軌道

軌道離心率の変化
  0.0   0.2   0.4   0.6   0.8

天体力学において、軌道とは引力の影響下にある物体^[1]の曲線軌道のことである。軌道公転としても知られ、例としては恒星の周りの惑星の軌道、惑星の周りの天然衛星の軌道、惑星、月、小惑星、ラグランジュ点などの宇宙の物体または位置の周りの人工衛星の軌道が挙げられる。通常、軌道は規則的に繰り返される軌道を指すが、繰り返さない軌道を指す場合もある。近似的に、惑星と衛星は楕円軌道を描き、質量の中心は楕円の焦点を周回する^{[2]。これは}ケプラーの惑星運動の法則で説明されている。

ほとんどの場合、軌道運動はニュートン力学によって適切に近似され、重力は反比例の法則に従う力として説明されます。^[3]しかし、アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論は、重力は時空の曲率によるものであり、軌道は測地線に沿っていると説明し、軌道運動の正確な力学のより正確な計算と理解を提供します。

歴史

プトレマイオスによる地球中心の宇宙。アンドレアス・セラリウスによる『ハルモニア・マクロコスミカ』1660年のイラスト

歴史的に、惑星の見かけの運動は、ヨーロッパとアラビアの哲学者らによって天球の概念を用いて説明されてきた。このモデルは、恒星や惑星が取り付けられた完全な球体またはリングの存在を前提としていた。天空は球体の運動とは別に固定されていると想定され、重力に関する理解がないまま発展した。この概念は、ヘレニズム天文学、特にエウドクソスとアリストテレスに端を発する。惑星の運動がより正確に測定された後、従円や周転円などの理論的メカニズムがプトレマイオスによって加えられた。^[4]このモデルは天空の惑星の位置をかなり正確に予測することができたものの、測定がより正確になるにつれてますます多くの周転円が必要となり、モデルはますます扱いにくくなっていった。^[5]もともとは地球中心説であったが、モデルを簡素化するためにコペルニクスによって太陽を中心に据えるよう修正された。このモデルは16世紀に彗星が球面を横切るのが観測されたことでさらに疑問視されました。^{[6] [7]}

太陽系天体の太陽からの距離と公転周期。太陽の質量が太陽よりもはるかに大きいため、各天体は一直線上に位置しています。

軌道の現代的な記述の基礎は、ヨハネス・ケプラーによって初めて定式化され、彼の研究結果は惑星運動の3つの法則にまとめられています。第1に、彼は太陽系の惑星の軌道がそれまで信じられていた円（周転円）ではなく楕円であり、太陽は軌道の中心ではなく1つの焦点にあることを発見しました。第2に、彼は各惑星の公転速度がそれまで考えられていたように一定ではなく、速度は惑星の太陽からの距離に依存することを発見しました。第3に、ケプラーは太陽を周回するすべての惑星の軌道特性の間に普遍的な関係を発見しました。惑星の場合、太陽からの距離の3乗は公転周期の2乗に比例します。^[8]

例えば、木星と金星はそれぞれ太陽から約5.2天文単位と0.723天文単位離れており、公転周期はそれぞれ約11.86年と0.615年である。木星の公転周期と金星の公転周期の比が以下の式で表されることから、この比例関係がわかる。^[9]

${\textstyle {\tfrac {5.204^{3}}{11.862^{2}}}\おおよそ 1.002}$

金星とほぼ同等である^[10]

${\textstyle {\tfrac {0.723^{3}}{0.615^{2}}}\おおよそ 0.999}$

関係に従って。これらの規則を満たす理想化された軌道はケプラー軌道として知られています。

アイザック・ニュートンは、ケプラーの法則が彼の万有引力理論から導き出せること、^[11]また、一般に重力の影響を受ける物体の軌道は、重力が瞬間的に伝播するという仮定の下で円錐曲線になることを実証した [12] [13] 。ケプラー^の第三法則を満たすために、ニュートンは、一対の物体の軌道の大きさ（a）、軌道周期（T）、およびそれらの合成質量（M）が互いに次の関係にあることを示した：^[14]

${\displaystyle T^{2}\propto {\frac {a^{3}}{M}}}$

そして、それらの天体は共通の質量の中心を周回している。^[15]一方の天体がもう一方の天体よりもはるかに質量が大きい場合（人工衛星が惑星を周回している場合など）、質量の中心をより質量の大きい天体の中心と一致させるのが便利な近似である。

ニュートン力学の進歩は、ケプラーの軌道の背後にある単純な仮定からの逸脱、例えば他の天体による摂動や、球形ではなく回転楕円体状の天体の影響などを探求するために利用されました。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、力よりもエネルギーを重視するニュートン力学への新しいアプローチを開発し、 ^[16]三体問題にも進展をもたらし、オイラーと共にラグランジュ点を発見しました。^[17]古典力学の劇的な正当性を証明するものとして、1846年にユルバン・ル・ヴェリエは天王星の軌道における説明のつかない摂動に基づいて海王星の位置を予測しました。^[18]

