プライムギャップ

素数ギャップとは、連続する2つの素数間の差のことである。n番目の素数ギャップはg _nまたはg ( p _n )と表記され、( n  + 1)番目とn番目の素数間の差である。

g _n = p _{n +1} − p _n。

g ₁ = 1、g ₂ = g ₃ = 2、g ₄ = 4です。素数ギャップの列( g _n ) は広く研究されてきましたが、多くの疑問や推測が未だに解明されていません。

最初の 60 個の素数ギャップは次のとおりです。

1、2、2、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、6、6、2、6、4、2、6、4、6、8、4、2、4、2、4、14、4、6、2、10、2、6、6、4、6、6、2、10、2、4、2、12、12、4、2、4、6、2、10、6、6、6、2、6、4、2、... (OEIS のシーケンスA001223 )。

g _nの定義により、すべての素数は次のように表される。

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

単純な観察

最初で最小かつ唯一の奇数素数ギャップは、唯一の偶数素数である2と最初の奇数素数である3との間のギャップであり、長さは1です。その他の素数ギャップはすべて偶数です。長さが2の連続するギャップは1組のみ存在します。それは、素数3、5、7の間の ギャップg ₂とg _3です。

任意の整数 nに対して、階乗 n !はn以下のすべての正の整数の積である。そして、数列

${\displaystyle n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n,}$

最初の項は2で割り切れ、2番目の項は3で割り切れ、などとなる。したがって、これはn − 1個の連続する合成整数の列であり、長さが少なくともnである素数間のギャップに属していなければならない。したがって、素数間のギャップは任意の大きさである。つまり、任意の整数Nに対して、 g _m ≥ Nとなる整数mが存在する。

しかし、 n個の数の素数ギャップは、n !よりもはるかに小さい数にも発生することがあります。例えば、14より大きい数の最初の素数ギャップは、素数523と541の間に発生しますが、15!はそれよりもはるかに大きい数1307674368000です。

素数間の平均ギャップは、これらの素数の自然対数とともに増加するため、素数ギャップと含まれる素数の比は減少し（漸近的にゼロになる）、これは素数定理の結果である。経験的な観点から、ギャップの長さと自然対数の比が一定の正の数k以上である確率はe ^{− k}であると予想される。したがって、この比は任意の大きさになり得る。実際、ギャップと含まれる整数の桁数の比は無限に増加する。これは、Westzynthiusによる結果である。^[1]

逆に、双子素数予想では、無限個の整数nに対してg _n = 2が成り立つと仮定します。

数値結果

通常、比g _n / ln( p _n )はギャップg _nのメリットと呼ばれます。非公式には、ギャップg _nのメリットは、ギャップの大きさをp _n近傍の素数ギャップの平均サイズと比較した比率と考えることができます。

プライムギャップの終端が特定されている最大の既知のプライムギャップの長さは16 045 848、385 713桁の素数があり、メリットM = 18.067は、2024年3月にアンドレアス・ホグルンドによって発見されました。^[2]ギャップの端に素数が特定されている最大の素数ギャップの長さは1 113 106と功績25.90、P. Cami、M. Jansen、JK Andersenによって発見された18662桁の素数。[ 3 ^{] [4]}

2022 年 9 月現在^[update]、Gapcoin ネットワークによって発見された、既知の最大のメリット値であり、メリットが 40 を超える最初の値は 41.93878373 で、87 桁の素数 2​9​3​7​0​3​2​3​4​0​6​8​0​2​2​5​9​0​1​5​8​7​2​3​7​6​6​1​0​4​4​1​9​4​6​3​4​2​5​7​0​9​0​7​5​5​7​4​8​1​1​7​6​2​0​9​8​5​8​8​7​9​8​2​1​7​8​9​5​7​2​8​8​5​8​6​7​6​7​2​8​1​4​3​2​2​7 となります。この素数と次の素数との差は8350である。^{[5] [6]}

クラメール・シャンクス・グランヴィル比は、 g _n / (ln p _n ) ^{2 の}比である。^{[5]素数2、3、7におけるこの比の異常に高い値を除外すると、この比の最大値は素数1693182318746371における0.9206386となる。比較のために、Gapcoinネットワークによって発見されたギャップ（メリット41.938784）は、このインデックスでは0.205879136という値しか得られない。その他のレコード用語は、} OEIS : A111943で確認できる。

g _{n が}最大ギャップであるとは、すべてのm < nに対してg _m < g _nとなる場合を言う。2025年11月現在、最大最大素数ギャップは長さ1676で、ブライアン・ケーリッグによって発見された。これは83番目の最大素数ギャップであり、素数20733746510561442863の後に発生する。^{[10]その他の（最大）ギャップサイズの記録は}OEIS : A005250に掲載されており、対応する素数p _nはOEIS : A002386に、nの値はOEIS : A005669に掲載されている。n番目の素数までの最大ギャップの列は、約2 ln n項を持つと推測される。^[11][update]

