ポストニコフシステム

代数位相幾何学の一分野であるホモトピー理論 において、ポストニコフ系（またはポストニコフタワー）は、位相空間をホモトピー型をフィルタリングすることで分解する方法である。これは、ある空間に対し、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ for }}k\leq n\\0&{\text{ for }}k>n\end{cases}}}$

そして、ファイバーを持つファイバー写像の系列がアイレンバーグ・マクレーン空間 に存在する。つまり、 のホモトピー型を、次数におけるホモトピー型が元の空間の切断ホモトピー型と一致する位相空間の逆システムを用いて分解しているのだ。ポストニコフ系はミハイル・ポストニコフによって導入され、彼にちなんで名付けられている。 ${\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

ホワイトヘッド タワー(以下に定義)と呼ばれる同様の構成があり、この構成では、次に対してのホモトピー型を持つ空間を持つ代わりに、 に対してヌル ホモトピー グループを持つ空間になります。 ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}$ ${\displaystyle 1<k<n}$

意味

パス連結空間のポストニコフ系は空間の逆系である。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}$

逆システムと互換性のある 写像の列で、${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$

1. この写像はあらゆる に対して同型性を誘導します。${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ のために。^{[1] ：410}${\displaystyle i>n}$
3. 各写像はファイバー化であり、したがってファイバーはアイレンバーグ・マクレーン空間である。${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

最初の2つの条件は、も-空間であることを意味します。より一般的には、が-連結である場合、 は -空間であり、のすべてのは縮約可能です。3番目の条件は、一部の著者によってオプションとしてのみ含められていることに注意してください。 ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i<n}$

存在

ポストニコフ系は連結CW複体上に存在し、^{[1] : 354}とその逆極限の間には弱いホモトピー同値性があるので、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$ 、

は、その逆極限のCW近似であることを示しています。これらは、CW複体上でホモトピー群を反復的に消去することで構築できます。ホモトピー類を表す写像 がある場合、境界写像 に沿って押し出しを行い、ホモトピー類を消去することができます。この処理はすべての に対して繰り返すことができ、ホモトピー群が消滅する空間が得られます。すべてのホモトピー写像 を消去することでから を構築できることを利用して、写像 を得ます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$ ${\displaystyle X_{m}}$ ${\displaystyle n>m}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$ ${\displaystyle X_{n-1}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$

メインプロパティ

ポストニコフ タワーの主な特性の 1 つは、コホモロジー計算中に研究するのに非常に強力なものであり、空間が CW 複合体とホモトピックであり、CW 複合体は次元のセルだけ異なるという事実です。 ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \geq n+2}$

ファイバのホモトピー分類

ファイバ列^[2]はホモトピー的に定義された不変量を持ち、つまり写像のホモトピー類は明確に定義されたホモトピー型を与える。のホモトピー類は、ファイバの分類写像のホモトピー類を見ることによって得られる。関連する分類写像は ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$ 、

したがってホモトピー類はホモトピー類によって分類される ${\displaystyle [p_{n}]}$

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

は のn番目のポストニコフ不変量と呼ばれます。これは、アイレンバーグ-マクレーン空間への写像のホモトピー類が、関連するアーベル群の係数を持つコホモロジーを与えるためです。 ${\displaystyle X}$

2つの非自明なホモトピー群を持つ空間のファイバー列

ホモトピー分類の特別な場合の一つは、ファイバが存在する 空間のホモトピー類である。${\displaystyle X}$

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

は、 2つの非自明なホモトピー群、、およびを持つホモトピー型を与える。そして、前述の議論から、ファイブレーション写像は、 ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$ ${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$ 、

これは群コホモロジー類としても解釈できる。この空間は高次局所系と考えることができる。 ${\displaystyle X}$

ポストニコフ塔の例

ポストニコフタワーのK（G、n）

ポストニコフ塔の概念的に最も単純な例の一つは、アイレンバーグ・マクレーン空間の場合である。これは、 ${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

ポストニコフタワーのS²

球面上のポストニコフ塔は、最初の数項が明示的に理解できる特別な場合である。の単連結性、球面の次数論、ホップファイバ化から最初の数個のホモトピー群が得られるので、に対してとなる。したがって、 ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$ ${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

そして、プルバックシーケンスから 、${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

これは、

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$ 。

もしこれが自明であれば、 が成り立つはずです。しかし、そうではありません！実際、これが厳密な無限群がホモトピー型をモデル化しない理由です。^[3]この不変量の計算にはより多くの作業が必要ですが、明示的に求めることができます。^[4]これはホップファイブレーション から得られるの二次形式です。 の各要素が異なるホモトピー3型を与える ことに注意してください。${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$

球面のホモトピー群

ポストニコフ塔の応用の一つは、球面のホモトピー群の計算である。^[5]次元球面に対して、ヒューレヴィッツの定理を用いて、各 がに対して縮約可能であることを示すことができる。なぜなら、定理は下側のホモトピー群が自明であることを意味するからである。任意のセールファイバに対して、ファイバ化のような スペクトル列が存在することを思い出してほしい。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S_{i}^{n}}$ ${\displaystyle i<n}$

