反射関係

数学において、集合上の二項関係が 反射的であるとは、集合のすべての要素がそれ自身に関係していることを意味する。^{[1] [2]}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

反射関係の例としては、実数集合における「 〜は〜に等しい」という関係が挙げられます。これは、すべての実数がそれ自身に等しいためです。反射関係は反射的性質を持つ、あるいは反射性を持つと言われます。反射性は、対称性と推移性とともに、同値関係を定義する3つの性質の1つです。

語源

ジュゼッペ・ペアノによる対称性と推移性とともに反射性の導入

反射的（reflexive）という語は、もともと中世ラテン語の reflexivus （「反動する」（ reflex参照）、または「自らに向けられた」）（紀元1250年頃）に由来し、これは古典ラテン語の reflexus-（「背を向ける」、「反射」）+ -īvus（接尾辞）に由来する。この語は1580年代に初期近代英語に導入された。現在数学で用いられている「自らに向けられた」という意味は、主に哲学と文法の分野で用いられて生き残った（再帰動詞および再帰代名詞参照）。^{[3] [4]}

「反射性」、すなわち関係がすべての要素がそれ自身と関連しているという性質を持つという記述が初めて明示的に用いられたのは、ジュゼッペ・ペアノの著書『数理原理』 （1889年）であると一般に考えられており、彼はその中で等式の基本的な性質の一つを「である」と定義している。^{[5] [6]}数学と論理学の意味で「反射的」という言葉が初めて用いられたのは、バートランド・ラッセルの著書『数学の原理』（1903年）である。^{[6] [7]}${\displaystyle a=a}$

定義

集合 上の関係が反射的であるとは、任意の に対してが成り立つ場合を言います。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (x,x)\in R}$

同様に、を 上の恒等関係とすると、 の場合には関係は反射的になります。 ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$

の反射閉包は、のスーパーセットである 上の最小の反射関係( に関して) として等価に定義できる和集合です。関係が反射的である場合、かつその反射閉包と等しい場合に限ります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$

の反射的還元または非反射的核は、 と同じ反射的閉包を持つに関する最小の関係（ に関して）である。 は に等しい。の反射的還元は、ある意味では の反射的閉包の「反対」の構成と見ることができる。 例えば、実数上の標準的な厳密な不等式の反射的閉包は通常の非厳密な不等式であるが、 の反射的還元は${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <.}$

関連する定義

反射的性質に関連する定義はいくつかあります。この関係は次のように呼ばれます。 ${\displaystyle R}$

反射的な、反反射的または異親族

^[8]いかなる要素もそれ自身に関連しない場合、つまり、が成り立たない場合、関係は非反射的であり、かつその補項が反射的である場合に限ります。非対称的な関係は必然的に非反射的です。推移的で非反射的な関係は必然的に非対称的です。${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X\times X}$

左準反射

が常にそうなるならば必然的に^[9]${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle xRx.}$

右準再帰

いつでも、必ずそうなるならば${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle yRy.}$

準反射的

ある関係を構成するすべての要素が、それ自体と関連している場合。明示的には、が となるときはいつでも、が必然的にとなることを意味します。また、二項関係が準反射的となるのは、左準反射的かつ右準反射的である場合に限ります。関係が準反射的となるのは、その対称閉包が左（または右）準反射的である場合に限ります。${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle yRy.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }}$

反対称

いつでも、必ずそうなるならば${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRx,}$ ${\displaystyle x=y.}$

コア反射

が成り立つときはいつでも、必然的に^[10]関係がコア反射的である場合、そしてその対称閉包が反対称的である場合に限ります。${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle R}$

空でない集合上の反射関係は、非反射的、非対称的（が意味しない場合、は非対称的と呼ばれる）、反推移的（が意味しない場合、は反推移的と呼ばれる）になることはあり得ません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRz}$ ${\displaystyle xRz}$

例

再帰関係の例としては次のようなものがあります。

• 「等しい」（等価性）
• 「〜の部分集合である」（包含集合）
• 「割り切る」（割り切れる）
• 「以上」
• 「以下」

非反射関係の例には次のものがあります。

• 「等しくない」
• 1より大きい整数に対して「互いに素である」
• 「は真部分集合である」
• 「より大きい」
• 「より小さい」

非反射関係の例としては、実数における「より大きい」関係（）が挙げられます。反射的でない関係がすべて非反射的であるわけではありません。一部の要素は自身と関連しているが、他の要素は関連していない（つまり、すべてもすべても関連していない）関係を定義することも可能です。例えば、「と の積は偶数である」という二項関係は、偶数集合では反射的であり、奇数集合では非反射的ですが、自然数集合では反射的でも非反射的でもありません。 ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

