参照フレーム

物理学と天文学において、参照フレーム（または参照フレーム）とは、原点、方向、スケールが物理空間において指定された抽象的な座標系である。参照フレームは、位置が数学的（数値座標値）かつ物理的（従来のマーカーによって示される）の両方で特定される幾何学的点として定義される参照点の集合に基づいている。^[1] 重要な特殊な例として、静止または等速運動するフレームである慣性参照フレームが挙げられる。

n次元の場合、n + 1個の参照点があれば参照フレームを完全に定義できます。直交直交座標系を用いると、原点に参照点を、 n個の座標軸それぞれに沿って1単位距離に参照点をそれぞれ配置することで参照フレームを定義できます。^[要出典]

アインシュタインの相対性理論では、基準系は、移動する観測者と観測対象との関係を規定するために使用される。この文脈では、この用語はしばしば観測基準系（または観測基準系）となり、観測者は必ずしも原点に位置するとは限らないものの、基準系内で静止していることを意味する。相対論的基準系は座標時間を含む（または暗示する）が、これは互いに相対的に移動する異なる基準系間では等しくない。したがって、これはすべての可能な座標時間が本質的に等しいとされるガリレオの相対性理論とは異なる。 ^[要出典]

意味

「参照フレーム」の様々な意味を区別する必要性から、様々な用語が生まれています。例えば、直交座標系のように、座標系の種類が修飾語として付加されることがあります。回転座標系のように、運動の状態が強調されることもあります。ガリレオ座標系のように、関連すると考えられるフレームへの変換方法が強調されることもあります。また、マクロ座標系とミクロ座標系のように、観測のスケールによってフレームが区別されることもあります。^[2]

本稿では、観測参照系という用語は、座標の選択や観測、あるいは観測装置の特性ではなく、運動の状態を強調する場合に用いられる。この意味で、観測参照系は、この系に付随する可能性のある座標系全体に対する運動の影響を研究することを可能にする。一方、運動の状態が主要な関心事ではない多くの目的のために座標系が用いられることがある。例えば、座標系は系の対称性を利用するために採用されることがある。さらに広い視点で見ると、物理学における多くの問題の定式化では、空間と時間とは間接的にしか関連しない一般化座標、基準モード、あるいは固有ベクトルが用いられる。以下の議論では、参照系の各側面を切り離して考えることが有益と思われる。したがって、観測参照系、座標系、および観測装置を独立した概念として扱い、以下のように区別する。

観測フレーム（慣性フレームや非慣性参照フレームなど）は、運動の状態に関連する物理的な概念です。
座標系は数学的な概念であり、観測を記述するために用いられる言語の選択に等しい。^[3]したがって、観測者は、ある観測参照枠内の観測を記述するために、任意の座標系（直交座標系、極座標系、曲線座標系、一般座標系など）を選択することができる。この座標系の選択を変更しても、観測者の運動状態は変化せず、したがって、観測者の観測参照枠の変化も伴わない。この観点は他の箇所にも見られる。^[4]これは、ある座標系が他の座標系よりもある観測に対してより適切な選択となる場合があることを否定するものではない。

何を測定するか、どのような観測装置を使用するかの選択は、観測者の運動状態や座標系の選択とは別の問題です。

^[あ]

座標系

「座標系」という用語は（特に物理学者によって）非技術的な意味で使用されることが多いですが、「座標系」という用語は数学においては正確な意味を持っており、物理学者もそれを意味している場合があります。

数学における座標系は幾何学や代数学の一側面であり、^[9]^[10]特に多様体（例えば物理学では配置空間や位相空間）の性質である。^[11]^[12]n次元空間における点rの座標は、単にn個の数の順序付けられた集合である。^[13]^[14]

\mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots ,\ x^{n}].

