Q–Qプロット

統計学において、Q-Qプロット（分位点-分位点プロット）は確率プロットの一種であり、 2つの確率分布の分位点を互いにプロットすることで比較するグラフィカルな手法である。 ^[1]プロット上の点 $($ $x$ $,$ $y$ $)は、2番目の分布の分位点 ($ $y$ 座標)の一つを、1番目の分布の同じ分位点 ( $x$ 座標) に対してプロットしたものに対応する。これは、パラメトリック曲線を定義し、パラメータは分位点間隔のインデックスとなる。

比較対象となる2つの分布が類似している場合、Q–Qプロット上の点は近似的に単位直線 $y = x$ 上に位置する。分布が線形関係にある場合、Q–Qプロット上の点は近似的に直線上に位置するが、必ずしも直線 $y = x$ 上に位置するとは限らない。Q–Qプロットは、位置スケール分布族におけるパラメータを推定するためのグラフィカルな手段としても使用できる。

Q–Q プロットは分布の形状を比較するために使用され、位置、スケール、歪度などの特性が 2 つの分布でどのように類似しているか、または異なっているかをグラフィカルに表示します。Q–Q プロットは、データのコレクションまたは理論的分布を比較するために使用できます。2 つのデータサンプルを比較するために Q–Q プロットを使用することは、それらの基礎となる分布を比較するノンパラメトリックな手法と見なすことができます。Q–Q プロットは一般に、サンプルのヒストグラムを比較するよりも診断的ですが、あまり広くは知られていません。Q–Q プロットは、データセットを理論モデルと比較するためによく使用されます。^[2]^{[3]これにより、数値}要約統計量に還元されるのではなく、グラフィカルな適合度の評価を提供できます。Q–Q プロットは、2 つの理論的分布を相互に比較するためにも使用されます。^{[4] Q-Qプロットは分布を比較するものなので、}散布図のように値をペアで観測する必要はなく、比較する2つのグループ内の値の数が等しくなくてもよい。

「確率プロット」という用語は、Q-Qプロットを指す場合もあれば、より一般的なプロット群を指す場合もあり、またあまり一般的ではないP-Pプロットを指す場合もあります。確率プロット相関係数プロット（PPCCプロット）は、Q-Qプロットの概念から導き出された量であり、近似分布と観測データの一致度を測定するもので、分布をデータに近似させる手段として用いられることもあります。

定義と構築

Q-Qプロットは、2つの分布の分位点を互いに対比させたプロット、または分位点の推定値に基づくプロットです。プロット上の点のパターンは、2つの分布を比較するために使用されます。

Q–Qプロットを作成する主なステップは、プロットする分位点を計算または推定することです。Q–Qプロットの軸の一方または両方が、連続累積分布関数（CDF）を持つ理論分布に基づいている場合、すべての分位点は一意に定義され、CDFを反転することで取得できます。比較する2つの分布のうちの1つが不連続CDFを持つ理論確率分布である場合、一部の分位点が定義されていない可能性があり、その場合は補間された分位点がプロットされることがあります。Q–Qプロットがデータに基づいている場合、複数の分位点推定値が使用されます。分位点を推定または補間する必要がある場合にQ–Qプロットを形成するための規則は、プロット位置と呼ばれます。

単純な例としては、同じサイズのデータセットが2つある場合が挙げられます。この場合、Q-Qプロットを作成するには、各データセットを昇順に並べ、対応する値を対にしてプロットします。より複雑な構成は、サイズの異なる2つのデータセットを比較する場合です。この場合、Q-Qプロットを作成するには、補間された分位点推定値を使用して、同じ基礎確率に対応する分位点を構築する必要があります。

