プラニメーター

プラニメータ（プラトメーターとも呼ばれる）は、任意の 2 次元形状の 面積を測定するために使用される測定機器です。

構造

プラニメーターにはいくつかの種類がありますが、すべて同じように動作します。正確な構造は様々で、機械式プラニメーターの主な種類は、極プラニメーター、線形プラニメーター、そしてプリッツまたは「ハチェット」プラニメーターです。スイスの数学者 ヤコブ・アムスラー＝ラフォンは1854年に最初の近代的なプラニメーターを製作しました。この概念は1818年にヨハン・マルティン・ヘルマンによって開拓されました。^[1]アムスラーの有名なプラニメーターの後、電子版を含む多くの開発が続きました

さまざまな種類のプラニメーター

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  極平面計
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  指定された面積の周囲をトレースすることで測定する平面計（1908年）
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  アムスラー極座標プラニメーター
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  直線プラニメーター。車輪が付いているので、長い面積を制限なく測定できます
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  3つのプラニメータ：デジタル、プリッツ（ハチェット）、アムスラー（極）
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  左側にホイールがあるプリッツプラニメーター

アムスラー（極座標）型は、2つのリンク機構で構成されています。一方のリンクの端にはポインターが付いており、測定対象の形状の境界をなぞるために使用されます。もう一方のリンクの端は、重りによって自由に回転し、固定されています。2つのリンクの接合部付近には、直径が目盛り付きの測定ホイールがあり、微調整用の目盛りと、補助的な回転カウンタスケール用のウォームギアが付いています。領域の輪郭をなぞると、このホイールが図面上を転がります。オペレータはホイールをセットし、カウンタをゼロにしてから、ポインターを形状の周囲になぞります。なぞりが完了すると、測定ホイールの目盛りに形状の面積が表示されます。

プラニメーターの測定ホイールが軸に対して垂直に動くと、ホイールは回転し、この動きが記録されます。測定ホイールが軸に対して平行に動くと、ホイールは回転せずに滑るため、この動きは無視されます。つまり、プラニメーターは測定ホイールの回転軸に対して垂直に投影された測定ホイールの移動距離を測定します。図形の面積は、測定ホイールの回転数に比例します。

極座標型プラニメータは、設計上、そのサイズと形状によって決まる範囲内の領域しか測定できません。一方、直線型プラニメータは回転するため、一次元方向の制限はありません。また、動きは直線上に制限されるため、車輪は滑ってはなりません。

プラニメーターの開発により、面積の第 1 モーメント(質量中心) の位置、さらには面積の第 2 モーメントの位置を確立できるようになりました。

さまざまな種類のプラニメーター

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  線形プラニメータ
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  極平面計

画像は線形プラニメータと極プラニメータの原理を示しています。プラニメータの一端にある指針Mは、測定対象面Sの輪郭Cに沿って動きます。線形プラニメータの場合、「エルボ」Eの動きはy軸に制限されます。極プラニメータの場合、「エルボ」はアームに接続され、もう一方の端点Oは固定位置にあります。アームMEには、回転軸がMEと平行な測定ホイールが接続されています。アームMEの動きは、ホイールを回転させるMEに垂直な動きと、ホイールを滑らせるMEに平行な動きに分解できますが、ホイールの滑走は読み取りには影響しません

原理

リニアプラニメーターの原理

線形プラニメータの動作は、長方形 ABCD の面積を測定することで説明できます (図を参照)。ポインタを A から B に移動すると、アーム EM が黄色の平行四辺形上を移動し、面積は PQ×EM に等しくなります。この面積は、平行四辺形 A"ABB" の面積にも等しくなります。測定ホイールは距離 PQ (EM に垂直) を測定します。C から D に移動すると、アーム EM が緑の平行四辺形上を移動し、面積は長方形 D"DCC" の面積に等しくなります。測定ホイールは今度は反対方向に移動し、この読み取り値を前の値から差し引きます。BC と DA に沿った動きは同じですが、方向が逆なので、ホイールの読み取り値には影響を及ぼさずに互いに打ち消し合います。最終的な結果は、黄色と緑の面積の差、つまり ABCD の面積の測定です。