一般的なバナッハ空間では、これらの数は（例えば）フーリエ級数のような関数展開における係数となり得る。物理的問題においては、時空座標や基準モード振幅となる。ロボット設計においては、相対回転角、直線変位、関節の変形となる。^[15]ここでは、これらの座標が一連の関数によって直交座標系に関連付けられると仮定する。

x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots ),\quad j=1,\ \dots ,\ n,

ここで、 x、y、zなどは点のn次の直交座標です。これらの関数から、座標面は次の関係で定義されます。

x^{j}(x,y,z,\dots )=\mathrm {constant} ,\quad j=1,\ \dots ,\ n.

これらの面の交点は座標線を定義する。任意の点において、その点における交差座標線の接線は、その点における基底ベクトルの集合{ e ₁ , e ₂ , ..., e _n }を定義する。つまり、次の式で表される。 ^[16]

\mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }},\quad i=1,\ \dots ,\ n,

これは単位長さに正規化できます。詳細については曲線座標を参照してください。

座標面、座標直線、基底ベクトルは座標系の構成要素である。^[17]基底ベクトルがすべての点で直交する場合、座標系は直交座標系である。

座標系の重要な側面は計量テンソル gik_であり、これは座標系における弧の長さ dsをその座標に関して決定する：^[18]

(ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k},

ここで、繰り返されるインデックスは合計されます。

これらの記述から明らかなように、座標系は数学的構成概念であり、公理系の一部です。座標系と物理的な運動（あるいは現実の他の側面）との間には、必ずしも関連性はありません。しかし、座標系は時間を座標として含めることができ、運動を記述するために使用することができます。したがって、ローレンツ変換とガリレイ変換は座標変換と見なすことができます。

観測基準

観測参照フレームは、しばしば物理的参照フレーム、参照フレーム、あるいは単にフレームとも呼ばれ、観測者と観測者の運動状態に関連した物理的概念である。ここでは、クマールとバーヴによって表現された見解を採用する：すなわち、観測参照フレームはその運動状態によってのみ特徴付けられる。^[19]しかし、この点については全会一致ではない。特殊相対性理論では、観測者とフレームが区別されることがある。この見解によれば、フレームは、観測者プラス、時間的ベクトルに垂直な空間的ベクトルの直交右手セットとして構築された座標格子である。ドランを参照のこと。 ^[20]この制限された見解はここでは使用されず、相対性理論の議論においても普遍的に採用されているわけではない。^[21]^[22]一般相対性理論では、一般座標系の使用が一般的である（たとえば、孤立球の外側の重力場のシュワルツシルト解を参照のこと^[23]）。

観測参照系には、慣性系と非慣性系の 2 種類があります。慣性参照系は、すべての物理法則が最も単純な形をとる系として定義されます。特殊相対論では、これらの系は、ラピディティによってパラメータ化されたローレンツ変換によって関連付けられます。ニュートン力学では、より制限された定義で、ニュートンの第 1 法則が成り立つことのみが要求されます。つまり、ニュートンの慣性系とは、自由粒子が一定速度で直線上を移動するか、静止している系です。これらの系は、ガリレイ変換によって関連付けられます。これらの相対論的変換とニュートン変換は、ポアンカレ群とガリレイ群の表現によって、一般次元の空間で表現されます。

慣性系とは対照的に、非慣性系では、観測結果を説明するために架空の力を適用する必要があります。一例として、地球表面上の一点を中心とした観測系が挙げられます。この系は地球の中心を周回するため、コリオリの力、遠心力、重力といった架空の力が生じます。（重力を含むこれらの力はすべて、自由落下を伴う真の慣性系では消失します。）

測定装置

参照系の更なる側面は、その参照系に取り付けられた測定装置（例えば、時計や棒）の役割である（上記のノートンの引用を参照）。この問題は本稿では取り上げられていないが、観測者と測定の関係が依然として議論の的となっている量子力学において特に興味深い問題である（測定問題を参照）。

物理学実験において、実験室の測定装置が静止している基準系は、通常、実験室系または単に「実験室系」と呼ばれます。一例として、粒子加速器の検出器が静止している系が挙げられます。一部の実験では、実験室系は慣性系ですが、必ずしもそうである必要はありません（例えば、多くの物理学実験における地表実験室は慣性系ではありません）。素粒子物理学実験では、粒子のエネルギーと運動量を、測定が行われる実験室系から運動量中心系「重心系」に変換することがしばしば有用です。重心系に残っている運動エネルギーはすべて、新しい粒子の生成に利用できる可能性があるため、重心系では計算が簡素化されることがあります。