アルバート・アインシュタインは1916年の論文「一般相対性理論の基礎」で、重力は時空の曲率によるものだと説明し、重力の変化は瞬時に伝播するというニュートンの仮定を排除した。これにより天文学者たちは、ニュートン力学では軌道の理解に最高の精度は得られないと認識するようになった。相対性理論では、軌道は測地線の軌跡を描き、これはニュートンの予測で非常によく近似されるが（非常に強い重力場や非常に高い速度がある場合を除く）、その差は測定可能である。本質的に、両理論を区別できる実験的証拠はすべて、実験測定精度の範囲内で相対性理論と一致する。^{[13]一般相対性理論の元々の根拠は、ル・ヴェリエによって初めて指摘された}水星近日点の歳差運動における残りの未解明の量を説明できたことである。^[19]しかし、ニュートンの解法ははるかに使いやすく、十分に正確であるため、ほとんどの短期的な目的で今でも使用されている。^[13]

惑星の軌道

惑星系内では、恒星以外の様々な天体が、その系の重心の周りを楕円軌道で公転している。これらの天体には、惑星、準惑星、小惑星、その他の小惑星、彗星、流星体、さらには宇宙ゴミなどが含まれる。^{[20]重心の周りを}放物線軌道または双曲線軌道で公転する彗星は、恒星の重力に束縛されていないため、その恒星の惑星系の一部とはみなされない。^[21]惑星系内の惑星の1つに重力に束縛されている天体（天然衛星、人工衛星、環系内の天体など）は、その惑星の近くまたは惑星内の重心の周りを公転している。^[22]

相互の重力摂動により、惑星軌道の離心率と傾斜角は時間とともに変化します。 ^[23] 太陽系最小の惑星である水星は、最も大きな離心率を持つ軌道を公転しています。現在、火星は次に大きな離心率を持ち、最も小さい軌道離心率は金星と海王星です。^[24]

二つの物体が互いに周回する際、近点とは二つの物体が最も接近する点のことです。より正確には「近焦点」^[要出典]または「近重心」と呼ばれることもあります。^[25]遠点とは、二つの物体が最も離れる点のことで、アピフォーカス^[要出典]またはアポセントロンと呼ばれることもあります。^[25]近点から遠点まで引いた線は、遠点線と呼ばれます。これは楕円の長軸、つまり楕円の最長部分を通る線です。^[26]

特定の天体には、より具体的な用語が用いられます。例えば、近地点と遠地点は地球を周回する軌道の最低点と最高点であり、近日点と遠日点は太陽を周回する軌道の最も太陽に近い点と最も遠い点です。 ^[27]月を周回する天体には、近月と遠月（それぞれ近月点と遠日点）があります。^[28]太陽だけでなく、あらゆる恒星を周回する軌道には、近点と遠点があります。^[27]

恒星を周回する惑星の場合、恒星とそのすべての衛星の質量は、重心と呼ばれる一点に集中すると計算されます。その恒星の個々の衛星は、それぞれ独自の楕円軌道を描き、その重心はその楕円の焦点の一つにあります。^[22]軌道上のどの点においても、どの衛星も重心に対して一定の運動エネルギーと位置エネルギーを持ち、これら二つのエネルギーの合計は軌道上のどの点においても一定値です。その結果、惑星が近点に近づくと、位置エネルギーが減少するため速度が増加します。一方、遠点に近づくと、位置エネルギーが増加するため速度が減少します。^[29]

原則

軌道はニュートンの運動の法則と万有引力の法則を組み合わせることで説明できます。運動の法則は以下の通りです。^[30]

• 物体は、外部からの力が加わらない限り、均一な静止状態または運動状態を継続します。
• 力が作用したときに生じる加速度は、その力に正比例し、力が作用する方向に発生します。
• あらゆる行為には、それと等しく反対の反応が存在します。

運動の第一法則によれば、重力がない場合、物体は慣性により直線運動を続ける。第二法則によれば、重力などの力は、運動する物体を力の源である物体に向かって引っ張り、その結果、物体は曲線軌道を描く。物体が十分な接線速度を持っている場合、重力物体に落ち込むことはなく、力によって引き起こされる曲線軌道を無限に描き続けることができる。このとき、物体は物体の周りを周回していると言われる。第三法則によれば、各物体は他方の物体に等しい力を及ぼし、つまり2つの物体はそれぞれの質量中心、つまり重心の周りを周回する。^[31]

重力アシストフライバイは双曲線軌道を使用して宇宙船の速度と方向を変更します^[32]

万有引力の法則により、重力の強さは2つの物体の質量とそれらの距離に依存します。重力は軌道の過程で変化するため、ケプラーの惑星運動の法則が再現されます。^[31]系のエネルギー状態の変化に応じて、質量を持つ2つの運動物体の速度関係は、4つの実用的なクラスに分類され、さらにサブタイプに分類されます。

軌道なし

弾道軌道

断続的な楕円軌道の範囲

軌道軌道（または単に軌道）

• 発射点の反対側に最も近い点を持つ楕円軌道の範囲
• 円形の道
• 発射点に最も近い点を持つ楕円軌道の範囲

オープン（または脱出）軌道

• 放物線状の軌道
• 双曲線経路

軌道に到達するために、従来のロケットはまず垂直に打ち上げられ、密度の高い下層大気（摩擦抵抗が生じる）の上空にロケットを上げます。そして徐々に機首を傾​​げ、ロケットエンジンを大気圏と平行にして軌道投入を行います。^[33]軌道に入ると、ロケットの速度は大気圏上空を維持します。楕円軌道の場合、密度の高い大気圏に突入すると、物体は速度を失い、大気圏に再突入して地面に落下します。宇宙船は時折、意図的に大気圏に突入する動作を行います。これは一般にエアロブレーキング操作と呼ばれます。^[34]