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$ 。

そして、 -項 を持つホモロジースペクトル列を形成することができる。${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$ 。

そして、 への最初の非自明な写像は、 ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$ 、

同じように書くと

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$ 。

とを簡単に計算できれば、この写像がどのように見えるかに関する情報を得ることができます。特に、 が同型であれば、 の計算が得られます。 の場合、 のパスファイブレーション、 のポストニコフタワーの主な性質（ を与える）、および を与える普遍係数定理を用いて、これを明示的に計算できます。さらに、フロイデンタールの懸架定理により、 はに対して安定であるため、これは実際に安定ホモトピー群を与えます。 ${\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}$ ${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$ ${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle n\geq k+2}$

同様の手法をホワイトヘッド タワー (下記) に適用して、およびを計算し、球面の最初の 2 つの非自明な安定ホモトピー群を得ることができることに注意してください。 ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}$

ポストニコフのスペクトルタワー

古典的なポストニコフ塔に加えて、スペクトル上に構築された安定ホモトピー理論にもポストニコフ塔の概念がある^{[6] 85-86ページ}。

意味

スペクトルに対して、のポストニコフタワーはスペクトルのホモトピー圏における図式であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$ 、

地図付き

${\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}$

マップと可換である。したがって、以下の2つの条件を満たす場合、このタワーはポストニコフタワーである。 ${\displaystyle p_{n}}$

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}$ のために、${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$ は の同型であり、${\displaystyle i\leq n}$

スペクトルの安定ホモトピー群はどこにあるか。すべてのスペクトルにはポストニコフ塔があり、この塔は上記と同様の帰納的手順を用いて構築できることがわかる。 ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$

ホワイトヘッドタワー

CW複体 が与えられた場合、ポストニコフ塔の双対構成としてホワイトヘッド塔が存在する。ホワイトヘッド塔は、高次のホモトピー群をすべて消去するのではなく、低次のホモトピー群を反復的に消去する。これはCW複体の塔によって与えられる。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$ 、

どこ

1. 下側のホモトピー群はゼロなので、の場合、 となります。${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. 誘導写像はの同型写像である。${\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle i>n}$
3. マップはファイバーを含むファイバー化です。${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

意味合い

は単連結被覆を持つ被覆空間であるため、の普遍被覆であることに注目してください。さらに、それぞれは の普遍-連結被覆です。 ${\displaystyle X_{1}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

工事

ホワイトヘッドタワー内の空間は帰納的に構成される。の高次ホモトピー群を消去してを構成すると、^[7]埋め込み が得られる。 ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}$

ある固定された基点に対して、 誘導 写像は、${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$

${\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}$ 、

そしてセール線維が存在する。

${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}$ 。

ホモトピー理論の長完全列を用いると、に対して、に対して となり、最終的に完全列が存在する。 ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}$ ${\displaystyle i\geq n+1}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$ ${\displaystyle i<n-1}$

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$ 、

ここで、中央の射が同型であれば、他の2つの群は零となる。これは包含関係を見て、アイレンベルク・マクレーン空間が細胞分解を持つことに着目すること で確認できる。${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$ ; したがって、

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$ 、

望ましい結果が得られます。

ホモトピーファイバーとして

ホワイトヘッドタワーの構成要素をホモトピーファイバーとして見る別の方法があります。

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

ポストニコフタワーからは、 ${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}$

ホワイトヘッドのスペクトルタワー

ホワイトヘッドタワーの双対概念は、スペクトルの圏におけるホモトピーファイバーを用いて同様に定義できる。

${\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}$

これをタワー状に構成すると、スペクトルの連結被覆が得られる。これはボルディズム理論において広く用いられている構成である^{[8] [9] [10]。}なぜなら、無向コボルディズムスペクトルの被覆は、他のボルディズム理論にも適用できるからである^[10]。${\displaystyle M{\text{O}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}$

ストリング・ボルディズムなど。

ホワイトヘッドタワーと弦理論

スピン幾何学 では、群は特殊直交群の普遍被覆として構成され、ファイブレーションも同様に構成され、ホワイトヘッドタワーの第一項を与える。このタワーの高次の部分には物理的に意味のある解釈があり、以下のように解釈できる。${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

ここでは弦群と呼ばれるの連結被覆であり、 はファイブブレーン群と呼ばれる の連結被覆である。^{[11] [12]}${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ ${\displaystyle 7}$

参照

• アダムススペクトル列
• アイレンバーグ・マクレーン空間
• CW複合体
• 妨害理論
• 安定ホモトピー理論
• 球面のホモトピー群
• 上位グループ
• ホップ・ホイットニーの定理、ホモトピー類の計算への応用

参考文献

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