非初等積分

数学において、与えられた基本関数の非基本的原始関数は、それ自身は基本関数ではない原始関数（または不定積分）である。 ^{[1] 1835年に}リウヴィルが示した定理は、非基本的原始関数が存在することを初めて証明した。^{[2]この定理は、どの基本関数が基本的原始関数を持つかを（困難を伴いながらも）判定するための}リッシュのアルゴリズムの基礎も提供している。

例

非基本的な原始関数を持つ関数の例には次のものがあります。

${\sqrt {1-x^{4}}}$ ^[1]（楕円積分）
${\frac {1}{\ln x}}$ ^[3]（対数積分）
$e^{-x^{2}}$ ^[1]（誤差関数、ガウス積分）
$\sin(x^{2})$ および（フレネル積分） $\cos(x^{2})$
${\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$ （正弦積分、ディリクレ積分）
${\frac {e^{-x}}{x}}$ （指数積分）
$e^{e^{x}}\,$ （指数積分の観点から）
$\ln(\ln x)\,$ （対数積分の観点から）
${x^{c-1}}e^{-x}$ （不完全ガンマ関数）；の原始微分は指数積分で表すことができ；の原始微分は誤差関数で表すことができ；任意の正の整数に対して原始微分は基本的である。 $c=0,$ $c={\tfrac {1}{2}},$ $c=$

いくつかの一般的な非初等的原始関数には名前が付けられており、いわゆる特殊関数を定義しています。これらの新しい関数を含む式は、より広範な非初等的原始関数のクラスを表現できます。上記の例では、括弧内に対応する特殊関数の名前を示しています。

プロパティ

非初等的原始積分は、多くの場合テイラー級数を用いて評価できる。関数に初等的原始積分がない場合でも、そのテイラー級数は多項式のように項ごとに積分することができ、原始積分関数は同じ収束半径を持つテイラー級数として与えられる。しかし、被積分関数に収束するテイラー級数がある場合でも、その係数列には初等式が存在しないことが多く、項ごとに評価しなければならない。これは、積分テイラー級数の場合と同じ制限である。

原始的な項で原始積分を評価することが必ずしも可能ではない場合でも、対応する定積分を数値積分によって近似することは可能である。原始的な原始積分が存在しない場合もあるが、特定の定積分（多くの場合、無限区間上の不定積分）は原始的な項で評価できる。最も有名なのはガウス積分^{[4]である。} ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

基本関数の集合の積分閉包は、リウヴィリ関数の集合です。

参照

代数関数 – 数学関数
閉形式式 – 与えられた演算集合を含む数式
微分 – 瞬間変化率（数学）
微分代数 – 微分方程式の代数的研究
積分のリスト
リウヴィルの定理（微分代数） - 初等関数の原始関数が初等関数として表現できる場合を述べる
リチャードソンの定理 – 実数の等式の決定不可能性
記号積分 – 原始微分の計算
タルスキーの高校代数問題 – 数学の問題
超越関数 – 多項式方程式を満たさない解析関数

参考文献

^ abc Weisstein, Eric W. 「Elementary Function」 MathWorld（Wolfram Webリソース）より。http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html MathWorldより、 2017年4月24日にアクセス。
^ ダナム、ウィリアム (2005). 『微積分ギャラリー』プリンストン. p. 119. ISBN 978-0-691-13626-4。
^ 初等積分における不可能性定理；ブライアン・コンラッド．クレイ数学研究所：2005年アカデミーコロキウムシリーズ．2014年7月14日にアクセス．
^ Weisstein, Eric W. 「ガウス積分」. mathworld.wolfram.com . 2025年5月6日閲覧。

さらに読む

Williams, Dana P., NONELEMENTARY ANTIDERIVATIVES, 1993年12月1日. 2014年1月24日にアクセス。