無次元量

無次元量、または次元1の量[ ^{1 ]は、}測定単位に集約できないように暗黙的に定義された量です。^{[ 2 ] [ 3 ]}通常、他のシステムと一致する比率として表現されるこれらの量は、明示的に定義された単位を必要としません。たとえば、アルコール度数（ABV）は体積比を表します。その値は、ミリリットル/ミリリットル（mL/mL）などの使用される特定の体積単位とは無関係です。特性数は、単なる除算ではなく、乗算や累乗を含む可能性のある量の組み合わせによって定義される次元1の量です。^{[ 4 ]}

数字の1は無次元の基本量として認識されています。^{[ 5 ]}ラジアンは角度の測定における無次元単位として使われ、円の半径の2π倍がその円周に等しいという普遍比から導き出されています。 ^{[ 6 ]}

無次元量は、様々な技術分野における微分方程式のパラメータとして重要な役割を果たします。微積分学では、極限や導関数における単位のない比などの概念に、しばしば無次元量が用いられます。微分幾何学では、幾何学的な関係や変換において無次元パラメータの使用が顕著です。物理学では、流体力学におけるレイノルズ数^{[ 7 ]}、量子力学における微細構造定数^{[ 8 ]}、相対性理論におけるローレンツ因子^{[ 9 ]}などの無次元数が用いられます。化学では、モル分率や濃度比などの状態特性や比は無次元です。^{[ 10 ]}

歴史

次元を持つ量、すなわち無次元量は科学において頻繁に現れ、次元解析の分野で正式に扱われる。19世紀には、フランスの数学者ジョセフ・フーリエとスコットランドの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、次元と単位の現代的な概念に大きな発展をもたらした。その後、イギリスの物理学者オズボーン・レイノルズとレイリー卿による研究が、物理学における無次元数の理解に貢献した。レイリーの次元解析法を基に、エドガー・バッキンガムは（フランスの数学者ジョセフ・ベルトランの以前の研究とは独立して） π定理を証明し、これらの量の性質を形式化した。^{[ 11 ]}

1900年代初頭、特に流体力学や熱伝達の分野で、数多くの無次元数（主に比）が造語されました。比の対数を（導出）単位デシベル（dB）のレベルとして測定することは、今日では広く用いられています。

物理的な次元に関する混乱を減らすため、SI単位系に「パッチを当てる」提案が定期的に行われてきました。例えば、2017年のネイチャー誌の論説記事^{[ 12 ]}では、ラジアンを物理単位として公式化すべきだと主張されました。この考えは反駁されました^{[ 13 ]。}その理由は、そのような変更は、ストローハル数のような既存の無次元群と、トルク（ベクトル積）とエネルギー（スカラー積）のように、たまたま同じ単位を持つ数学的に異なる実体の両方に矛盾を生じさせるからです。2000年代初頭の別の例では、国際度量衡委員会（ICM）が単位1を「uno」と命名することを議論しましたが、単に1に新しいSI単位名を導入するという案は却下されました^{[ 14 ] 。 [ 15 ] 。 [ 16 ]}

バッキンガムのπ定理

バッキンガムのπ定理^{[ 17 ]}は、物理法則の妥当性は特定の単位系に依存しないことを示しています。この定理は、あらゆる物理法則は、その法則によって結び付けられた変数の無次元の組み合わせ（比または積）のみを含む恒等式として表現できるというものです（例えば、圧力と体積はボイルの法則によって結び付けられており、それらは反比例します）。無次元の組み合わせの値が単位系によって変化すると、方程式は恒等式ではなくなり、バッキンガムの定理は成立しなくなります。

この定理のもう一つの帰結は、ある数（例えばn）の変数間の関数従属性は、それらの変数に生じる独立次元の数（例えばk）によって縮減され、 p = n − k個の独立な無次元量の集合が得られるという点である。実験者にとって、無次元量による同一の記述を共有する異なるシステムは同等である。

整数

整数は無次元量を表すことができます。また、離散量を表すこともでき、離散量も無次元になることがあります。より具体的には、数え数は可算量を表すために使用できます。^{[ 18 ] [ 19 ]} この概念は、ISO 80000-1で数量実体数(記号N ) として形式化されています。^{[ 20 ]} 例として、粒子の数や個体群のサイズなどがあります。数学では、集合内の「要素の数」は基数と呼ばれます。可算名詞は関連する言語学の概念です。ビット数などの数え数は、周波数の単位 (逆秒)と組み合わせることで、ビット/秒などのカウントレートの単位を導き出すことができます。 カウントデータは統計学の関連概念です。この概念は、整数以外の数で完全な項目の小数 (例:回転数が半分に等しい) を説明できるようにすることで一般化できます。

比率、比例、角度

無次元量は、無次元ではないが数学的演算で次元が打ち消される量の比として得ることができる。 ^{[ 20 ] [ 21 ]}次元 1 の商の例には、傾きやいくつかの単位変換係数の計算が含まれる。別の一連の例としては、質量分率またはモル分率があり、多くの場合、 ppm (= 10 ⁻⁶ )、 ppb (= 10 ⁻⁹ )、 ppt (= 10 ^{−12 ) などの部分}表記法を使用して記述されるか、またはおそらく紛らわしいが、 2 つの同一単位の比 ( kg /kg またはmol /mol ) として記述される。たとえば、アルコール飲料中のエタノールの濃度を特徴付けるアルコール容積は、 mL / 100 mLと記述される。