図

ニュートンの砲弾は、物体が曲線に沿って「落ちる」様子を示した図解である。

惑星の周りを回る軌道の例として、ニュートンの砲弾モデルが役立つかもしれません（図を参照）。これは「思考実験」であり、高い山の頂上に設置された大砲が、任意の砲口速度で水平方向に砲弾を発射できるというものです。砲弾に対する空気抵抗の影響は無視されます（あるいは、山が十分に高く、大砲が地球の大気圏より上にある場合、これも同じことです）。^[35]

大砲が低速で弾丸を発射した場合、弾丸の軌道は下向きにカーブし、地面に衝突します（A）。発射速度が上昇するにつれて、砲弾は大砲からより遠く（B）地面に衝突します。これは、弾丸が地面に向かって落下している間、地面が弾丸から離れる方向にカーブを描いていくためです（上記の最初のポイントを参照）。これらの動きはすべて、技術的な意味では「軌道」です。つまり、重心の周りの楕円軌道の一部を表しているのです。しかし、地球に衝突することで軌道は中断されます。

砲弾が十分な速度で発射された場合、地面は少なくとも砲弾の落下速度と同じだけ砲弾から遠ざかるように曲がるため、砲弾は地面に衝突することはありません。こうして砲弾は、途切れることのない軌道、あるいは周回軌道と呼ばれる軌道を描いています。重心からの高さと惑星の質量の特定の組み合わせに対して、(C)に示すように、円軌道を描く特定の発射速度（砲弾の質量は地球の質量に比べて非常に小さいと仮定されますが、その質量の影響を受けません）が存在します。

発射速度をこれより速くすると、途切れのない楕円軌道が形成されます。その一つが(D)に示されています。図のように最初の発射が地球表面より上で行われた場合、より遅い発射速度でも途切れのない楕円軌道が形成されます。これらの軌道は、発射地点から半周した地点、つまり円軌道の下の地点で地球に最も近づきます。

脱出速度と呼ばれる特定の水平方向の発射速度（惑星の質量と物体の重心からの距離に依存する）に達すると、放物線状の軌道を描く開軌道（E）が達成される。さらに高速になると、物体は一連の双曲線軌道を描く。実際的な意味では、これらの軌道はどちらも、物体が惑星の重力から「解放」され、「宇宙空間へ飛び立つ」ことを意味し、二度と戻ってこない可能性もある。しかし、物体は太陽の重力の影響下には留まる。^[36]

ニュートンの法則

重力と運動

現実世界のほとんどの状況において、ニュートンの法則は重力場における物体の運動をかなり正確に記述します。相対性理論に適合させるために必要な調整は、物体が恒星などの大きな重力源の近くにある場合^[37]や、高いレベルの精度が求められる場合に顕著になります。

ロケットは重力gと推進力a _eによる加速度を受け、結果として純加速度aが生じます。

物体の加速度は、その物体に作用する力の和をその質量で割ったものに等しい。物体に作用する重力は、二つの引力の積に比例し、それらの間の距離の二乗に反比例して減少する。^{[31]質量が既知で十分な距離を持つ二つの球体からなる孤立系として定義される}二体問題において、これらの物体の重力相互作用に関するこのニュートン力学近似は、それらの軌道をかなり正確に計算することができる。^[38]

重い天体が軽い天体よりもはるかに質量が大きい場合、例えば惑星を周回する衛星や小さな衛星、あるいは太陽を周回する地球の場合のように、重い天体を中心とする座標系を用いて運動を記述することは十分正確かつ簡便であり、軽い天体が重い天体の周りを周回していると言える。2つの天体の質量が同程度の場合、ニュートン力学の厳密な解で十分であり、座標系を系の質量の中心に置くことで得られる。^[39]

エネルギーと円錐曲線

エネルギーは重力場と関連している。静止した物体は、他の物体に引っ張られると外部で仕事をすることができるため、重力による位置エネルギーを持つ。重力に逆らって二つの物体を引き離すには仕事が必要となるため、重力による位置エネルギーは離れるほど増加し、近づくほど減少する。質点の場合、重力エネルギーはゼロに近づくにつれてゼロに減少する。位置エネルギーは、無限距離にあるときはゼロとするのが便利で慣例的である。したがって、有限距離より小さい場合は、ゼロから減少するため、負の値となる。^[40]

2つの重力物体のみが相互作用する場合、それらの軌道は円錐曲線を描く。軌道は開いた軌道（物体が決して戻ってこないことを意味する）または閉じた軌道（戻ってくる）のいずれかである。どちらになるかは、システムの全エネルギー（運動エネルギー+位置エネルギー）に依存する。開いた軌道の場合、軌道上のどの位置でも速度はその位置の脱出速度以上であり、閉じた軌道の場合、速度は常に脱出速度未満である。無限遠で位置エネルギーをゼロとするという一般的な慣例を採用すれば、運動エネルギーが負になることは決してないため、束縛軌道は負の全エネルギーを持ち、放物線軌道はゼロの全エネルギーを持ち、双曲軌道は正の全エネルギーを持つ。^{[41] [42]}

異なる軌道タイプの円錐曲線

開いた軌道は、その軌道のその時点での脱出速度とちょうど同じ速度であれば放物線状になり、脱出速度よりも速度が速い場合は双曲線状になります。 ^{[41] [42]} 2つの物体が脱出速度以上（互いに対して）で接近すると、最接近時に短時間互いの周りを回り、その後分離して飛び去ります。