より抽象的に言えば、^[4] 2つの累積確率分布関数 $F$ と $G$ 、および関連する分位関数 $F -1$ と $G -1$ （CDFの逆関数は分位関数である）が与えられた場合、Q–Qプロットは、 $q$ の値の範囲において、 $Fの$ $q番目の$ $分$ 位点と $G$ のq番目の分位点との関係を描く。したがって、Q–Qプロットは、実平面 $R$ $2$ 上の値を持つ[0,1]でインデックス付けされたパラメトリック曲線である。

通常、正規性分析では、垂直軸はCDF $F$ $($ $x$ $)$ を持つ関心変数 $x$ の値を示し、水平軸は $N$ $-1$ $($ $F$ $($ $x$ $))$ を表します。ここで、 $N$ $-1$ $(.)$ は逆累積正規分布関数を表します。

解釈

Q–Q プロットにプロットされた点は、左から右に見たときに常に非減少です。比較されている 2 つの分布が同一の場合、Q–Q プロットは 45° の直線 $y = x$ に従います。 2 つの分布が、いずれかの分布の値を線形変換した後に一致する場合、Q–Q プロットは何らかの直線に従いますが、必ずしも直線 $y = x$ に従うとは限りません。 Q–Q プロットの全体的な傾向が直線 $y = x$ よりも緩やかな場合、横軸にプロットされた分布は、縦軸にプロットされた分布よりも分散しています。逆に、Q–Q プロットの全体的な傾向が直線 $y = x$ よりも急勾配である場合、縦軸にプロットされた分布は、横軸にプロットされた分布よりも分散しています。 Q–Q プロットは多くの場合、円弧状または S 字型であり、分布の 1 つが他よりも歪んでいるか、分布の 1 つが他よりも重い裾を持っていることを示します。

Q-Qプロットは分位点に基づいていますが、標準的なQ-Qプロットでは、Q-Qプロット上のどの点が特定の分位点を決定するのかを判断することはできません。例えば、Q-Qプロットを見ても、比較対象となる2つの分布のどちらかの中央値を判断することはできません。一部のQ-Qプロットでは、このような判断を可能にするために十分位点が示されています。

四分位点間の線形回帰における切片と傾きは、標本の相対的な位置と相対的なスケールの尺度となります。横軸にプロットされた分布の中央値が0の場合、回帰直線の切片は位置の尺度となり、傾きはスケールの尺度となります。中央値間の距離は、Q-Qプロットに反映される相対的な位置の別の尺度です。「確率プロット相関係数」（PPCCプロット）は、対になった標本四分位点間の相関係数です。相関係数が1に近いほど、分布は互いのシフトされたスケール版に近くなります。形状パラメータが1つの分布の場合、確率プロット相関係数プロットは形状パラメータを推定する方法を提供します。異なるタイプの分布を比較するのと同じように、形状パラメータの異なる値に対する相関係数を計算し、最も適合度の高いものを使用します。

Q-Qプロットのもう一つの一般的な用途は、標本の分布を標準正規分布 $N (0,1)などの理論分布と比較することです。これ$ は正規確率プロットでも同様です。2つのデータ標本を比較する場合と同様に、まずデータを順序付け（正式には順序統計量を計算し）、次に理論分布の特定の分位数に対してプロットします。^[3]

位置のプロット

理論分布からどの分位数を選ぶかは、文脈や目的によって異なります。サンプルサイズ $n$ の場合、 $k$ $= 1, \dots,$ $n$ の $k / n$ が選択肢の1つです。これは、標本分布が実現する分位数だからです。これらの最後の $n$ $/$ $n$ は、100パーセンタイル、つまり理論分布の最大値（時には無限大）に対応します。その他の選択肢としては、 $($ $k$ $- 0.5) /$ $n$ を使用するか、代わりに $k$ $/ ($ $n$ $+ 1)$ を使用して、n点間の距離と、最も外側の2点と区間の端の間の距離が等しくなるように $n$ 点を配置する方法があります。^[6] $[0,1]$