この点に関して注目すべきことは、観測者の測定装置を説明するために考えられている時計や棒は、実際には真空の性質に関連したはるかに複雑で間接的な計量法に置き換えられており、標準モデルに従って動作する原子時計を使用し、重力による時間の遅れを補正する必要があるということである。^{[24] （}秒、メートル、キログラムを参照）。

実際、アインシュタインは時計や棒は単なる便宜的な測定装置であり、例えば原子や分子に基づいたより基本的な実体に置き換えられるべきだと考えていました。^[25]

一般化

ブラディングとカステラーニは、単純な時空座標系を超えた議論を展開している。^[26]^一般化座標を用いた座標系への拡張は、量子場の理論、古典相対論的力学、量子重力のハミルトンおよびラグランジアン定式化の基礎となっている。^[27]^[28]^{[29] [30]}^[31]^[32]

インスタンス

その他のフレーム

参照

注記

^ここに 、移動する観測フレームとそれに関連する様々なユークリッド三空間座標系 [ R、R′など]に適用される引用文があります。 ^[5] ${\mathfrak {R}}$
まず、参照フレームの概念を導入します。これは、観測者の概念に関連しています。参照フレームとは、ある意味では、「観測者が持つユークリッド空間」です。より数学的な定義をしましょう。参照フレームとは、観測者の剛体運動を伴うユークリッド空間内のすべての点の集合です。で示されるフレームは、観測者とともに移動すると言われています。…粒子の空間位置は、原点Oを持つ座標系Rを確立することにより、フレームに対して相対的にラベル付けされます。フレームの剛体運動を共有する対応する軸の集合は、の物理的実現を与えると考えることができます。フレームでは、各瞬間に、このフレームで物理量を表すために導入された固有オブジェクト (ベクトルとテンソル)の成分に対して同じ座標変換を実行することにより、座標がRからR′に変更されます。 ${\mathfrak {R}}$ ${\mathfrak {R}}$ ${\mathfrak {R}}$ ${\mathfrak {R}}$ ${\mathfrak {R}}$

そして、RとR′の概念を分離することの有用性について次のように述べている。 [ ^6] ${\mathfrak {R}}$

ブリルアンが指摘したように、数学的な座標系と物理的な参照系は区別されなければなりません。この区別が曖昧なことが多くの混乱の原因となっています…例えば速度などの従属関数は物理的な参照系を基準として測定されますが、方程式が規定される数学的な座標系は自由に選択できます。

また、 RとR′などの区別についても同様に言える。 [ ^7] ${\mathfrak {R}}$

参照フレームの概念は、座標系の概念とは全く異なります。フレームが定義する空間（静止点の集合）や時間（同時発生の集合）が異なる場合にのみ、フレームは異なります。したがって、空間、時間、静止、同時性といった概念は、フレームの概念と密接に結びついています。しかし、原点を単にずらしたり、空間座標を純粋に空間的に回転させたりすると、新しい座標系が生じます。したがって、フレームはせいぜい座標系のクラスに対応するに過ぎません。

JDノートン氏によれば^[8]

特殊相対性理論と一般相対性理論の伝統的な発展においては、全く異なる二つの概念を区別しないのが通例であった。一つ目は座標系の概念であり、これは時空近傍における事象に四つの数値を滑らかかつ可逆的に割り当てるものとして単純に理解される。二つ目は参照系であり、そのような数値を割り当てるために使用される理想的なシステムを指す[…] 不必要な制約を避けるため、この取り決めを計量概念から切り離すことができる。[…] ここでの目的にとって特に重要なのは、各参照系が時空における各事象において明確な運動状態を持つということである。[…] 特殊相対性理論の文脈において、慣性運動における参照系に限定する限り、慣性参照系とそれが誘導する慣性座標系の違いによって重要なことはほとんど左右されない。この快適な状況は、特殊相対性理論の範囲内であっても、非一様運動における参照フレームを考慮し始めるとすぐに終わります。…最近では、アインシュタインの扱いの明らかな曖昧さを解決するために、参照フレームの概念が座標系とは異なる構造として再び現れました。

