素数要素

数学、特に抽象代数学において、可換環の素元とは、整数における素数や既約多項式に類似した特定の性質を満たす対象である。素元と既約元は UFDでは同じ概念であるが、一般的には異なるため、区別に注意する必要がある。

意味

可換環 $R$ の元 $p$ は、零元でも単位元でもなく、 $R$ の任意の $a$ と $b$ に対して $p が$ $ab を$ 割り切るときはいつでも、 $p が$ $a を$ 割り切るか、または $p が$ $b$ を割り切るとき、素数であるという。この定義では、ユークリッドの補題は、素数が整数環の素元であるという主張である。同様に、元 $p$ が素元である場合、かつその場合に限り、 $p$ によって生成される主イデアル $($ $p$ $)$ は非零の素イデアルである。^{[1] (}整数領域では、イデアル $(0)は$ 素イデアルであるが、 $0$ は「素元」の定義では例外である点に注意。)

素元への関心は、算術の基本定理に由来します。この定理は、すべての非零整数は、1 または -1 に正の素数の積を乗じた形でしか本質的に表すことができないと主張しています。この定理は、整数で示したことを一般化する、一意因数分解域の研究につながりました。

素数であるかどうかは、どの環に元が含まれるかによって決まります。たとえば、 2 は $Z$ の素数元ですが、ガウス整数環である $Z [i]$ の素数元ではありません。これは、 $2 = (1 +$ $i$ $)(1 -$ $i$ $)$ であり、 2 は右側のどの因数も割り切れないためです。

主要な理想とのつながり

環 $R$ （単位元）のイデアル $I$ が素因数環 $R$ $/$ $I$ が整域であるとき、そのイデアル I は素因数である。同様に、であるときはいつでも、またはであるとき、 $I$ は素因数である。 $ab\in I$ $a\in I$ $b\in I$

整域では、非ゼロの主イデアルは、素元によって生成される場合のみ素イデアルとなります。

既約要素

素元と既約元を混同してはならない。整域においては、すべての素元は既約元である^[2]が、その逆は一般には成り立たない。しかし、一意因数分解域^[3] 、あるいはより一般的にはGCD域においては、素元と既約元は同一である。

例

以下はリング内の素元の例です。

整数環 $Z$ の整数 $\pm2$ 、 $\pm3$ 、 $\pm5$ 、 $\pm7$ 、 $\pm11$ 、…
ガウス整数環 $Z$ $[$ $i$ $]$ の複素数 $(1 + i)$ 、 $19$ 、 $(2 + 3 i)$
$Z$ $[$ $x$ $]$ （ $Z$ 上の多項式環）の多項式x $2 - 2$ と $x 2 + 1$ 。
商環 $Z$ $/6$ $Z$ の2
$x 2 + (x 2 + x)$ は素数であるが、環 $Q [x]/(x 2 + x)において既約ではない。$
整数のペアの環 $Z 2$ $において、 (1, 0)$ は素数だが既約ではない（ $(1, 0) 2 = (1, 0)$ である）。
代数的整数の環において、要素 $3$ は既約ですが素数ではありません (3 は右側のどの因数も割り切れますが、3 は右側のどの因数も割り切れないため)。 $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ $9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$

参考文献

注記

^ Hungerford 1980、定理 III.3.4(i)、定理と証明の下の注釈に示されているように、結果は完全に一般性を保ちます。
^ ハンガーフォード 1980、定理 III.3.4(iii)
^ ハンガーフォード 1980、定義III.3.5の後の注釈

出典

ハンガーフォード、トーマス・W.（1980）『代数学』第73巻（1974年版の再版）第3章第3節、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90518-1、MR 0600654
ジェイコブソン、ネイサン（1989年）『Basic algebra. II（第2版）』ニューヨーク：WHフリーマン・アンド・カンパニー、pp. xviii+686、ISBN 0-7167-1933-9、MR 1009787
カプランスキー、アーヴィング（1970）、可換環、ボストン、マサチューセッツ州：アリン＆ベーコン社、pp. x+180、MR 0254021