他にも、文脈に関連する理論やシミュレーションに基づき、形式的なものから経験的なものまで、多くの選択肢が提案されてきました。以下のサブセクションでは、これらのいくつかについて説明します。より限定的な問題は、最大値の選択（母集団の最大値の推定）です。これはドイツタンク問題として知られており、同様の「標本最大値＋ギャップ」解が存在し、最も単純には $m + m / n - 1$ となります。この間隔の均一化のより正式な応用は、パラメータの最大間隔推定において行われます。

一様分布の順序統計量の期待値

k $/ (n + 1)アプローチは、ランダムに抽出された($ $n + 1$ )個の値の最後の値が、ランダムに抽出された最初の $n個の値のうち$ $k$ 番目に小さい値を超えない確率に従って点をプロットするアプローチに等しい。^[7]^[8]

標準正規分布の順序統計量の期待値

正規確率プロットを使用する場合、使用される分位数は、標準正規分布の順序統計量の期待値の分位数であるランクイットです。

より一般的には、シャピロ・ウィルク検定は、与えられた分布の順序統計量の期待値を用います。結果として得られるプロットと直線は、位置と尺度の一般化最小二乗推定値（近似直線の切片と傾きから）を与えます。 ^[9] これは正規分布ではそれほど重要ではありませんが（位置と尺度はそれぞれ平均と標準偏差によって推定されます）、他の多くの分布では有用です。

ただし、これには順序統計量の期待値を計算する必要があり、分布が正規分布でない場合は困難になる可能性があります。

順序統計量の中央値

あるいは、一様分布の順序統計量の中央値^{の推定値と分布の分位関数に基づいて計算できる順序統計量の中央値の推定値を使用することもできます。これはフィリベン（1975）によって提案されました。 [9]}

これは、分位関数を計算できる任意の分布に対して簡単に生成できますが、逆に、結果として得られる位置とスケールの推定値は、 $n が$ 小さい場合にのみ大幅に異なりますが、もはや正確には最小二乗推定値ではありません。

ヒューリスティック

アフィン対称なプロット位置として $、$ いくつかの異なる公式が使用または提案されている。これらの公式は、0から1の範囲の $a$ の値に対して $(k - a)/(n +1-2a)という形をとり、$ $k$ $/($ $n$ $+1)$ から $($ $k$ $-1)/($ $n$ $-1)$ の範囲を与える。

表現には次のものがあります:

$k / (n + 1)$
$（ k -0.3）/（ n +0.4）$ [ ^10]
$(k - 0.3175) / (n + 0.365)$ . ^[11]^{[注 1]}
$（ k -0.326）/（ n +0.348）$ [ ^12]
$(k - ⅓) / (n + ⅓)$ . ^{[注 2]}
$(k - 0.375) / (n + 0.25)$ . ^{[注 3]}
$(k - 0.4) / (n + 0.2)$ . ^{[引用が必要]}
$(k - 0.44) / (n + 0.12)$ . ^{[注 4]}
$（ k - 0.5）/ n$ . ^[14]
$(k - 0.567) / (n - 0.134)$ . ^[要出典]
$(k - 1) / (n - 1)$ . ^{[注 5]}

サンプルサイズ $n$ が大きい場合、これらのさまざまな表現の間にはほとんど違いはありません。

フィリベンの推定

順序統計量の中央値は、分布の順序統計量の中央値です。これらは、連続一様分布の分位関数と順序統計量の中央値を用いて、次のように表すことができます。ここで、 $U$ $($ $i$ $)$ は一様順序統計量の中央値、 $G$ は目的の分布の分位関数です。分位関数は累積分布関数（ $X$ がある値以下となる確率）の逆関数です。つまり、確率が与えられた場合、それに対応する累積分布関数の分位点を求めることになります。 $N(i)=G(U(i))$

