分位関数

確率と統計学において、確率分布の分位点関数は累積分布関数の逆関数です。つまり、分布の分位点関数とは、任意の確率変数と確率に対してとなる関数です。 ${\mathcal {D}}$ $Q$ $\Pr \left[\mathrm {X} \leq Q(p)\right]=p$ $\mathrm {X} \sim {\mathcal {D}}$ $p\in [0,1]$

分位関数は、パーセンタイル関数(パーセンタイルにちなんで)、パーセントポイント関数、逆累積分布関数、または逆分布関数とも呼ばれます。

意味

厳密に増加した分布関数

確率変数 $X$ の連続かつ厳密に増加する累積分布関数(cdf)を参照し、分位関数は入力pを閾値 $xにマッピングし、$ $Xが$ $x$ 以下となる確率が $p$ となるようにします。分布関数 $F$ の観点から見ると、分位関数 $Q は$ 次のような値 $xを返します。$ $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ $Q\colon [0,1]\to \mathbb {R}$

$F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p,$

これはCDFの逆関数として表される。

$Q(p)=F_{X}^{-1}(p).$

一般分布関数

厳密に単調ではない分布関数の一般的なケースでは、逆累積分布関数を許さないため、分位数は分布関数 $F$ の（潜在的に）集合値関数であり、区間^{[1]で与えられる。}

$Q(p)={\big [}\sup\{x\colon F(x)<p\},\sup\{x\colon F(x)\leq p\}{\big ]}.$

$最も低い値を選択するのが標準的な場合が多く、これは（ F$ の右連続性を使用して）次のように書くこともできます。

$Q(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.$

$ここでは、分位関数が、cdf 値がp を$ 超えるすべての値の中から $x$ の最小値を返すという事実を捉えています。これは、分布が連続している特殊なケースでの前の確率ステートメントに相当します。

分位数はガロア不等式を満たす唯一の関数である

$Q(p)\leq x$ もし、そして、もし、 $p\leq F(x).$

関数 $F$ が連続かつ厳密に単調増加であれば、不等式は等式に置き換えることができ、

$Q=F^{-1}.$

一般に、分布関数 $Fが$ 左逆関数または右逆関数を持たない場合でも、分位関数 $Qは$ 分布関数の「ほぼ確実な左逆関数」として振る舞う。

$Q{\bigl (}F(X){\bigr )}=X\quad {\text{almost surely.}}$

簡単な例

例えば、指数関数（λ）（すなわち強度 $λ$ と期待値（平均） $1/ λ$ ）の累積分布関数は

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

$指数関数(λ)$ の分位関数は、次の $Q$ の値を見つけることによって導出されます。 $1-e^{-\lambda Q}=p$

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},$

$0 \leq p < 1$ の場合。したがって四分位数は次のようになる。

第一四分位数（ $p = 1/4$ ）: $-\ln(3/4)/\lambda ,$
中央値（ $p = 2/4$ ）: $-\ln(1/2)/\lambda ,$
第三四分位数（ $p = 3/4$ ）: $-\ln(1/4)/\lambda .$

アプリケーション

分位関数は、統計アプリケーションとモンテカルロ法の両方で使用されます。

分位関数は確率分布を規定する方法の一つであり、確率密度関数（pdf）または確率質量関数、累積分布関数（cdf）、特性関数の代替手段です。確率分布の分位関数Qは、その累積分布関数Fの逆関数です。分位関数の導関数、すなわち分位密度関数は、確率分布を規定するもう一つの方法です。これは、分位関数と合成されたpdfの逆数です。

統計アプリケーションにおいて、ユーザーが特定の分布における重要なパーセンテージポイントを知る必要がある場合を考えてみましょう。例えば、上記の例のように中央値、25%四分位値、75%四分位値、あるいは分布が既知の観測値の統計的有意性を評価するなどの他のアプリケーションでは、5%、95%、2.5%、97.5%水準が必要になります（「分位点」の項を参照）。コンピュータが普及する以前は、分位点関数をサンプリングした統計表が付録として書籍に添付されることは珍しくありませんでした。^[2]分位点関数の統計的応用については、ギルクリストが詳細に論じています。^[3]

