部分等長投影図

関数解析において、部分等長写像は、その核の直交補写像上の等長写像となるようなヒルベルト空間間の線型写像である。

その核の直交補空間は初期部分空間と呼ばれ、その値域は最終部分空間と呼ばれます。

部分等長変換は極分解で現れます。

一般的な定義

部分等長写像の概念は、他の同等の方法で定義できます。Uがヒルベルト空間Hの閉部分集合H ₁上に定義された等長写像である 場合、 H ₁の直交補集合上でWが0であるという条件により、UのH全体への拡大Wを定義できます。したがって、部分等長写像は、部分的に定義された閉じた等長写像として定義されることもあります

部分等長変換（および射影）は、反転を伴う半群のより抽象的な設定で定義できます。その定義はここでの定義と一致します。

有限次元における特性評価

有限次元 ベクトル空間において、行列が 部分等長変換となるのは、 がその台への射影である場合に限ります。これを、より厳密な等長変換の定義と比較してみましょう。行列が等長変換となるのは、 である場合に限ります。言い換えれば、等長変換は単射な部分等長変換です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}V=I}$

任意の有限次元部分等長変換は、基底を何らかの方法で選択することで、 の形式を持つ行列、つまり、最初の列が等長変換を形成し、その他のすべての列が 0 である行列として表すことができます。 ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)}$

任意の等長変換に対して、エルミート共役は部分等長変換であることに注意してください。ただし、与えられた例で明示的に示されているように、すべての部分等長変換がこの形式になるわけではありません。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

作用素環

作用素環においては、初期部分空間と最終部分空間が導入される

${\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}}$

C*-代数

C*-代数の場合、C*-性質により同値連鎖が成り立ちます

${\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}$

したがって、上記のいずれかによって部分等長変換を定義し、初期または最終投影をそれぞれW*WまたはWW*と宣言します。

一対の射影は同値関係によって分割される。

${\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}$

これは、C*-代数のK-理論と、フォン・ノイマン代数における射影のマレー-フォン・ノイマン理論において重要な役割を果たします。

特殊クラス

射影

任意の直交射影は、共通の初期部分空間と最終部分空間を持つ射影です

${\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}$

埋め込み

任意の等長埋め込みは、完全な初期部分空間を持つ埋め込みです。

${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}$

ユニタリー

任意のユニタリ演算子は、完全な初期部分空間と最終部分空間を持つ演算子です。

${\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}$

(これら以外にも、部分的な等長変換は数多く存在します。)

例

ニルポテント

2次元複素ヒルベルト空間上の行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

初期部分空間を持つ部分等長変換である

${\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }$

そして最終部分空間

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}$

一般的な有限次元の例

有限次元における他の例としては、 列が直交していないため、これは明らかに等長写像ではありません。しかし、その台はとの張力であり、この空間への の作用を制限すると、等長写像（特にユニタリ）になります。同様に、 、つまり がその台への射影である ことが確認できます$${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}}$ ${\displaystyle A^{*}A}$

部分等長行列は必ずしも正方行列に対応するわけではありません。例えば、 この行列はとの張力を持ち、この空間上で等長行列（特に恒等行列）として作用します。 $${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)}$

さらに別の例として、今回はサポート上で非自明な等長変換のように動作します。 、および であることは簡単に検証でき、サポートとその範囲の間での の等長変換動作が示されます。 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})}$

左シフトと右シフト

正方加算可能列において、演算子は

${\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}$

${\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}$

これらは

${\displaystyle R^{*}=L}$

初期部分空間を持つ部分等長写像である

${\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}$

そして最終部分空間：

${\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots )}$ 。

参考文献

• John B. Conway (1999). "A course in operator theory", AMS Bookstore, ISBN 0-8218-2065-6
• Carey, RW; Pincus, JD (1974年5月). 「ある作用素環に対する不変量」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 71 (5): 1952–1956 . Bibcode : 1974PNAS...71.1952C. doi : 10.1073  / pnas.71.5.1952 . PMC  388361. PMID 16592156
• アラン・LT・パターソン (1999).「群体、逆半群、そしてそれらの作用素環」、シュプリンガー、ISBN 0-8176-4051-7
• マーク・V・ローソン (1998).「逆半群：部分対称性の理論」ワールドサイエンティフィック ISBN 981-02-3316-7
• ステファン・ラモン・ガルシア、マシュー・オオクボ・パターソン、ロス、ウィリアム・T. (2019).「部分的に等長な行列：簡潔かつ選択的な概観」arXiv : 1903.11648 [math.FA]

外部リンク

• 重要な性質と証明
• 代替証明