの正の数と 1 つの負の数の積は負になります。
  • 2 つの負の数の積は正の数になります。

したがって

（−2）×3 = −6

そして

(−2) × (−3) = 6 .

最初の例の理由は簡単です。3つの−2を足し合わせると−6になります。

(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 .

2つ目の例の論理はより複雑です。ここでも、借金を1つ失うことは信用を得ることと同じだという考え方です。この場合、3つの借金を2つ失うことは、6つの信用を得ることと同じです。

(−2負債) × (−3各) = +6クレジット。

2つの負の数の積は正の数であるという慣習は、掛け算が分配法則に従うためにも必要である。この場合、次のことがわかる。

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0 .

2 × (−3) = −6なので、積(−2) × (−3)は6に等しくなります。

これらの規則から、別の（同等の）規則が導かれます。つまり、積a × bの符号は、次のようにaの符号に依存します。

  • aが正であれば、 a × bの符号はbの符号と同じであり、
  • aが負の場合、 a × bの符号はbの符号と反対になります。

2 つの負の数の積が正の数になる理由は、複素数の解析で確認できます。

分割

除算の符号規則は乗算と同じです。例えば、

8 ÷ (−2) = −4、
(−8) ÷ 2 = −4、

そして

(−8) ÷ (−2) = 4 .

被除数と除数の符号が同じ場合、結果は正になり、符号が異なる場合、結果は負になります。

否定

正の数の負の部分は、その否定と呼ばれます。例えば、-3は正の数3の否定です。ある数とその否定を足すとゼロになります。

3 + (−3) = 0 .

つまり、正の数の否定はその数の 加算逆数です。

代数を使用すると、この原理を代数恒等式として書くことができます。

x + (− x ) = 0 です。

この恒等式は任意の正の数xに対して成り立ちます。負の数の定義を拡張してゼロと負の数を含めることで、すべての実数に対しても成り立ちます。具体的には、

  • 0の否定は0であり、
  • 負の数を否定すると、それに対応する正の数になります。

例えば、-3の否定は+3です。一般に、

−(− x ) =  x .

数の絶対値とは、同じ大きさを持つ非負の数です。例えば、絶対値-3と絶対値3はどちらも3に等しく、絶対値0は0です。

負の整数の形式的構成

有理数と同様に、整数を自然数の順序付きペア( a , b )として定義することで、自然数を 整数に拡張することができます。以下の規則を用いて、これらのペアに加算と乗算を拡張できます。

( a , b )+( c , d )=( a + c , b + d )
( a , b )×( c , d )=( a × c + b × d , a × d + b × c )

これらのペアに対して、次の規則に従って 同値関係~を定義します。

( a , b ) ~ ( c , d ) はa + d = b + cの場合にのみ成り立ちます。

この同値関係は、上で定義した加算と乗算と整合しており、 を商集合と定義することができる。つまり、2つのペア ( a , b ) と ( c , d ) が上記の意味で同値である場合、これらを同一視する。これらの加算と乗算の演算を備えた は環であり、実際、環の典型的な例であること に注意されたい。

次のように 全順序を定義することもできる。

( a , b ) ≤ ( c , d ) である場合に限り、a + d ≤ b + c。

これにより、( a , a )の形の加法零点、( b , a )の形の加法逆元( a , b )、( a +1, a )の形の乗法単位、および減算の定義が得られる。

( a , b )−( c , d )=( a + d , b + c )です。

この構築はグロタンディーク構築の特殊なケースです。

ユニークさ

数の加法逆数は、以下の証明で示されるように、唯一無二です。前述のように、数の加法逆数は、その数に加算すると0になる値として定義されます。

x を数とし、yをその加法逆数とする。y ′をxの別の加法逆数とする。定義により、

したがって、x + y′ = x + yとなります。加法における相殺則を用いると、y′ = yとなります。したがって、y はxの他の任意の加法逆数と等しくなります。つまり、yはxの唯一の加法逆数です。

歴史

長い間、負の数の理解は、物理的な物体の量が負の数であること（例えば「マイナス3個のリンゴ」）が不可能であるために遅れており、問題に対する負の数の解法は「誤り」であると考えられていました。