参考文献

^ Kovalevsky, J. ; Mueller, Ivan I. (1989). 「序論」.基準系. 天体物理学および宇宙科学図書館. 第154巻. ドルドレヒト: Springer Netherlands. pp. 1– 12. doi :10.1007/978-94-009-0933-5_1. ISBN 978-94-010-6909-0. ISSN 0067-0057.
^ マクロ的枠組みとミクロ的枠組みの区別は、例えば電磁気学において、様々な時間と長さのスケールの構成関係を用いてマクスウェル方程式に代入される電流密度と電荷密度を決定する際に現れる。例えば、Kurt Edmund Oughstun (2006) の『電磁波および光パルス伝搬 1：時間分散媒質におけるスペクトル表現』Springer、p. 165、ISBNを参照。 0-387-34599-X。これらの区別は熱力学にも見られる。ポール・マクエボイ（2002）『古典理論』MicroAnalytix、p.205、ISBNを参照。 1-930832-02-8。。
^ 非常に一般的な用語で言えば、座標系とは複素リー群における弧x ⁱ = x ⁱ ( t ) の集合である。Lev Semenovich Pontri͡agin (1986) を参照。LS Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups (3rd ed.). Gordon and Breach. p. 429. ISBN 2-88124-133-6。より抽象度を下げて言えば、n次元空間における座標系は、ベクトル{ e ₁ , e ₂ ,... e _n }の基底集合によって定義されます。Edoardo Sernesi、J. Montaldi (1993). Linear Algebra: A Geometric Approach. CRC Press. p. 95. ISBN 0-412-40680-2。したがって、座標系は数学的構成、言語であり、動きに関連している可能性はありますが、動きと必ずしも関連しているわけではありません。
^ JX Zheng-Johansson; Per-Ivar Johansson (2006). 『古典力学、量子力学、相対論的力学および四つの力の統一』Nova Publishers. p. 13. ISBN 1-59454-260-0。
^ Jean Salençon; Stephen Lyle (2001). 連続体力学ハンドブック：一般概念、熱弾性. Springer. p. 9. ISBN 3-540-41443-6。
^ パトリック・コルニール（アクレシュ・ラクタキア編）（1993年）『電磁気理論の形式的側面に関するエッセイ』ワールド・サイエンティフィック、149頁。ISBN 981-02-0854-5。 {{cite book}}:|author=一般的な名前があります（ヘルプ）
^ ネルリッヒ、グラハム（1994年）『時空が説明するもの：空間と時間に関する形而上学的エッセイ』ケンブリッジ大学出版局、64ページ。ISBN 0-521-45261-9。
^ John D. Norton (1993). 一般共変性と一般相対性理論の基礎：80年間の論争, Rep. Prog. Phys. , 56 , pp. 835-7.
^ ウィリアム・バーカー、ロジャー・ハウ (2008). 連続対称性：ユークリッドからクラインまで. アメリカ数学会. 18ページ以降. ISBN 978-0-8218-3900-3。
^ Arlan Ramsay、Robert D. Richtmyer (1995). Introduction to Hyperbolic Geometry . Springer. p. 11. ISBN 0-387-94339-0.幾何学公理座標系。
^ ホーキングとエリスによれば、「多様体とは、座標パッチで覆うことができるという点でユークリッド空間と局所的に相似な空間である。この構造は微分を定義することを可能にするが、異なる座標系を区別することはできない。したがって、多様体構造によって定義される概念は、座標系の選択に依存しない概念のみである。」スティーブン・W・ホーキング、ジョージ・フランシス・レイナー・エリス (1973). 『時空の大規模構造』ケンブリッジ大学出版局、p. 11. ISBN 0-521-09906-4。数学的な定義は次のとおりです。連結ハウスドルフ空間 Mは、 Mの各点がユークリッドn次元空間の開集合に同相な開集合に含まれる場合、 n次元多様体と呼ばれます。