すべての閉軌道は楕円形である。円軌道は楕円の焦点が一致する特殊なケースである。^{[41] [42]}

ケプラーの法則

閉軌道を描く物体は、周期と呼ばれる一定の時間で軌道を繰り返す。この運動はケプラーの経験法則によって記述され、これはニュートンの法則から数学的に導かれる。これらは以下のように定式化できる。^[43]

1. 太陽の周りを回る惑星の軌道は楕円形であり、太陽はその楕円の焦点の一つに位置する。[この焦点は実際には太陽-惑星系の重心である。説明を簡潔にするため、この説明では太陽の質量が惑星の質量よりも無限に大きいと仮定する。] 惑星の軌道は軌道面と呼ばれる平面上を公転する。^[43]
2. 惑星が軌道上を移動すると、太陽から惑星への線は、一定期間、軌道面の一定面積を掃引します。これは、惑星がその期間中に軌道のどの部分を描いているかに関わらず、一定期間にわたります。これは、惑星が遠日点付近よりも近日点付近でより速く移動することを意味します。なぜなら、より短い距離では、同じ面積をカバーするのにより大きな弧を描く必要があるからです。^[43]この法則は通常、「等面積、等時間」と表現されます。
3. 与えられた軌道において、その軌道長半径の3乗と周期の2乗の比は一定である。 ^[43]

古典力学の限界

理想的には、ニュートン重力場を持つ質点または球体の束縛軌道は閉じた楕円形を形成し、同じ軌道を正確に無限に繰り返す。しかし、非球形または非ニュートン力学的効果は、軌道の形状を楕円形から外す。このような効果は、物体のわずかな扁平率^{[44] 、} 質量異常^[45] 、潮汐変形^[46]、または相対論的効果^[19]によって引き起こされる可能性があり、それによって重力場の距離に対する挙動が変化する。

二体問題の解は、1687年にニュートンによりプリンキピアで発表された^。[30] 1912年にカール・フリティオフ・サンドマンは、一般の三体問題を解く収束する無限級数を開発したが、収束が遅すぎるためあまり役に立たなかった。第3の物体の質量が無視できると仮定した制限付き三体問題は、広く研究されてきた。この場合の解にはラグランジュ点が含まれる。^[47]月の理論の場合、19世紀のシャルル・ウジェーヌ・ドローネーの研究により、20年間にわたる月の動きをその直径の範囲内で予測することができた。^[48] 4体以上の物体を持つシステムの運動方程式を解く普遍的に有効な方法は知られていない。

処方

ニュートン力学による軌道運動の解析

以下の導出は楕円軌道に適用されます。中心天体は静止しているとみなせるほど質量が大きく、一般相対性理論のより微妙な影響は無視できるという仮定に基づいています。

力と加速度

分離距離rにおける質量m ₁とm ₂の重力

ニュートンの万有引力の法則によれば、中心物体に向かう第2の質量の重力加速度は、それらの間の距離の2乗の逆数に関係しており、次の式で表される。^[49]

${\displaystyle F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

ここで、F _{2は、質量}m _1が質量m ₂に対して持つ重力引力によって質量m ₂に作用する力、Gは万有引力定数、rは 2 つの質量中心間の距離です。

ニュートンの第二法則によれば、 m ₂に作用する力の合計はその物体の加速度に関係します。

${\displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}$

ここで、A _2は、 m 1の重力引力F _2がm ₂に作用することによって生じるm ₂の加速度です。

式1と式2を組み合わせると：

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

加速度A ₂を解くと、

${\displaystyle A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu}{r^{2}}}$

ここでは標準重力パラメータであり、この場合は である。^[50]ここで記述されている系はm2_であることが理解されるので、添え字は省略できる。 ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle Gm_{1}}$

極座標

極座標における単位ベクトル

軌道を周回する物体の現在位置は、極座標系のベクトル解析を用いて、標準ユークリッド基底と原点を力の中心とする極基底の両方を用いて軌道面上で位置付けられる。物体と中心の間の距離を 、回転角度を とする。 を標準ユークリッド基底とし、 を以下の式で表す。^[49]${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

を放射状基底と横方向の極基底とする。最初の基底は中心天体から周回物体の現在位置を指す単位ベクトルであり、2番目の基底は周回物体が反時計回りに周回する場合の方向を指す直交単位ベクトルである。すると、周回物体へのベクトルは次のようになる。

${\displaystyle {\mathbf {O} }=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

ニュートンの記法 とはこの距離と角度が時間とともにどのように変化するかの標準的な微分を表します。 ^[51]ベクトルの微分をとって、微小な時間増分におけるベクトルの変化を見るには、時刻における位置から時刻における位置を引いて、それをで割ります。結果はベクトルのままです。 ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle t+\delta t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \delta t}$

ケプラーの第二法則

基底ベクトルは物体の軌道運動に伴って移動するため、まずはそれを微分して、時間経過に伴う動径方向の変化率を求める必要があります。時刻 から まで、ベクトルは原点を始点として角度 からまで回転します。これにより、ベクトルの先端は垂直方向に距離 だけ移動し、微分は となります。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}\ \delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}&=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}&=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}}$

軌道を周回する物体の速度と加速度を測定できるようになりました。^[49]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {O} }&=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {O} }}&={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r\left[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]\\{\ddot {\mathbf {O} }}&=\left[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]+\left[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\\&=\left[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\end{整列}}}$

最後の行では、と の係数は、半径方向と横方向の加速度を表しています。前述のように、ニュートンは重力により、半径方向の加速度を と与え、横方向の加速度はニュートンの第一法則によりゼロとなります。したがって、次のようになります。^[49]${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ${\displaystyle -\mu /r^{2}}$