数学的導出

線形プラニメータの動作はグリーンの定理を適用することで正当化できますが、主要多様体の設計は定理の証明よりも古いものです。これをベクトル場Nの成分に適用すると、次のように与えられます

${\displaystyle \!\,N(x,y)=(b-y,x),}$

ここで、bはエルボ E の y座標です。

このベクトル場は測定アームEMに対して垂直です。

${\displaystyle {\overrightarrow {EM}}\cdot N=xN_{x}+(y-b)N_{y}=0}$

測定アームの 長さmに等しい一定の大きさを持ちます。

${\displaystyle \!\,\|N\|={\sqrt {(b-y)^{2}+x^{2}}}=m}$

そして：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}(N_{x}\,dx+N_{y}\,dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[8pt]={}&\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (b-y)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{S}\,dx\,dy=A,\end{aligned}}}$

なぜなら：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}(y-b)={\frac {\partial }{\partial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0,}$

上記の式の左辺は、輪郭線で囲まれた面積Aに等しく、測定ホイールによって測定された距離に比例し、比例係数mは測定アームの長さです

上記の導出の正当性は、線形プラニメータが測定アームに垂直な動きのみを記録すること、または

${\displaystyle N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy}$ はゼロではない。この量を閉曲線C上で積分すると、グリーンの定理と面積が成り立つ。

極座標

グリーンの定理との関連は、極座標における積分の観点から理解できます。極座標では、面積は積分によって計算されます。積分される形式はrの2乗であり、角度の変化に対する面積の変化率は半径の2乗で変化することを意味します ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$

極座標における媒介変数方程式では、 rとθは時間の関数として変化するので、これは次のようになる。 $${\displaystyle \int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.}$$

極座標プラニメータの場合、ホイールの全回転は に比例します。回転は移動距離に比例し、移動距離はどの時点でも半径と角度の変化（円周（ ）の場合など）に比例します。 ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ ${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$

この最後の積分関数は、前の積分関数の（ rに関する）導関数として認識することができ、極平面計が導関数に関して面積積分を計算することを示しています。これは、（1 次元）輪郭上の関数の線積分が導関数の（2 次元）積分に等しいとするグリーンの定理に反映されています。 ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$

参照

• 曲率計
• ドットプラニメーター
• 数学機器
• インテググラフ
• 靴ひもの式

参考文献

1. 「プラニメーター」

出典

• ブライアント、ジョン、サンウィン、クリス（2007年）「第8章 コートハンガーの追求」『あなたの円はどれくらい丸いのか？：工学と数学が出会う場所』プリンストン大学出版局、  138～ 171ページ、ISBN 978-0-691-13118-4
• Gatterdam, RW (1981)、「グリーンの定理の例としてのプラニメータ」、アメリカ数学月刊誌、88 (9): 701– 704、doi :10.2307/2320679、JSTOR  2320679
• ホジソン、ジョン・L.（1929年4月1日）、「流量計図の統合」、Journal of Scientific Instruments、6（4）：116– 118、Bibcode：1929JScI....6..116H、doi：10.1088/0950-7671/6/4/302
• ホースバーグ、EM（1914）、ネイピア300周年記念：ネイピア遺物の展示と計算を容易にするための書籍、機器、装置のハンドブック、エディンバラ王立協会
• ジェニングス、G.（1985）、現代幾何学とその応用、シュプリンガー
• ローウェル、LI（1954）、「極平面計に関するコメント」、アメリカ数学月刊誌、61（7）：467-469、doi：10.2307/2308082、JSTOR  2308082
• Wheatley, JY (1908)、The polar planimeter、ニューヨーク：Keuffel & Esser、ISBN 9785878586351

外部リンク

• P. クンケル: ホイッスルラリーサイト、プラニメーター
• ラリーのプラニメータープラッター
• ヴュルツブルクのプラニメーターページ
• ロバート・フットのプラニメーターページ
• プラニメーターのコンピュータモデル
• Tanya Leiseのプラニメーターの説明とプラニメーターのホイールが回転する
• 簡単な平面計を作る
• 写真: プラニメーターを使用する地理学者 (1940～1941年)
• O. ニルと D. ウィンター：グリーンの定理とプラニメーター