ヌルベクトル

ヌルコーンは${\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}.}$

数学において、ベクトル空間 Xとそれに関連する二次形式 q ( X、q )が与えられたとき、ヌルベクトルまたは等方性ベクトルとは、 q ( x ) = 0となるXの非ゼロ要素xのことです。

実 双線型形式の理論において、定位二次形式と等方二次形式は区別される。これらは、後者にのみ非零の零ベクトルが存在するという点で区別される。

零ベクトルを持つ二次空間 ( X , q ) は擬ユークリッド空間と呼ばれる。q ( v ) = 0のときの等方性ベクトル vという用語は二次空間において用いられており^[1] 、零ベクトルを持たない二次空間には 異方性空間と呼ばれる。

擬ユークリッドベクトル空間は、X = A + Bとすれば、直交部分空間 AとBに（一意ではない形で）分解することができる。ここで、 qはA上で正定値、 B上で負定値である。Xのヌル円錐、あるいは等方円錐は、均衡球面の和集合から構成される。 また、 ヌル円錐は原点を通る 等方直線の和集合でもある。$${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,\ \ a\in A,b\in B\}.}$$

分割代数

ヌルベクトルを持つ合成代数は分割代数である。^[2]

合成代数( A , +, ×, *)において、二次形式は q( x ) = xx * です。xがヌルベクトルのとき、 xの逆数は存在せず、x ≠ 0 であるため、A は除算代数ではありません。

ケーリー・ディクソン構成においては、複素数体、双四元数、双四元数という級数に分解代数が生じる。これらの代数は、LEディクソン(1919)によるこの倍加構成の基礎として複素数体を用いる。特に、これらの代数は2つの虚数単位を持ち、それらは可換であるため、それらの積を2乗すると+1となる。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle (hi)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$ それから

${\displaystyle (1+hi)(1+hi)^{*}=(1+hi)(1-hi)=1-(hi)^{2}=0}$ したがって、1 + hi はヌルベクトルになります。

実数部分代数、分割複素数、分割四元数、分割八元数は、そのヌル円錐が 0 ∈ Aに出入りする光の追跡を表しており、時空トポロジーを示唆しています。

例

ミンコフスキー空間の光のようなベクトルはヌルベクトルです。

4つの線形独立な 双四元数 l = 1 + hi、n = 1 + hj、m = 1 + hk、m ^∗ = 1 – hkはヌルベクトルであり、{ l、n、m、m ^∗ } は時空を表す部分空間の基底として用いることができる。ヌルベクトルは、ニューマン・ペンローズ形式による時空多様体へのアプローチでも用いられる。^[3]

リー代数のVerma モジュールにはヌル ベクトルが存在します。

参考文献

1. エミール・アルティン(1957)幾何代数、等方性
2. Arthur A. Sagle & Ralph E. Walde (1973) 『リー群とリー代数入門』、197ページ、Academic Press
3. パトリック・ドラン (1968) マクスウェル・アインシュタイン方程式の特異点のない解、Communications in Mathematical Physics 9(2):161–8、特に166、 Project Euclidからのリンク

• ドゥブロヴィン, BA;フォメンコ, AT ;ノビコフ, SP (1984).現代幾何学：方法と応用. ロバート・G・バーンズ訳. シュプリンガー, ロバート・G・バーンズ訳. 50ページ. ISBN 0-387-90872-2。
• ショー、ロナルド（1982年）『線形代数と群表現』第1巻、アカデミック・プレス、151頁、ISBN 0-12-639201-3。
• ネヴィル、EH（エリック・ハロルド）（1922年）『三次元異方性​​ユークリッド空間における解析幾何学序論』ケンブリッジ大学出版局、204頁。