^ 森田茂之;長瀬照子;野水克己（2001）。微分形式の幾何学。アメリカ数学協会の書店。 p. 12.ISBN 0-8218-1045-6.幾何学公理座標系。
^ グラニーノ・アーサー・コーン、テレサ・M・コーン(2000). 『科学者とエンジニアのための数学ハンドブック：定義、定理、公式の参照と復習』クーリエ・ドーバー出版. p. 169. ISBN 0-486-41147-8。
^ Encartaの定義を参照。2009年10月31日アーカイブ。
^ 山根勝 (2004). 人間フィギュアのモーションシミュレーションと生成. シュプリンガー. pp. 12– 13. ISBN 3-540-20317-6。
^ アキレウス・パパペトロウ (1974). 一般相対性理論講義. シュプリンガー. p. 5. ISBN 90-277-0540-2。
^ ウィルフォード・ズダンコウスキー、アンドレアス・ボット（2003年）『大気の力学』ケンブリッジ大学出版局、p.84、ISBN 0-521-00666-X。
^ AI Borisenko; IE Tarapov; Richard A. Silverman (1979). ベクトル解析とテンソル解析とその応用. Courier Dover Publications. p. 86. ISBN 0-486-63833-2。
^ Arvind Kumar、Shrish Barve (2003)『基礎力学における方法と理由』オリエント・ロングマン、115ページ参照。ISBN 81-7371-420-7。
^ クリス・ドラン、アンソニー・ラセンビー (2003). 物理学者のための幾何代数. ケンブリッジ大学出版局. p. §5.2.2, p. 133. ISBN 978-0-521-71595-9。。
^ 例えば、モラーは次のように述べています。「直交座標の代わりに、物理空間における点の固定に一般曲線座標を用いることも当然可能です。…ここで、四元空間における一般「曲線」座標x ⁱを導入しましょう…」C. モラー (1952) 『相対性理論』オックスフォード大学出版局、222ページおよび233ページ。
^ APライトマン、WHプレス、RHプライス、SAテウコルスキー（1975年）。『相対性理論と重力の問題集』プリンストン大学出版局、15ページ。ISBN 0-691-08162-X.相対論的一般座標。
^ リチャード・L・フェイバー（1983年）『微分幾何学と相対性理論入門』CRCプレス、211頁。ISBN 0-8247-1749-X。
^ リチャード・ウルフソン (2003). Simply Einstein. WW Norton & Co. p. 216. ISBN 0-393-05154-4。
^ グイド・リッツィを参照。マテオ・ルカ・ルッジェーロ (2003)。回転フレームの相対性理論。スプリンガー。 p. 33.ISBN 1-4020-1805-3。。
^ キャサリン・ブレイディング、エレナ・カステラーニ (2003). 『物理学における対称性：哲学的考察』ケンブリッジ大学出版局. p. 417. ISBN 0-521-82137-1。
^ オリバー・デイビス・ジョンズ (2005). 『相対性理論と量子力学のための解析力学』オックスフォード大学出版局. 第16章. ISBN 0-19-856726-X。
^ ドナルド・T・グリーンウッド (1997). 『古典力学』（プレンティス・ホール編1977年版の再版）. クーリエ・ドーバー出版. p. 313. ISBN 0-486-69690-1。
^ マシュー・A・トランプ、WC・シーブ（1999年）『古典的相対論的多体動力学』シュプリンガー、p.99、ISBN 0-7923-5737-X。
^ Alexander Solomonovich Kompaneyets (2003). Theoretical Physics (Reprint of 1962 2nd ed.). Courier Dover Publications. p. 118. ISBN 0-486-49532-9。
^ M Srednicki (2007). 量子場理論. ケンブリッジ大学出版局. 第4章. ISBN 978-0-521-86449-7。
^ カルロ・ロヴェッリ (2004). 『量子重力』ケンブリッジ大学出版局. 98ページ以降. ISBN 0-521-83733-2。