時間間隔tの間、角度の変化率は、面積Aを一定に保つように変化する。${\textstyle {\dot {\theta }}}$

式(2)は部分積分を使って変形できる。

${\displaystyle r{\ddot {\theta}}+2{\dot {r}}{\dot {\theta}}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta}}\right)=0}$

軌道上の物体が衝突しない限り、関数の導関数はゼロにならないため、両辺に を掛けることができます。導関数がゼロであることは、関数が定数であることを示します。 ${\displaystyle r}$

これは実際にはケプラーの第二法則（惑星と太陽を結ぶ線は、等しい時間間隔で等しい面積を掃引する）の理論的証明である。 ^[49]積分定数hは、単位質量あたりの角運動量である。^[52]

ケプラーの第一法則

式(1)から軌道方程式を得るには、時間変数を消去する必要がある（ビネの式も参照）。極座標系では、これは軌道を周回する物体の中心からの距離をその角度 の関数として表すことになる。しかし、補助変数を導入して の関数として表す方が簡単である。 の時間に関する微分は、の角度に関する微分として書き直すことができる。^[49]${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle u=1/r}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u={1 \over r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}$ （リワーク（3））

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}&={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ または }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}}$

これを（１）に代入すると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\\-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}\left(hu^{2}\right)^{2}&=-\mu u^{2}\end{aligned}}}$

したがって：^[49]

したがって、重力、あるいはより一般的には反二乗の力の法則の場合、方程式の右辺は定数となり、方程式は調和方程式（従属変数の原点シフトを除く）となる。解は以下の通りである。

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0})}$

焦点を中心とした極座標。長半径aは、中心（C）から遠点（AまたはB）までの距離です。

ここで、Aとθ _{0 は}任意定数です。この物体の軌道方程式は、焦点の1つを基準とした極形式の楕円の方程式です。これを離心率とすることでより標準的な形に表すと、次のように表せます。 ${\displaystyle e\equiv h^{2}A/\mu }$

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

を長半径とし、楕円の長軸が正のx座標に沿うようにすると、次式が得られる。 ^[49]${\displaystyle a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right)}$ ${\displaystyle \theta _{0}\equiv 0}$

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

eがゼロの場合、結果はrがaに等しい円軌道になります。

ケプラーの第三法則

ニュートンの法則を取り入れると、ケプラーの第三法則の定数は次のようになる。^[53]

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{日}}^{2}}}$

ここで、は太陽の質量、Gは重力定数、は惑星の質量、は公転周期、は楕円軌道の長半径、は天文単位、地球から太陽までの平均距離です。このことから、長半径から公転周期を導くことができます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{AU}}}$

トルクをかける

衛星へのトルクは、例えば非球状質量による摂動によって生じる可能性がある。^[54]二体系がトルクの影響を受ける場合、角運動量hは定数ではない。以下の計算により、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta r}{\delta \theta }}&=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\{\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\\left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r&={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

結果は二体系のシュトゥルム・リウヴィル方程式である。 ^[55]

相対論的軌道運動

軌道力学の古典的（ニュートン的）解析では、一般相対性理論のより微妙な効果、例えばフレームドラッグや重力による時間の遅れなどは無視できると仮定しています。相対論的効果は、質量の大きい天体の近く（太陽の周りを公転する水星の歳差運動など）では無視できなくなり、 ^{[19] 、また極めて高い精度が求められる場合（}軌道要素の計算やGPS衛星の時刻信号基準など）には無視できなくなります。^[56 ]

一般相対性理論によれば、粒子がブラックホールを安定して周回できる最小半径が存在する。この軌道に内向きの摂動を与えると、粒子はブラックホールに螺旋状に落ち込む。この最も内側の安定円軌道の大きさは、ブラックホールのスピンと粒子自身のスピンに依存するが^{[57] 、回転がない場合、理論的な軌道半径は}事象の地平線の半径のわずか3倍である^[58]。

仕様

楕円軌道の要素。軌道面の配置は、傾斜角、昇交点の経度、近点引数によって決まる。

ケプラーの軌道を天体の周りで指定するには、6つのパラメータが必要です。例えば、天体の初期位置を指定する3つの数値と、その速度を指定する3つの値は、時間的に前方（または後方）に計算できる一意の軌道を定義します。^[59]

摂動を受けない軌道は、空間に固定された平面（軌道面）上の二次元軌道です。三次元では、この平面の、天球面などの基準面に対する向きは、3つの角度で決定できます。この解析を三次元に拡張するには、対象となる惑星の極に対して、二次元平面を必要な角度に回転させるだけで済みます。

伝統的に、軌道要素の標準的な集合は、ヨハネス・ケプラーとその法則にちなんで、ケプラー要素集合と呼ばれています。これらの6つのケプラー要素は以下のとおりです。^[60]

• 傾斜（i）
• 昇交点の経度（Ω）
• 近点引数（ω）
• 離心率（e）
• 長半径（a）
• エポック( θ ₀ )における真の異常値。

軌道周期とは、軌道を周回する天体が1周するのにかかる時間のことで、長半径と質量の和から導き出されます。原理的には、ある天体の軌道要素が分かれば、その天体の位置を時間的に前後に無限に計算することができます。しかし実際には、軌道は、仮定された点源からの単純な重力以外の力によって影響を受け、あるいは摂動を受けるため、軌道要素は時間とともに変化します。