ヘレニズム時代エジプトでは、紀元後3世紀のギリシャの数学者ディオファントスが『算術』の中で（負の解を持つ）と同等の方程式に言及し、その方程式は不合理だと述べた。[24]このためギリシャの幾何学者は、正の根を与える二次方程式のすべての形式を幾何学的に解くことができたが、それ以外の形式は考慮することができなかった。[25]

負の数は、歴史上初めて『九章算術』（九章算術）に登場する。この書は現在の形では漢の時代に遡るが、もっと古い資料が含まれている可能性もある。[3]数学者劉徽（3世紀頃）は、負の数の加減の規則を確立した。歴史家ジャン＝クロード・マルツロフは、中国の自然哲学における双対性の重要性が、中国人が負の数の概念を受け入れやすくしたと理論づけた。[4]中国人は負の数を含む連立方程式を解くことができた。『九章算術』では、赤い数え棒で正の係数を、黒い数え棒で負の数を表していた。 [4] [26]このシステムは、銀行、会計、商業の分野で当時行われていた正負の数の印刷とは正反対で、赤い数字は負の値、黒い数字は正の値を表す。劉徽は次のように書いている。

さて、利益と損失を表す計数棒には正負2種類あり、それぞれ正と負と呼ぶことにします。赤い計数棒は正、黒い計数棒は負です。[4]

古代インドのバクシャーリー写本は、負の数の計算を「+」を負の符号として用いていた。[27]この写本の年代は不明である。LV・グルジャールは4世紀以降としており、[28]ホーレンレは3世紀から4世紀の間としており、アヤンガーとピングリーは8世紀または9世紀としており、[29]ジョージ・ゲヴェルゲーズ・ジョセフは西暦400年頃、遅くとも7世紀初頭としている。[30]

7世紀、インドでは負の数は負債を表すために使用されていました。インドの数学者 ブラフマグプタは、『ブラフマー・スプタ・シッダーンタ』（紀元630年頃著）の中で、負の数を用いて今日使われている二次方程式の一般的な形を作り出す方法について論じています。 [24]

9世紀、イスラムの数学者たちはインドの数学者たちの著作を通して負の数について理解していましたが、この時代における負の数の認識と使用は依然として控えめでした。[5] アル・フワーリズミーは著書『アル・ジャブル・ワル・ムカバラ』（「代数学」の語源）の中で、負の数や負の係数を用いていません。[5]しかし50年後、アブー・カミルは乗算を展開するための符号の規則を示し、[31]アル・カラジーは著書『アル・ファフリ』の中で「負の量は項として数えなければならない」と記しています。[5] 10世紀には、アブー・アル・ワファー・アル・ブズジャーニーが著書『書記と商人のための算術学に必要な事柄についての書』の中で、負債を負の数として考察しました。[31]

12世紀までに、アル・カラジの後継者たちは記号の一般的な規則を述べ、それを用いて多項式除算を解くことになりました。[5]アル・サマウアルは次のように書いています。

負の数（アル・ナーキーシュ（損失））と正の数（アル・ザイド（利益））の積は負であり、負の数で割ると正になる。負の数をより大きな負の数から引くと、その余りはそれらの負の差になる。負の数をより小さな負の数から引くと、その差は正のままである。正の数から負の数を引くと、その余りはそれらの正の合計である。正の数を空の累乗（マルタバ・ハリヤ）から引くと、余りは同じ負であり、負の数を空の累乗から引くと、余りは同じ正の数である。[5]

12世紀のインドにおいて、バースカラ2世は二次方程式に負の根を与えましたが、問題の文脈に不適切であるとしてそれを否定しました。彼は「この場合、負の値は取るべきではない。なぜなら、それは不十分だからである。人々は負の根を認めないからだ」と述べました。

フィボナッチは、金融問題において、借方（算盤の書、1202年、第13章）として、後に損失（フロス、1225年）として解釈できる負の解法を許可しました。

15世紀、フランス人のニコラ・シュケは指数として負の数を使用しましたが[32]、それを「不合理な数」と呼びました[33] 。

ミヒャエル・スティフェルは1544年に著した『積分学』で負の数を取り上げており、その中で負の数をnumeri absurdi (無理数) とも呼んでいます。

1545年、ジェロラモ・カルダーノは著書『アルス・マグナ』において、ヨーロッパで初めて負の数について満足のいく解釈を示した。[24]彼は三次方程式の考察において負の数を許容しなかったため、例えばを と（どちらの場合も）別々に扱わなければならなかった。カルダーノは合計13種類の三次方程式を研究するに至り、それぞれの負の項を = 記号の反対側に移動させて正にした。（カルダーノは複素数も扱っていたが、当然ながら複素数よりもそれを好まなかった。）