モンテカルロシミュレーションでは、様々なシミュレーション計算に用いる非一様乱数または擬似乱数を生成するために、分位関数が用いられます。ある分布からのサンプルは、原理的には、その分位関数を一様分布からのサンプルに適用することで得られます。例えば現代の金融工学におけるシミュレーション手法の需要は、分位関数に基づく手法にますます注目が集まっています。これは、分位関数がコピュラ法または準モンテカルロ法^[4]に基づく多変量解析手法や金融分野におけるモンテカルロ法とよく適合するからです。

計算

分位関数の評価には、多くの場合、数値手法、たとえば上記の指数分布が含まれます。指数分布は、閉じた形式の表現が見つかる数少ない分布の 1 つです (他の分布には、一様分布、ワイブル分布、Tukey ラムダ分布(ロジスティック分布を含む)、および対数ロジスティック分布があります)。cdf 自体が閉じた形式の表現を持つ場合は、常に二分法などの数値求根アルゴリズムを使用してcdf を逆関数化できます。その他の手法では、補間技法による逆関数の近似値に依存しています。^[5]^[6] 分位関数を評価するためのその他のアルゴリズムは、Numerical Recipesシリーズの書籍に記載されています。一般的な分布のアルゴリズムは、多くの統計ソフトウェアパッケージに組み込まれています。一般的な分布のクラスに対する分位関数を数値的に計算する一般的な手法は、次のライブラリにあります。

CライブラリUNU.RAN ^[7]
RライブラリRunuran ^[8]
scipy.statsのPythonサブパッケージサンプリング^[9]^[10]

分位関数は、非線形常微分方程式および偏微分方程式の解としても特徴付けられる。正規分布、スチューデント分布、ベータ分布、ガンマ分布の場合の常微分方程式が示され、解かれている。^[11]

正規分布

正規分布はおそらく最も重要なケースである。正規分布は位置尺度族であるため、任意のパラメータに対する分位関数は、標準正規分布の分位関数（プロビット関数として知られる）の単純な変換から導出できる。残念ながら、この関数は基本的な代数関数を用いた閉形式表現を持たないため、通常は近似表現が用いられる。Wichura ^[12]と Acklam ^[13]は、徹底的な合成有理近似と多項式近似を与えている。Shaw ^[14]は、非合成有理近似を開発した。

正規分布の常微分方程式

$正規分布の分位数w (p)$ に対する非線形常微分方程式が与えられる。これは

${\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}$

中心（初期）条件

$w\left(1/2\right)=0,\,$ $w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,$

この方程式は、古典的なべき級数法を含むいくつかの方法で解くことができます。これにより、任意の高精度の解が得られます（Steinbrecher and Shaw, 2008を参照）。

学生のt-分布

これは歴史的に見て、より扱いにくいケースの一つでした。自由度νというパラメータが存在するため、有理数やその他の近似値を用いるのが難しくなるからです。ν $= 1、2、4$ の場合には簡単な公式が存在し、νが偶数の場合には多項式の解に帰着します。その他の場合には、分位関数は冪級数として展開されます。^[15]簡単なケースは以下のとおりです。

ν = 1 （コーシー分布）: $Q(p)=\tan(\pi (p-1/2))\!$
ν = 2: $Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\!$
ν = 4: $Q(p)=\operatorname {sign} (p-1/2)\,2\,{\sqrt {q-1}}\!$

どこでそして $q={\frac {\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\,\right)\right)}{\sqrt {\alpha }}}\!$ $\alpha =4p(1-p).\!$

上記の「sign」関数は、正の引数に対しては+1、負の引数に対しては-1、ゼロの引数に対してはゼロとなります。三角関数の正弦関数と混同しないように注意してください。

四分位混合

密度分布の混合と同様に、分布は分位混合として定義できます。ここで、、は分位関数、、はモデルパラメータです。パラメータは、が分位関数となるように選択する必要があります。カルヴァネンによって、正規多項式分位混合とコーシー多項式分位混合という2つの4パラメータ分位混合が提示されました。^[16] $Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p),$ $Q_{i}(p)$ $i=1,\ldots ,m$ $a_{i}$ $i=1,\ldots ,m$ $a_{i}$ $Q(p)$