離心率がゼロでない限り、aは平均軌道半径ではないことに注意する。時間平均軌道距離は次式で与えられる: ^[61]

${\displaystyle {\bar {r}}=a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)}$

これは、円軌道の場合、 eがゼロの場合にのみaに等しくなります。

摂動

軌道摂動とは、力または衝撃が加速度を引き起こし、時間の経過とともに軌道パラメータを変化させることです。この摂動は、主重力体の全体的な力または平均衝撃よりもはるかに小さいです。摂動の潜在的な発生源としては、球形性からの逸脱、第三天体の寄与、放射圧、大気抵抗、潮汐加速度などが挙げられます。^[62]

放射状、横方向、法線方向の摂動

ホーマン遷移軌道とは、2つの接線方向の衝撃（ΔvとΔv'）によって軌道の高度（1から3）を変更する操作である^[63]

軌道上の物体の場合、摂動力は3つの直交成分、すなわちラジアル、横方向、および法線に分けられます。最初の2つは軌道面内（それぞれ重力体の方向と円軌道の経路に沿う）にあり、3つ目は軌道面から離れる方向です。^[64]軌道上の物体に小さなラジアルインパルスを与えると、離心率は変わりますが、軌道周期は変わりません（1次まで）。順行または逆行の横方向インパルス（つまり、軌道運動に沿って適用されるインパルス）は、離心率と軌道周期の両方を変更します。特に、近点での順行インパルスは遠点での高度を上げ、その逆もまた同様であり、逆行インパルスはその逆になります。法線インパルス（軌道面外）は、周期や離心率を変えずに軌道面を回転させます。いずれの場合も、閉じた軌道は摂動点と交差します。

軌道の減衰

かなりの大気を持つ惑星の周りを十分近い軌道上にある物体は、抗力のために軌道が減衰することがあります。^[65]特に、かなりの離心率を持つ軌道の各近点では、物体は大気の抗力を受け、エネルギーを失います。物体はまさにそのエネルギーが最大になるときに運動エネルギーを失うため、軌道の偏心は毎回小さくなり（より円形に近づきます）。^[66]これは、振り子が最低点で減速する効果に似ています。振り子の振りの最高点は低くなります。最終的に、この効果は非常に大きくなり、最大運動エネルギーでは軌道を大気の抗力効果の限界より上に戻すのに十分ではなくなります。これが起こると、物体は急速に螺旋状に下降し、中心天体と交差します。

大気抵抗を受ける領域は惑星によって異なります。例えば、再突入機は地球よりも火星にかなり近づく必要がありますが^{[67] 、水星ではこの抵抗は無視できます。大気圏の境界は}、太陽の力と宇宙天気によって大きく変化します。^[68]太陽活動極大期には、地球の大気は太陽活動極小期よりも最大100キロメートル高い高度で抵抗を引き起こします。

ロケットエンジンの使用により、軌道は人工的に影響を受ける可能性があります。ロケットエンジンは、軌道上のどこかの時点で物体の運動エネルギーを変化させます。このようにして、軌道の形状や方向の変更を容易にすることができます。ソーラーセイルまたは磁気セイルは、太陽以外の推進剤やエネルギー入力を必要としない推進形式であるため、宇宙ステーションの維持に無期限に使用できます。^{[69] [70]}（そのような使用法の1つについては、statiteを参照してください。）長い導電性テザーを備えた衛星は、地球の磁場による電磁抵抗のために軌道が減衰する可能性があります。^[71]ワイヤーが磁場を切断すると、発電機として機能し、電子を一方の端からもう一方の端に移動します。軌道エネルギーはワイヤー内で熱に変換されます。

周回天体の同期軌道より下にある天体の場合、潮汐力によって軌道が減衰することがある。^[72]周回天体の重力によって主衛星に潮汐力による膨らみが生じる。同期軌道より下にあるため、周回天体は天体の表面よりも速く移動し、膨らみは天体の表面よりわずかに遅れる。膨らみの重力は主衛星の軸からわずかにずれているため、衛星の運動方向に沿った成分を持つ。近い膨らみは天体を減速させるが、遠い膨らみは加速させるよりも大きく、結果として軌道は減衰する。

逆に、衛星の重力がバルジに作用することで主衛星にトルクがかかり、自転速度が上昇します。人工衛星は小さすぎるため、周回する惑星に大きな潮汐力を与えることはできませんが、太陽系のいくつかの衛星はこのメカニズムによって軌道が減衰しています。^[73]火星の最も内側の衛星フォボスはその好例であり、2000万年から4000万年後には火星の表面に衝突するか、環に分裂すると予想されています。^[74]

軌道は重力波の放出によって崩壊することがある。このメカニズムはほとんどの恒星系天体では非常に弱く、極度の質量と極度の加速度が組み合わさった場合、例えば互いに接近して周回するコンパクト天体の場合にのみ顕著になる。 ^[75]

オブラート性

軌道を回る天体の標準的な解析では、すべての天体は均一な球体、より一般的には均一な密度を持つ同心円状の殻で構成されていると仮定しています。数学的には、このような天体は殻定理により重力的に点源と等価です。^[76]しかし、現実の世界では多くの天体が回転しており、これにより扁平化（赤道隆起）が生じます。これは重力場に四重極モーメントを追加し、天体の半径に匹敵する距離では顕著になります。^{[77] [78]}一般的なケースでは、惑星などの回転天体の重力ポテンシャルは、球対称性からの逸脱を考慮するために多極展開することができます。 ^[79]