ジェームズ・J・フィリベンは、均一な順序統計量の中央値について次のような推定値を使用している。^[15] このように推定する理由は、順序統計量の中央値が単純な形ではないためである。 $m(i)={\begin{cases}1-0.5^{1/n}&i=1\\[2ex]{\dfrac {i-0.3175}{n+0.365}}&i=2,3,\ldots ,n-1\\[2ex]0.5^{1/n}&i=n.\end{cases}}$

ソフトウェア

Rプログラミング言語には、Q-Qプロットを作成するための関数、つまりstatsパッケージに含まれるqqnormとqqplotが付属しています。このfastqqパッケージは、多数のデータポイントのプロットを高速化します。

参照

経験分布関数
プロビット分析は、1934 年にチェスター・イトナー・ブリスによって開発されました。

注記

^ ここでも、最初と最後の点については異なる表現が用いられていることに注意してください。[1]はFilliben (1975)による原著を引用しています。この表現は $U$ $($ $k$ $)$ の中央値の推定値です。
^ 位置をプロットするためのシンプルな（そして覚えやすい）式。BMDP 統計パッケージで使用されます。
^ これはBlom（1958）による初期の近似値であり、MINITABで使用される式です。
^ このプロット位置は、アーヴィング・I・グリンゴーテン^[13]がガンベル分布の検定で点をプロットするために使用したものです。
^ Filliben(1975)が使用したこれらのプロット点は $U$ $($ $k$ $)$ のモードに等しい。

参考文献

引用

^ Wilk, MB; Gnanadesikan, R. (1968)、「データ分析のための確率プロット法」、Biometrika、55 (1)、Biometrika Trust: 1– 17、doi :10.1093/biomet/55.1.1、JSTOR 2334448、PMID 5661047。
^ グナナデシカン（1977年）、199ページ。
^ ab Thode (2002)、セクション2.2.2、Quantile-Quantileプロット、p. 21
^ ab ギボンズとチャクラボルティ (2003)、p. 144
^ 「SR 20 – ノース・カスケーズ・ハイウェイ – 開通・閉幕の歴史」ノース・カスケーズ峠。ワシントン州運輸局。2009年10月。 2009年2月8日閲覧。
^ ワイブル、ワロッディ（1939）「材料強度の統計理論」、IVAハンダリンガー、スウェーデン王立工学アカデミー（151）
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^ ab 正規性のテスト、ヘンリー・C・ソード著、CRCプレス、2002年、ISBN 978-0-8247-9613-6、31ページ
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^ヘイゼン、アレン（1914）、「都市給水 のための貯水池に設けられる貯水量」、アメリカ土木学会誌（77）：1547-1550
^ フィリベン（1975年）。

出典

この記事には、米国国立標準技術研究所のパブリックドメイン資料が組み込まれています。
Blom, G. (1958)、「統計的推定値と変換されたベータ変数」、ニューヨーク：John Wiley and Sons
チェンバース、ジョン、クリーブランド、ウィリアム、クライナー、ビート、テューキー、ポール（1983）、データ解析のためのグラフィカル手法、ワズワース
クリーブランド、WS（1994）『グラフ化データの要素』ホバート・プレスISBN 0-9634884-1-4
Filliben, JJ (1975年2月)、「正規性の確率プロット相関係数検定」、Technometrics、17 (1)、American Society for Quality: 111– 117、doi :10.2307/1268008、JSTOR 1268008。
ギボンズ、ジーン・ディキンソン；チャクラボルティ、スブハブラタ（2003年）、ノンパラメトリック統計的推論（第4版）、CRCプレス、ISBN 978-0-8247-4052-8
Gnanadesikan, R. (1977).多変量観測の統計解析法. Wiley. ISBN 0-471-30845-5。
ヘンリー C. ソード (2002)、正常性のテスト、ニューヨーク: マーセル・デッカー、ISBN 0-8247-9613-6

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、 QQプロットに関連するメディアがあります。

確率プロット
マヌエル・ギモンド、経験的QQプロット（および導出されたTukey平均差プロット）