参照

参考文献

引用

  1. ^ 「整数は整数とその反数の集合である。」リチャード・W・フィッシャー著『No-Nonsense Algebra』第2版、Math Essentials、 ISBN 978-0999443330
  2. ^ ゼロは正でも負でもないという慣習は普遍的ではありません。例えば、フランス語の慣習では、ゼロは正でも負でもあるとみなされます。フランス語の単語「positif」と「négatif」は、それぞれ英語の「正またはゼロ」と「負またはゼロ」と同じ意味です。
  3. ^ ab Struik、32～33ページ。「これらの行列には負の数が含まれていますが、これは歴史上初めて登場するものです。」
  4. ^ abcd ホジキン、ルーク（2005年）『数学の歴史：メソポタミアから近代まで』オックスフォード大学出版局、p. 88、ISBN 978-0-19-152383-0劉はこの点を明確に述べている。9章では詳細かつ役立つ「サインルール」が示されている。
  5. ^ abcdef ラシェド, R. (1994年6月30日).アラビア数学の発展：算術と代数の間. シュプリンガー. pp.  36– 37. ISBN 9780792325659。
  6. ^ ディオファントス、『アリトメティカ』。
  7. ^ クライン、モリス（1972年）『古代から現代までの数学的思考』オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、252頁。
  8. ^ Smith, Martha K. (2001年2月19日). 「負の数の歴史」.テキサス大学. 2025年2月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  9. ^ 「サラセンズのサラリーキャップ違反：プレミアシップ王者は制裁に異議を唱えない」BBCスポーツ。 2019年11月18日閲覧。マーク・マッコール率いるサラセンズは、その後、勝ち点マイナス22でプレミアシップ3位から最下位に転落した。
  10. ^ “ボルトン・ワンダラーズ 1−0 ミルトン・キーンズ・ドンズ”. BBCスポーツ. 2019年11月30日閲覧。しかし、ロスタイム3分、ストライカーはルーク・マーフィーのクロスを8ヤードから押し込み、5月に経営破綻した後、今シーズンの勝ち点を12から下していたヒル監督率いるチームにリーグ1で3連勝をもたらした。
  11. ^ 「用語集」. Formula1.com . 2019年11月30日閲覧。デルタタイム：2つの異なるラップまたは2台の異なるマシン間のタイム差を表す用語。例えば、ドライバーのベストプラクティスラップタイムとベスト予選ラップタイムの間には、通常、マイナスのデルタが生じます。これは、ドライバーが燃料搭載量が少なく、新品タイヤを使用しているためです。
  12. ^ “BBCスポーツ - オリンピック - ロンドン2012 - 男子走り幅跳び：陸上競技 - 結果”. 2012年8月5日. オリジナルより2012年8月5日時点のアーカイブ。 2018年12月5日閲覧。
  13. ^ 「陸上競技における風のアシストの仕組み」elitefeet.com . 2008年7月3日. 2019年11月18日閲覧.風のアシストは通常​​、メートル/秒で表され、正または負の値になります。正の値は風がランナーを助けていることを意味し、負の値はランナーが風に逆らって走らなければならなかったことを意味します。例えば、風速-2.2m/秒と+1.9m/秒は許容範囲内ですが、+2.1m/秒はアシストが強すぎて違反とみなされます。「追い風」と「向かい風」という用語もよく使用されます。追い風はランナーを前方（+）に押し出し、向かい風はランナーを後方（−）に押し出します。
  14. ^ フォーブス、ロバート・B.（1975年1月6日）。ベーリング海盆域および周辺地域の地質学への貢献：1970年6月26日～28日にアラスカ大学CTエルベイビル開館記念シンポジウム（ベーリング海域の地質学および地球物理学に関するシンポジウム）、および1971年2月1日～4日にサンフランシスコで開催された第2回国際北極地質学シンポジウムからの選抜論文集。アメリカ地質学会。194ページ。ISBN 9780813721514。
  15. ^ ウィルクス、ダニエル・S.（2018年1月6日）. 大気科学における統計手法. アカデミック・プレス. p. 17. ISBN 9780123850225。
  16. ^ キャリスフォース、キャロル; ニールド、マイク (2002)、ダブルアワード、ハイネマン、p. 375、ISBN 978-0-435-44746-5