衛星の力学の観点から特に重要なのは、いわゆる偶数ゾーン調和係数、あるいは偶数ゾーン係数である。これは、軌道周期よりも長い時間にわたって累積する永年軌道摂動を引き起こすからである。^{[80] [81]}これらは、宇宙における天体の対称軸の向きに依存し、一般に軌道長半径を除いて軌道全体に影響を及ぼす。

潮汐ロック

共軌道を周回する2つの天体間の潮汐ロックは、一方の天体が、軌道を一周する間に角運動量の純移動がなくなる状態に達したときに発生します。 ^{[82]重力相互作用により、}エネルギー交換と熱放散の結果、ロック状態が形成されるまで、天体の軌道と自転速度は着実に変化します。この状態から抜け出すには、系にエネルギーを再び投入する必要があるため、天体はこの状態を維持する傾向があります。一例として、水星が挙げられます。水星は、2周するごとに自転を3回繰り返す状態に固定されています。^[83]

潮汐固定された天体が同期自転を行う場合、その天体は自身の軸の周りを自転するのにかかる時間と、他方の天体の周りを公転するのにかかる時間が等しい。この場合、天体の片側は常に主天体の方を向いている。これは地球の月と冥王星・カロン系の両方の天体で当てはまる。^[84]

複数の重力体

月の楕円軌道の遠心歳差運動（縮尺どおりではなく、離心率は誇張されている）

他の重力天体の影響は重大なものとなり得る。例えば、月の軌道は、地球の重力だけでなく太陽の重力も考慮しなければ正確に記述できない。^{[85]大まかな結論としては、これらの摂動にもかかわらず、より重い天体の}ヒル球面内で十分に軌道を周回している限り、天体は通常、より重い惑星や衛星の周りを比較的安定した軌道を描くということである。^[86]

多天体相互作用の長期的な影響として、遠点歳差運動が挙げられます。これは、遠点間の線が徐々に回転する運動です。楕円軌道の場合、ロゼッタ軌道となります。古代ギリシャの天文学者ヒッパルコスは、月の軌道におけるまさにこのような遠点歳差運動を、約8.85年周期の月の遠地点の公転として記録しました。^{[87]遠点歳差運動は、潮汐擾乱、自転擾乱、一般相対性理論、 [19]}またはこれらの効果の組み合わせ によって発生します。遠方の連星系における遠点歳差運動の検出は、目に見えない第3の伴星による摂動効果の指標となる可能性があります。^[88]

重力を受ける物体が2つ以上ある場合、n体問題と呼ばれます。ほとんどのn体問題には閉じた解は存在しませんが、いくつかの特殊なケースが定式化されています。

多体問題へのアプローチ

厳密な閉形式の解ではなく、多くの天体による軌道は、任意の高い精度で近似することができます。一つの方法は、純粋な楕円運動を基底として、複数の天体の重力の影響を考慮するための摂動項を加えることです。 ^[89]これは天体の位置を計算するのに便利です。衛星、惑星、その他の天体の運動方程式は非常に正確に知られており、天体航法のための表を作成するのに使用されています。^{[90]それでも、}ポストニュートン的手法で扱わなければならない世俗的な現象が存在します。

増分的アプローチでは、科学的またはミッション計画の目的で微分方程式を使用します。 ^[91]ニュートンの法則によれば、物体に作用するそれぞれの重力は、発生源からの距離に依存します。したがって、加速度は位置で表すことができます。摂動項はこの形式で記述する方がはるかに簡単です。位置と速度の初期値から後続の位置と速度を予測することは、初期値問題を解くことに対応します。数値手法では、物体の少し先の時間における位置と速度を計算し、その後、計算をうんざりするほど繰り返します。ただし、コンピューターの計算精度の限界による小さな算術誤差は累積するため、このアプローチの長期的な精度は制限されます。

多数の物体を対象とした微分シミュレーションでは、重心間の階層的なペアワイズ計算が行われます。この手法を用いて、銀河、星団、その他の大規模な物体集合体のシミュレーションが行われてきました。^[92]

放射線と磁場

特に小天体の場合、光^[65]と恒星風は天体の姿勢と運動方向に大きな摂動を引き起こす可能性があり、時間の経過とともにその影響は顕著になることがあります。残留磁場を持つ天体は惑星磁気圏と相互作用し、軌道を摂動させる可能性があります。^{[65]惑星の中でも、}小惑星の運動は、太陽に対して自転しているときにヤルコフスキー効果によって長期間にわたって特に影響を受けます。 ^[93]

奇妙な軌道

2種類のボディを持つシンプルな六角形のクレンペラーロゼット^[94]。クレンペラーはこれが最も安定していると指摘しています。

数学者たちは、原理的には、周期的に繰り返される非楕円軌道上に複数の物体が存在することが可能であることを発見した。しかし、そのような軌道のほとんどは、質量、位置、または速度の小さな摂動に対して安定ではない。しかしながら、3つの運動物体が占める平面状の8の字軌道など、いくつかの特殊な安定例が確認されている。^[95]さらなる研究により、12個の質量体が4つのほぼ円形の連動軌道上を運動する軌道など、非平面軌道も可能であることが発見された。この軌道は位相的に正八面体の辺と等価である。^[96]

宇宙で自然に発生するこのような軌道を見つけることは、必要な条件が偶然に発生する可能性が低いため、極めてありそうにないと考えられています。^[96]