分位関数の非線形微分方程式

正規分布に対して与えられる非線形常微分方程式は、 2階微分が存在する任意の分位関数に対して与えられる方程式の特別な場合である。一般に、分位数 $Q (p)$ に対する方程式が与えられる。これは

${\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}$

適切な境界条件によって拡張され、

$H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)$

f $($ $x$ $)$ $は$ 確率密度関数である。この方程式の形、および正規分布、スチューデント分布、ガンマ分布、ベータ分布の場合の級数解と漸近解による古典的な解析は、SteinbrecherとShaw (2008)によって解明されている。これらの解は正確なベンチマークとなり、スチューデント分布の場合は実際のモンテカルロ計算に適した級数となる。

参照

参考文献

^ Ehm, W.; Gneiting, T.; Jordan, A.; Krüger, F. (2016). 「分位点と期待値について：一貫性のあるスコアリング関数、ショケ表現、そして予測ランキング」. JR Stat. Soc. B. 78 ( 3): 505– 562. arXiv : 1503.08195 . doi : 10.1111/rssb.12154 .
^ 「アーカイブコピー」（PDF）。 2012年3月24日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2012年3月25日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Gilchrist, W. (2000). Quantile Functionsによる統計モデリング. Taylor & Francis. ISBN 1-58488-174-7。
^ Jaeckel, P. (2002).金融におけるモンテカルロ法.
^ Hörmann, Wolfgang; Leydold, Josef (2003). 「高速数値逆変換による連続ランダム変数生成」ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation . 13 (4): 347– 362. doi :10.1145/945511.945517 . 2024年6月17日閲覧– WU Vienna経由。
^ Derflinger, Gerhard; Hörmann, Wolfgang; Leydold, Josef (2010). 「密度のみが既知の場合の数値逆問題によるランダム変量生成」(PDF) . ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation . 20 (4) 18: 1– 25. doi :10.1145/1842722.1842723.
^ 「UNU.RAN - ユニバーサル非一様乱数ジェネレータ」。
^ 「Runuran: 'UNU.RAN'乱数変数ジェネレータへのRインターフェース」2023年1月17日。
^ 「乱数ジェネレーター (Scipy.stats.sampling) — SciPy v1.13.0 マニュアル」。
^ Baumgarten, Christoph; Patel, Tirth (2022). 「Pythonによるランダム変数の自動生成」.第21回Python in Science Conference Proceedings . pp. 46– 51. doi : 10.25080/majora-212e5952-007 .
^ Steinbrecher, G.; Shaw, WT (2008). 「Quantile mechanics」. European Journal of Applied Mathematics . 19 (2): 87– 112. doi :10.1017/S0956792508007341. S2CID 6899308.
^ Wichura, MJ (1988). 「アルゴリズムAS241：正規分布のパーセントポイント」.応用統計学. 37 (3). Blackwell Publishing: 477–484 . doi :10.2307/2347330. JSTOR 2347330.
^ 逆正規累積分布関数を計算するアルゴリズム 2007年5月5日アーカイブ、Wayback Machine
^ 計算ファイナンス：モンテカルロリサイクルのための微分方程式
^ Shaw, WT (2006). 「スチューデントT分布のサンプリング - 逆累積分布関数の利用」.計算金融ジャーナル. 9 (4): 37– 73. doi :10.21314/JCF.2006.150.
^ Karvanen, J. (2006). 「LモーメントとトリムLモーメントによる分位混合の推定」.計算統計とデータ分析. 51 (2): 947– 956. doi :10.1016/j.csda.2005.09.014.

さらに読む

アバナシー、ロジャー・W.、スミス、ロバート・P. (1993) *「逆ベータ分布への級数展開によるF分布のパーセンタイル値の算出」ACM Trans. Math. Software , 9 (4), 478–480 doi :10.1145/168173.168387
正規分布の改良
「スチューデント」T分布を管理する新しい方法
ACMアルゴリズム396: スチューデントのt-分位点