  17. ^ 「英国経済、2012年末に縮小」BBCニュース、2013年1月25日。 2018年12月5日閲覧。
  18. ^ 「1960年以来初のマイナスインフレ率」インディペンデント紙、2009年4月21日。2022年6月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年12月5日閲覧。
  19. ^ 「ECBがマイナス金利を導入」BBCニュース、2014年6月5日。 2018年12月5日閲覧。
  20. ^ リン、マシュー。「マイナス金利はここでは起こり得ないと思う？もう一度考え直せ」。マーケットウォッチ。2018年12月5日閲覧。
  21. ^ 「スイスの金利がマイナスに転じる」BBCニュース、2014年12月18日。 2018年12月5日閲覧。
  22. ^ ウィンツアー、パトリック（2014年6月17日）「ICMの世論調査でミリバンドとクレッグの人気が最低水準に低下」ガーディアン紙。 2018年12月5日閲覧– www.theguardian.comより。
  23. ^ グラント・P・ウィギンズ、ジェイ・マクタイ（2005年）『デザインによる理解』ACSD出版、210頁。ISBN 1-4166-0035-3。
  24. ^ abc ニーダム、ジョセフ; 王、玲 (1995) [1959]. 中国における科学と文明：第3巻; 数学と天地の科学（復刻版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 90. ISBN 0-521-05801-5。
  25. ^ ヒース、トーマス・L. (1897). 『アルキメデスの著作』ケンブリッジ大学出版局. pp. cxxiii.
  26. ^ ニーダム、ジョセフ、ワン、リン (1995) [1959]. 『中国の科学と文明：第3巻；数学と天地の科学』（復刻版）ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。90  ～ 91頁。ISBN 0-521-05801-5。
  27. ^ テレシ、ディック（2002年）『失われた発見：近代科学の古代のルーツ―バビロニアからマヤまで』ニューヨーク：サイモン＆シュスター、ISBN 0-684-83718-865ページ。
  28. ^ Pearce, Ian (2002年5月). 「バクシャーリ写本」. The MacTutor History of Mathematics archive . 2007年7月24日閲覧。
  29. ^ 林孝雄 (2008)、「バクシャーリー写本」、ヘレイン・セリン編『非西洋文化における科学技術医学史百科事典』第1巻、シュプリンガー、B2頁、ISBN 9781402045592
  30. ^ テレシ、ディック（2002年）『失われた発見：近代科学の古代のルーツ―バビロニアからマヤまで』ニューヨーク：サイモン＆シュスター、ISBN 0-684-83718-865～66ページ。
  31. ^ ab Bin Ismail、Mat Rofa (2008)、「イスラム数学における代数」、Helaine Selin (編)、Encyclopedia of the History of Science, Technology and Medicine in Non-Western Cultures、vol. 1 (第 2 版)、Springer、p. 115、ISBN 9781402045592
  32. ^ フレッグ、グラハム、ヘイ、C.、モス、B.（1985）、ニコラ・シュケ『ルネサンスの数学者：1484年に完成したシュケの数学原稿の広範な翻訳による研究』、D.ライデル出版社、354ページ、ISBN 9789027718723。
  33. ^ ジョンソン、アート（1999）、有名な問題とその数学者、グリーンウッド出版グループ、p.56、ISBN 9781563084461。

参考文献

  • ブルバキ、ニコラ（1998年）『数学史の要素』ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-64767-8。
  • ストルイク、ダーク・J. (1987). 『数学の簡潔な歴史』 ニューヨーク：ドーバー出版.
Wikiquoteに負の数に関する引用句があります。
  • マセレスの経歴
  • BBCラジオ4シリーズ「In Our Time」、2006年3月9日「負の数」
  • 無限の例と演習：符号付き整数の演算
  • 数学フォーラム: 数学博士に質問 FAQ: 負の数×負の数