天体力学

軌道力学あるいは天体力学は、弾道学と天体力学をロケットやその他の宇宙船の運動に関する実際的な問題に応用したものである。^[97]これらの物体の運動は通常、ニュートンの運動の法則と万有引力の法則から計算される。これは宇宙ミッションの設計と制御における中核的な学問である。天体力学は、より広範には宇宙船や恒星系、惑星、衛星、彗星などの自然天体を含む、重力の影響下にあるシステムの軌道力学を取り扱う。軌道力学は、軌道操作、軌道面の変更、惑星間遷移を含む宇宙船の軌道に焦点を当てており、^{[98]ミッションプランナーが}推進操作の結果を予測するために使用されている。一般相対性理論はニュートンの法則よりも軌道計算においてより正確な理論であり、より高い精度が求められる場合や高重力の状況（太陽や惑星に近い軌道など）で必要となることがある。^[99]

地球の軌道

• 低軌道（LEO）：高度2,000km（0～1,240マイル）までの地球中心軌道。^[100]
• 中軌道（MEO）：高度2,000km（1,240マイル）から静止軌道のすぐ下、高度35,786km （22,236マイル）までの地球中心軌道。中間円軌道とも呼ばれる。「最も一般的には高度20,200km（12,600マイル）、または20,650km（12,830マイル）で、周回周期は12時間である。」^[101]
• 静止軌道（GSO）と静止軌道（GEO）はどちらも、地球の恒星自転周期に一致する地球の周りを周回する軌道です。すべての静止軌道と静止軌道の軌道長半径は42,164 km（26,199 mi）です。すべての静止軌道は静止軌道でもありますが、すべての静止軌道が静止軌道であるとは限りません。静止軌道は赤道の真上にありますが、静止軌道は地球の表面をより広くカバーするために南北に振れることがあります。どちらも恒星日（太陽ではなく恒星を基準とした基準）で地球を1周します。^[102]
• 高地球軌道：静止軌道高度35,786km （22,240マイル）以上の地球中心軌道。^[101]

重力のスケーリング

重力定数 Gは次のように計算されます。6.6743 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ^[103]

• (6.6742 ± 0.001) × 10 ⁻¹¹ (kg/m ³ ) ⁻¹ s ⁻² .

したがって、定数の次元は密度⁻¹ × ⁻²となる。これは以下の性質に対応する。

距離（物体の大きさを含むが、密度は一定）をスケーリングすると、時間をスケーリングすることなく同様の軌道が得られます。例えば、距離が半分になると、質量は8分の1、重力は16分の1、重力加速度は2分の1になります。したがって、速度は半分になり、軌道周期やその他の重力に関連する移動時間は変わりません。例えば、物体を塔から落とす場合、地球の縮尺模型の上に塔の縮尺模型を置いても、地面に落ちるまでの時間は変わりません。

質量を同じに保ちながら距離を拡大縮小すると（質点の場合、または密度を調整することによって）、同様の軌道が得られます。距離が 4 倍になると、重力と加速度が 16 で割られ、速度が半分になり、軌道周期が 8 倍になります。

すべての密度が 4 倍になると、軌道は同じになります。重力は 16 倍、加速度は 4 倍になり、速度は 2 倍になり、軌道周期は半分になります。

すべての密度が4倍になり、すべての大きさが半分になると、軌道は相似形になり、質量は2分の1になり、重力は同じになり、重力加速度は2倍になります。したがって、速度は同じになり、軌道周期は半分になります。

これらすべてのスケーリングのケースでは、密度が 4 倍になると時間は半分になり、速度が 2 倍になると力は 16 倍になります。

これらの特性は、次の式で表されます（軌道周期の式から導出）。

${\displaystyle GT^{2}\rho =3\pi \left({\frac {a}{r}}\right)^{3},}$

半径r、平均密度ρの球体の周りを小天体が周回する、長半径 aの楕円軌道について。ここでTは軌道周期である。ケプラーの第三法則も参照。

参照

• 自由漂流
• ヤコビ座標
• 軌道一覧
• モルニヤ軌道
• 軌道決定
• 軌道宇宙飛行
• 焦点周辺座標系
• 極軌道
• 放射状の軌道
• VSOPモデル

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さらに読む

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• リントン、クリストファー（2004年）『エウドクソスからアインシュタインへ：数理天文学の歴史』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-139-45379-0。

外部リンク

• CalcTool: 惑星の公転周期を計算するツールです。様々な単位を選択できます。JavaScript が必要です。
• 軌道運動に関する Java シミュレーション。Java が必要です。
• NOAAの気候強制データページには、過去5000万年間と今後2000万年間の地球軌道変動に関する（計算された）データが含まれています。
• オンライン軌道プロッター。JavaScript が必要です。
• 軌道力学（ロケットと宇宙技術）
• Varadi、Ghil、Runnegar (2003) による軌道シミュレーションは、地球の軌道離心率について、わずかに異なる系列と軌道傾斜角の系列を提供しています。他の惑星の軌道も、F. Varadi、B. Runnegar、M. Ghil (2003) によって計算されています。「惑星軌道の長期積分における連続的な改良」The Astrophysical Journal . 592 (1): 620– 630. Bibcode :2003ApJ...592..620V. doi : 10.1086/375560 .ただし、オンラインで入手できるのは地球と水星の離心率データのみです。
• 直接操作による軌道の理解 2017年11月8日アーカイブWayback Machine。JavaScriptとMacromediaが必要です
• メリフィールド、マイケル. 「軌道（最初の有人軌道を含む）」. 60のシンボル.ブレイディ・ハラン（ノッティンガム大学）.