非解析的平滑関数

数学において、滑らかな関数（無限微分可能関数とも呼ばれる）と解析関数は、非常に重要な2種類の関数です。実 引数の解析関数はどれも滑らかであることは容易に証明できます。ただし、その逆は成り立ちません。これは以下の反例で示されます。

コンパクトな台を持つ滑らかな関数の最も重要な応用の 1 つは、いわゆる軟化剤の構築です。これは、ローラン・シュワルツの超関数の理論など、一般化関数の理論で重要です。

滑らかだが非解析的な関数の存在は、微分幾何学と解析幾何学の主な違いの一つである。層理論の観点から見ると、この違いは次のように説明できる。微分可能多様体上の微分可能関数の層は、解析的な場合とは対照的に、 滑らかである。

以下の関数は一般に、微分可能多様体上の 1 の分割を構築するために使用されます。

例関数

関数の定義

この記事で検討されている非解析的な滑らかな関数f ( x )。

機能について考える

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

すべての実数 xに対して定義されます。

機能はスムーズです

関数fは実数直線上の任意の点xにおいてあらゆる階数の連続 微分を持つ。これらの微分公式は

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x^{2n}}}\,f(x)&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

ここでp _n ( x )はp ₁ ( x ) = 1 で再帰的に与えられるn  − 1次の多項式であり、

${\displaystyle p_{n+1}(x)=x^{2}p_{n}'(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}$

任意の正の整数 nに対してである。この式からは、導関数が0で連続であることは完全には明らかではない。これは片側極限から導かれる。

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}=0}$

任意の非負整数mに対して。

この関数は解析的ではない

前述のように、関数fは滑らかで、原点におけるすべての導関数は0である。したがって、原点におけるfのテイラー級数はどこでも零関数に収束する。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

そしてテイラー級数はx  > 0に対してf ( x )と等しくならない。結果として、 fは原点において 解析的ではない。

スムーズな遷移機能

ここで定義される 0 から 1 へのスムーズな遷移g 。

機能

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

実数直線上のどこでも分母が正であるので、gも滑らかである。さらに、x  ≤ 0のときはg ( x ) = 0 、 x ≥ 1 のときはg ( x ) = 1 となるので、単位区間[0, 1] においてレベル 0 からレベル 1 への滑らかな遷移が得られる。実数区間 [ a , b ] においてa  <  bの滑らかな遷移を得るには、次の関数を考える。

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

実数a < b < c < dに対して、滑らかな関数

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

閉区間 [ b、c ] では 1 に等しく、開区間 ( a、d ) の外側ではゼロになるため、バンプ関数として機能します。

実解析的ではない滑らかな関数

ここで述べた、どこでも滑らかだがどこでもない解析関数の近似。この部分和はk = 2 ⁰から2 ⁵⁰⁰まで取られる。

より病的な例としては、どの点においても解析的ではない無限微分可能関数が挙げられる。これはフーリエ級数を用いて以下のように構成できる 。すべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}\cos(2^{k}x)\ .}$

この級数はすべての に対して収束するので、この関数は、ワイエルシュトラスの M テストを標準的な帰納的応用で適用して各導関数の級数が一様に収束することを実証することで、簡単に C ^∞クラスであることが分かります。 ${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

ここで、πの任意の2項有理倍、つまり およびの任意の項において が解析的ではないことを示す。最初の項の和は解析的であるため、の項の和、つまり のみを考えればよい。 、 、 のすべての微分次数について、次式が成り立つ 。${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F_{>q}(x)}$ ${\displaystyle k>q}$ ${\displaystyle n=2^{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle m>q/2}$

${\displaystyle F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\cos(2^{k}x)=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\geq e^{-n}n^{2n}\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}$

ここで、すべての に対して であるという事実を用い、最初の和を の項で下から上乗せした。結果として、任意のそのような${\displaystyle \cos(2^{k}x)=1}$ ${\displaystyle 2^{k}>2^{q}}$ ${\displaystyle 2^{k}=2^{2m}=n^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left({\frac {|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,}$

となるので、コーシー・アダマールの公式より、における テイラー級数の収束半径は 0 となる。 関数 の解析性集合は開集合であり、二項有理数は稠密であるので、 となり、したがって は においてどこにも解析的ではないと結論できる 。 ${\displaystyle F_{>q}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{>q}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

テイラー級数への応用

実数または複素数の任意の列 α ₀ , α ₁ , α ₂ , . . .に対して、以下の構成は、これらの数を原点における導関数として持つ、実数直線上の滑らかな関数Fが存在することを示す。 ^[1]特に、任意の数列は滑らかな関数のテイラー級数の係数として現れる。この結果は、エミール・ボレルにちなんでボレルの補題として知られている。

上記の 滑らかな遷移関数gを用いて、

${\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .}$

この関数hも滑らかであり、閉区間 [−1,1] では 1 となり、開区間 (−2,2) の外側では 0 となる。h を用いて、任意の自然数n (0 を含む) に対して滑らかな関数 を定義する。

${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

これは[−1,1]上の単項式 x ⁿと一致し、区間(−2,2)の外側ではゼロとなる。したがって、原点における ψ _nのk次導関数は

${\displaystyle \psi _{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} _{0},}$

そして有界性定理はψnとそのすべての導関数が_有界であることを意味する。したがって、定数は

${\displaystyle \lambda _{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha _{n}|,\|\psi _{n}\|_{\infty },\|\psi _{n}^{(1)}\|_{\infty },\ldots ,\|\psi _{n}^{(n)}\|_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},}$

ψnの上限ノルムとその最初のn階微分を含む関数は、明確に定義された実数である。スケール関数を定義する _。

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} .}$

連鎖律を繰り返し適用することにより、

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,}$

そして、 ψn_のゼロにおける k次導関数の前回の結果を用いると、

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha _{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0}.}$

関数が

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

は明確に定義されており、項ごとに無限回微分化することができる。^[2]この目的のために、すべてのkに対して

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}^{(k)}\|_{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha _{n}|}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha _{n}|}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,}$

ここで、残りの無限級数は比テストによって収束します。

高次元への応用

1次元の関数 Ψ ₁ ( x )。

半径r  > 0のあらゆる場合において、

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})}$

ユークリッドノルム|| x ||を持つn次元ユークリッド空間上の滑らかな関数を定義し、その関数は半径rの球体にサポートされますが、 です。 ${\displaystyle \Psi _{r}(0)>0}$

複素解析

この病理は、実変数ではなく複素変数の微分可能関数では発生しません。実際、すべての正則関数は解析的であるため、本稿で定義した関数fが無限微分可能であるにもかかわらず解析的ではないことは、実変数解析と複素変数解析の最も劇的な違いの一つを示しています。

関数fは実数直線上のあらゆる階数の微分を持つが、正の半直線x  > 0から複素平面へのfの解析接続、すなわち関数

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathbb {C} ,}$

原点に本質的な特異点を持つため、連続性すらなく、ましてや解析的でもない。ピカールの定理によれば、原点のあらゆる近傍において、あらゆる複素値（ゼロを除く）に無限回到達する。

参照

• バンプ機能
• ファビウス関数
• フラット関数
• 軟化剤

注記

1. Walter Rudin著『実解析と複素解析』 418ページの演習12。McGraw -Hill、ニューデリー、1980年、 ISBN 0-07-099557-5
2. 例えば、関数列の極限の微分可能性については、 Amann, Herbert; Escher, Joachim (2005), Analysis I , Basel: Birkhäuser Verlag , pp.  373– 374, ISBN 978-4 ... 3-7643-7153-6

外部リンク

• 「解析的ではない無限微分可能関数」。PlanetMath 。