その他の一般的な比率には、パーセンテージ%  (= 0.01)、   ‰ (= 0.001) などがあります。回転、ラジアン、ステラジアン などの角度単位は、同種の量の比率として定義されています。統計学では、変動係数は標準偏差と平均値の比であり、データのばらつきを測定するために使用されます。

分子と分母の次元が等しい比Q = A / Bとして定義される量は、実際には単位のない量であり、依然としてdim Q = dim A × dim B ⁻¹として定義される物理的次元を持つと主張されてきた。^{[ 22 ]} 例えば、水分含有量は体積比（体積水分、m ³ ⋅m ⁻³、次元 L ³ ⋅L ⁻³）または質量比（重量水分、単位 kg⋅kg ⁻¹、次元 M⋅M ⁻¹）として定義される。どちらも単位のない量であるが、次元が異なる。あるいは、次元は被除数の次元を0乗して表すことができ、(L ³ ) ⁰または M ⁰となる。^{[ 23 ]}

無次元物理定数

真空中の光速、万有引力定数、プランク定数、クーロン定数、ボルツマン定数など、普遍的な次元を持つ特定の物理定数は、時間、長さ、質量、電荷、温度に適切な単位を選択すれば1に正規化できます。結果として得られる単位系は自然単位系と呼ばれ、特にこれら5つの定数に関してはプランク単位系と呼ばれます。ただし、すべての物理定数をこのように正規化できるわけではありません。例えば、以下の定数の値は単位系とは独立しており、定義できず、実験によってのみ決定できます。^{[ 24 ]}

• 工学的ひずみは、長さの変化を初期長さで割ったものとして定義される物理的変形の尺度です。

• 微細構造定数α≈1 /137は電子間の電磁相互作用の大きさを特徴付ける。^{[ 25 ]}
• β（またはμ） ≈ 1836、陽子と電子の質量比。この比は陽子の静止質量を電子の静止質量で割った値です。任意の素粒子に対して同様の比を定義できます。
• 強い力の結合強度α _s ≈ 1。
• テンソル対スカラー比は、 CMBで観測される原始的パワースペクトルに対するテンソルモードとスカラーモードの寄与の比である。^{[ 25 ]}${\displaystyle r}$
• ループ量子重力における面積ギャップを特徴付けるイミルジ・バルベロパラメータ。^{[ 26 ]}${\displaystyle \gamma }$
• 放射率。これは、表面から実際に放射される放射と、同じ温度にある理想的な表面の放射の比である。

リスト

物理学と工学

• ローレンツ因子^{[ 27 ]} – 特殊相対論において、時間の遅れ、長さの収縮、および異なる速度で移動する観測者間の相対論的効果を表すために使用されるパラメータ
• フレネル数- 距離に対する波数（空間周波数）

• ベータ（プラズマ物理学） - プラズマ圧力と磁気圧力の比。磁気圏物理学や核融合プラズマ物理学で使用されます。
• ティール係数– 質量移動の制限がない多孔質触媒ペレット内の拡散と反応速度の関係を説明します。
• 開口数- システムが光を受け取ったり放出したりできる角度の範囲を特徴付けます。
• ズコスキー数（Zukoski number）は、通常 と表記され、火災の熱発生率と火災中を循環するガス流量のエンタルピーの比です。事故による火災や自然火災は通常 です。森林火災のような平面延焼火災は です。圧力容器やパイプから発生した火災は、圧力によって運動量が加わり です。^{[ 28 ]}${\displaystyle Q^{*}}$ ${\displaystyle Q^{*}\approx 1}$ ${\displaystyle Q^{*}<1}$ ${\displaystyle Q^{*}\gg 1}$

流体力学

化学

• 相対密度–水に対する密度
• 相対原子質量、標準原子量
• 平衡定数（無次元の場合もある）

その他の分野

• 輸送コストとは、ある場所から別の場所へ移動する際の効率である。
• 弾力性とは、ある経済変数が別の経済変数の変化に応じてどの程度変化するかを測る指標である。
• 基本再生産数は、疫学において感染の伝染性を定量化するために使われる無次元比率です。

参照

• 無次元量のリスト
• 任意の単位
• 次元解析
• 正規化（統計）と標準化モーメント、統計における類似の概念
• 桁数（数値）
• 相似（モデル）

参考文献

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さらに読む

• フラター、デイビッド（2017年10月）[2017年5月20日、2017年3月23日、2016年11月22日]。米国メリーランド州ゲイサーズバーグにある国立標準技術研究所で執筆。「 SIにおける無次元量の扱いに関する苦情への対応」『計測』 109ページ。英国ロンドン：エルゼビア社：105～ 110ページ。書誌コード： 2017Meas..109..105F。doi ： 10.1016 / j.measurement.2017.05.043。eISSN 1873-412X。ISSN 0263-2241。PMC 7727271。PMID 33311828。NIHMS1633436。    [1]（15ページ）

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの無次元数関連メディア