さらなる結果

上限

1852 年に証明されたベルトランの公理によれば、kと 2 kの間には常に素数が存在し、特にp _{n +1} < 2 p _n、つまりg _n < p _nとなります。

1896年に証明された素数定理によれば、素数pと次の素数の間の平均距離は、十分に大きな素数に対して、 pの自然対数ln( p )に漸近する。実際の距離はこれよりはるかに長かったり短かったりする可能性がある。しかし、素数定理から、距離は素数の数に比例して任意に小さくなることが分かる。つまり、商は

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

言い換えれば（極限の定義により）、すべてのϵ > 0に対して、すべてのn > Nに対して、

${\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }$ 。

ホーハイゼル（1930）は^、定数θ < 1 が存在し、

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log x}}{\text{ as }}x\to \infty ,}$

したがって、

${\displaystyle g_{n}\leqslant {p_{n}}^{\theta }}$

十分に大きい nの場合。

ホーハイゼルはθの可能な値として32999/33000を得た。これはハイルブロン[ ^13]によって249/250に改良され、チュダコフ[ ^14]によって任意のε >0に対してθ = 3/4 + εに改良された。

大きな改善はインガム[ ^15]によるもので、彼はある正の定数cに対して、

もし、その後、任意の${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$ ${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log x}}}$ ${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}$

ここで、Oは大文字の O 記法、ζ はリーマンゼータ関数、π は素数関数を表します。c > 1/6が許容されることから、θ は5/8 より大きい任意の数になり得ることがわかります。

5/8+ ε < 2/3であり、連続する立方体間の隙間が のオーダーであることから、 nが十分に大きい場合、n ³と( n + 1) ³の間には常に素数が存在することになります。^[16] 2016年に、DudekはInghamの結果の明示的なバージョンを示しました。つまり、すべての に対して、連続する立方体の間には素数が存在するということです。^[17]${\displaystyle n^{2/3}}$ ${\displaystyle n>e^{e^{33.217}}}$

リンデレフ予想は、インガムの公式が任意の正数cに対して成立することを意味する。しかし、これだけでは、 nが十分に大きい場合、 n ²と( n + 1) ²の間に素数が存在することを示唆するには不十分である（ルジャンドル予想を参照）。これを検証するには、クラメール予想のようなより強力な結果が必要となる。

1972年にハクスリーはθ = 7/12 = 0.58 3を選択できることを示した。^[18]

2001年にベイカー、ハーマン、ピンツが行った結果によると、 θは0.525とすることができることが示されています。^[19]

上記はすべてのギャップの極限を述べたものですが、もう一つ興味深いのはギャップの最小サイズです。双子素数予想は、サイズ2のギャップが常に複数存在することを主張していますが、未だ証明されていません。2005年、ダニエル・ゴールドストン、ヤノシュ・ピンツ、ジェム・ユルドゥルムは、

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

そして2年後にこれを改良した[ ^20]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

2013年にYitang Zhangは

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}$

は、7000万を超えないギャップが無限に存在することを意味する。^[21]ポリマスプロジェクトの共同作業により、張の境界を最適化することで、2013年7月20日に境界を4680まで下げることができた。^[22] 2013年11月、ジェームズ メイナードは、 GPYふるいの新しい改良を導入し、境界を600まで下げ、また、m離れた素数間のギャップがすべてのmについて有界であることを示した。つまり、任意のmについて、無限個のnに対してpn + m − pn ≤ Δmとなるよう_な境界Δmが_存在する。[ 23 _{]メイナード}のアイデアを_使用し^て、ポリマス プロジェクトは境界を246まで改善した。^{[22] [24]}エリオット–ハルバースタム予想とその一般化形を仮定すると、境界はそれぞれ12と6に削減された。^[22]

下限

1931年、エリック・ヴェスティンティウスは、最大素数間隔は対数的ではなくそれ以上に大きくなることを証明した。つまり、^[1]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