準反射関係の例としては、実数列の集合における「と同じ極限を持つ」が挙げられます。すべての列が極限を持つわけではないため、この関係は反射的ではありません。しかし、ある列が何らかの列と同じ極限を持つ場合、その列は自身と同じ極限を持つことになります。左準反射関係の例としては、左ユークリッド関係が挙げられます。これは常に左準反射的ですが、必ずしも右準反射的であるとは限らず、したがって必ずしも準反射的であるとは限りません。 ${\displaystyle R}$

共反射関係の例としては、整数上の関係が挙げられます。この関係では、奇数はそれぞれ自身と関連しており、他に関係は存在しません。等式関係は、反射的かつ共反射的な関係の唯一の例であり、共反射的な関係はすべて恒等関係の部分集合です。同一集合上の共反射的関係と推移的関係の和集合は常に推移的です。

再帰関係の数

要素集合上の反射関係の数は^{[11]である。}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$

S ( n , k )は第2種スターリング数を指すことに注意してください。

哲学的論理

哲学論理学の著者はしばしば異なる用語を使用する。数学的な意味での反射的関係は哲学論理学では完全反射的関係と呼ばれ、準反射的関係は反射的関係と呼ばれる。^{[12] [13]}

注記

1. レヴィ 1979、74ページ
2. シュミット 2010
3. "reflexive | etymonlineによるreflexiveの語源". www.etymonline.com . 2024年12月22日閲覧。
4. オックスフォード英語辞典、sv「再帰動詞（形容詞＆名詞）、語源」、2024年9月。
5. ペアノ、ジュゼッペ(1889)。算術プリンシピア: nova Methodo (ラテン語)。フラトレス・ボッカ。 XIIIページ。 2009年7月15日のオリジナルからアーカイブ。
6. ラッセル, バートランド(1903). 『数学原理』 . doi :10.4324/9780203864760. ISBN 978-1-135-22311-3。
7. Oxford English Dictionary、sv「Reflexive (adj.)、意味7 - Mathematics and Logic」、1903–、2024年9月。
8. CS ピアーズによるものです。ラッセル 1920、32 ページを参照してください。ラッセルはまた、多様性に含まれるか多様性を暗示する2 つの同義語を導入しています。
9. ブリタニカ百科事典ではこの性質を準反射性と呼んでいます。
10. フォンセカ・デ・オリベイラ＆ペレイラ・クーニャ・ロドリゲス、2004年、p. 337
11. オンライン整数列百科事典 A053763
12. ハウスマン、カハネ、ティッドマン 2013、327–328ページ
13. クラーク＆ベーリング 1998、187ページ

参考文献

• クラーク, DS; ベーリング, リチャード (1998). 『演繹論理 ― 評価技法と論理理論入門』 アメリカ大学出版局. ISBN 0-7618-0922-8。
• フォンセカ・デ・オリベイラ、ホセ・ヌーノ。 Pereira Cunha Rodrigues、César de Jesus (2004)、「関係の転置:Maybe 関数からハッシュ テーブルへ」、プログラム構築の数学、コンピュータ サイエンスの講義ノート、3125、Springer: 334–356、doi :10.1007/978-3-540-27764-4_18、ISBN 978-3-540-22380-1
• ハウスマン、アラン、カハネ、ハワード、ティドマン、ポール (2013). 『論理学と哲学 ― 現代入門』ワズワース出版. ISBN 978-1-133-05000-1。
• レヴィ、A.（1979）、基本集合論、数理論理学の展望、ドーバー、ISBN 0-486-42079-5
• リドル、R. Pilz, G. (1998)、応用抽象代数、数学の学部テキスト、Springer-Verlag、ISBN 0-387-98290-6
• クワイン、WV（1951）、数学論理学、改訂版、2003年再版、ハーバード大学出版局、ISBN 0-674-55451-5
• ラッセル、バートランド(1920). 『数学哲学入門』(PDF) (第2版). ロンドン: George Allen & Unwin, Ltd. （オンライン訂正版、2010年2月）
• シュミット、グンター（2010）、関係数学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-76268-7

外部リンク

• 「反射性」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]