区分関数

{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.} — 区分線形関数のプロット $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.$

数学において、区分関数（区分定義関数、ハイブリッド関数、または場合分け関数とも呼ばれる）とは、定義域が複数の区間（「部分定義域」）に分割され、その区間上で関数を異なる定義で定義できる関数のことである。 ^[1]^[2]^[3]区分定義は実際には関数を指定する方法であり、結果として得られる関数自体の特性ではない。定義域に少なくとも2つの点が含まれる関数はすべて区分関数として書き直すことができるからである。この記事の最初の3つの段落では、「区分的」のこの最初の意味についてのみ扱う。

区分線形、区分平滑、区分連続といった用語も非常によく使われます。関数が区分線形であるということは、関数の定義域をその性質が成り立つように分割できるという意味ですが、著者によって若干異なる意味合いで使われています。^[4]^[5]最初の意味とは異なり、これは関数自体の性質であり、関数を特定する方法だけではありません。この用語は、三角形分割を含むより大域的な意味で使用されることもあります。区分線形多様体を参照してください。 $P$ $P$ $P$

表記と解釈

{\displaystyle y=|x|} — 絶対値関数のグラフ、 $y=|x|$

{\displaystyle f(x)=\min(1,x^{2})} — この関数は区分的に単調（サブドメイン、）かつ区分的に微分可能（サブドメイン、、および）です。 $f(x)=\min(1,x^{2})$ $(-\infty ,0]$ $[0,+\infty )$ $(-\infty ,-1]$ $[-1,+1]$ $[+1,\infty )$

区分関数は、一般的な関数記法を用いて定義できます。関数本体は、関数とそれに対応する部分領域の配列です。部分関数または部分領域の列の後には、セミコロンまたはカンマを付けることができます。^[2]右列の先頭でまたはが省略されることはほとんどありません。[ 2 ^] ${\text{if}}$ ${\text{for}}$

部分領域は全体で領域全体をカバーする必要がありますが、場合によっては、部分領域が互いに素であること、つまり領域の分割を形成することも必要です。^[6]関数が「場合分けによって定義される」ためにはこれで十分ですが、関数全体が「区分的」であるためには、部分領域は通常、空でない区間（一部は退化した区間、つまり単一の点や非有界区間である可能性があります）である必要があります。また、有界区間内に無限の数の部分領域を持つことは許可されない場合が多いです。つまり、有界領域を持つ関数は有限の数の部分領域しか持たないのに対し、非有界領域を持つ関数は、適切に分散されている限り、無限の数の部分領域を持つことができます。

例として、絶対値関数の区分的定義を考えてみましょう。^[2] ゼロ未満のすべての値に対しては、最初のサブ関数（）が使用され、入力値の符号を反転して負の数を正の数にします。ゼロ以上のすべての値に対しては、2番目のサブ関数（）が使用され、これは入力値そのものに自明に評価されます。 $|x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}$ $x$ $-x$ $x$ $x$

次の表は、の特定の値における絶対値関数を示しています。 $x$

特定の入力値で区分的に定義された関数を評価するには、正しいサブ関数を選択して正しい出力値を生成するために、適切なサブドメインを選択する必要があります。

例

定数サブ関数で構成されるステップ関数または区分定数関数
区分線形関数、線形サブ関数から構成される
破れたべき乗則、べき乗則のサブ関数から構成される関数
スプライン関数は多項式サブ関数から構成され、ピース間の接合部が滑らかになるように制約されることが多い。
- Bスプライン
PDIFF
$f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
およびその他の一般的なバンプ関数。これらは無限微分可能ですが、解析性は区分的にしか成り立ちません。

区分的に定義された関数の連続性と微分可能性

{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.} — 区分的二次関数のプロット。唯一の不連続点はです。 $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.$ $x_{0}=0.707$

区分的に定義された関数は、次の条件が満たされる場合、その定義域内の特定の区間で連続します。

そのサブ関数は対応する区間（サブドメイン）上で連続的である。
その間隔内のどのサブドメインのエンドポイントにも不連続性はありません。

例えば、図示された関数は、その部分領域全体では区分連続ですが、でジャンプ不連続性を持つため、領域全体では連続ではありません。塗りつぶされた円は、この位置では右側の部分関数の値が使用されることを示しています。 $x_{0}$

区分的に定義された関数がその定義域内の特定の区間で微分可能であるためには、上記の連続性の条件に加えて、次の条件を満たす必要があります。

その部分関数は対応する開区間で微分可能である。
片側導関数はすべての区間の端点に存在する。
２つの部分区間が接する点では、２つの隣接する部分区間の対応する片側微分は一致する。^[7]^[8]^[9]

アプリケーション

応用数学的解析では、「区分的に正規な」関数は人間の視覚システムの多くのモデルと一致することが分かっており、そのモデルでは画像は最初の段階でエッジで区切られた滑らかな領域（漫画など）で構成されていると認識されます。^[10] 漫画のような関数はC ²関数であり、不連続曲線の存在を除いて滑らかです。^[11] 特に、シアレットは、このモデルクラスのスパース近似を2Dおよび3Dで提供する表現システムとして使用されています。

区分的に定義された関数は、最近傍補間などの補間にもよく使用されます。

参照

Wikibooksには、 Gnuplot#区分定義関数に関する本があります。

参考文献

^ 「区分関数」www.mathsisfun.com . 2020年8月24日閲覧。
^ abcd Weisstein, Eric W.「区分関数」. MathWorld .
^ 「Piecewise Functions」. brilliant.org . 2020年9月29日閲覧。
^ SM Nikolsky (1977). 数学解析学講座第1巻. p. 178.
^ Sofronidis, Nikolaos Efstathiou (2005). 「連続区分微分可能関数の集合」. Real Analysis Exchange . 31 (1): 13– 22. doi :10.14321/realanalexch.31.1.0013 (2025年8月11日現在非アクティブ).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of August 2025 (link)
^ 実現可能なより弱い要件は、すべての定義が交差するサブドメインに同意することです。
^ Rehmann, Ulf (2001) [1994]. 「片側微分」.数学百科事典. EMS Press .
^ Ilyin, VA; Poznyak, EG (1982). 『数学解析の基礎』第1巻. ロシア語からの翻訳：Irene Aleksanova. Mir Publishers Moscow. pp. 146, 177. ISBN 978-93-859-2386-9。
^ カヌート, クラウディオ; タバコ, アニタ (2008). 『数学解析学 I』 . 翻訳: サイモン・G・キオッシ. ミラノ: シュプリンガー・フェアラーク・イタリア. pp. 83, 176. ISBN 978-88-470-0875-5。
^ Kutyniok, Gitta ; Labate, Demetrio (2012). 「シアレット入門」(PDF) .シアレット. Birkhäuser : 1– 38.こちら：p.8
^ Kutyniok, Gitta; Lim, Wang-Q (2011). 「コンパクトに支えられたシアレットは最適にスパースである」. Journal of approximation Theory . 163 (11): 1564– 1589. arXiv : 1002.2661 . doi :10.1016/j.jat.2011.06.005.