1938年、ロバート・ランキンは定数c > 0の存在を証明し、その不等式は

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

はnの無限の値に対して成り立ち、ヴェストジンティウスとポール・エルデシュの結果を改善した。彼は後に、γをオイラー・マスケローニ定数とすると、定数c < e ^γの任意の値をとることができることを示した。定数cの値は1997年に2 e ^γ未満の任意の値に改良された。^[25]

ポール・エルデシュは、上記の不等式における定数cが任意の大きさに取れることを証明または反証した者に1万ドルの賞金を提供すると発表しました。 ^[26]これは2014年にフォード・グリーン・コニャギン・タオと、独立にジェームズ・メイナードによって正しいことが証明されました。^{[27] [28]}

結果はさらに改善され、

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

フォード・グリーン・コニャギン・メイナード・タオによる無限個のnの値に対する等式^[29]

エルデシュの当初の賞の精神に倣い、テレンス・タオは、この不等式においてcを任意に大きくとることができることを証明した人に1万ドルの賞金を提示した。 ^[30]

素数連鎖の下限値も決定されている。^[31]

素数間のギャップに関する予想

上で説明したように、ギャップのサイズに関する最も証明された境界はg _n ≤ p _n ^0.525です（n が十分に大きい場合。5 − 3 > 3 ^0.525または29 − 23 > 23 ^0.525については心配する必要はありません）。しかし、最大ギャップでもそれよりも大幅に小さいことが観察されており、証明されていない推測が大量に生じています。

最初のグループは指数をθ = 0.5まで減らすことができると仮定します。

連続する完全平方数の間には常に素数が存在するというルジャンドルの予想と、連続する素数の平方根の差は1で制限されるというアンドリカの予想^[32]は、次のことを意味している。

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}.}$

オッパーマンの予想は、十分に大きなn（おそらくn ≥ 31）に対して、

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

これらはすべて未証明のままである。 ハラルド・クラマーはリーマン^予想がg n_のギャップ が

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}$

ビッグオー記法を使用する。（実際、この結果を得るには、無限に大きい指数を許容できるのであれば、より弱いリンデレフ仮説のみが必要である。 ^[34]）

デュデックはまた、リーマン予想を仮定した上で、クラマーの結果の明示的なバージョンをすべてのn ≥ 2に対して証明した。

${\displaystyle g_{n}<{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}}$

プライムギャップ関数

同じ論文で、クラメールは、そのギャップははるかに小さいと推測しました。大まかに言えば、クラメールの推測は、

${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!,}$

任意の指数θ > 0よりも遅い多重対数成長率。

クラメールのモデルは、彼が推測したように、過度に単純化されており（一部のイベントは統計的に独立しているが、それらは従属しているものと仮定している）、したがってあまり正確ではなかった（クラメールの推測を参照）が、さらに調査を進めた結果、新しいヒューリスティックが見つかり、推測が正しいという強力な証拠となった。

これは素数ギャップの観測された成長率と一致するため、同様の予想がいくつか存在する。フィルーズバクトの予想はやや強く、p _n ^{1/ n}はnの厳密に減少する関数である、すなわち、

${\displaystyle (p_{n+1})^{1/(n+1)}<(p_{n})^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.}$

この予想が正しいとすると、すべてのn ≥ 10に対してg _n < (log p _n ) ² − log p _n − 1 が成り立ちます。^{[35] [36]}これは Cramér の予想の強い形を意味しますが、GranvilleとPintzのヒューリスティックとは矛盾しています。^{[37] [38] [39] は、任意の}ϵ > 0に対してg _n > (2 − ϵ ) e ^{− γ} (log p _n ) ² > (1.1229 − ϵ )(log p _n ) ^{2 が}無限に頻繁に成り立つことを示唆しています。ここでγ はオイラー・マスケローニ定数を表します。

ポリニャックの予想は、すべての正の偶数k が素数ギャップとして無限回出現するというものである。k  = 2 の場合を双子素数予想という。この予想はkの特定の値に対してはまだ証明も反証もされていない が、上述の張の結果の改良により、少なくとも 1 つの（現時点では未知である） k  ≤ 246 の値に対しては正しいことが証明されている。

算術関数として

n番目と( n  +1)番目の素数の間の差gnは_算術関数の一例である。この文脈では、通常dn_と表記され、素差関数と呼ばれる。^{[32]この関数は}乗法関数でも加法関数でもない。

参照

• 数学ポータル

• ボンゼの不等式
• ガウス堀
• 双子素数

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

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