通常の埋め込み

代数幾何学において、スキームの閉浸漬とは、 Xの各点x がYの開アフィン近傍U を持ち、そのイデアルが長さrの正則列によって生成されるような場合、余次元rの正則埋め込みである。余次元 1 の正則埋め込みは、まさに実効カルティエ因子である。 $i:X\hookrightarrow Y$ $X\cap U$

例と使用法

例えば、XとYがスキームS上で滑らかであり、 iがS射である場合、iは正則埋め込みである。特に、滑らかな射のすべての断面は正則埋め込みである。^[1]が正則スキームに正則埋め込まれている場合、Bは完全交差環である。^[2] $\operatorname {Spec} B$

この概念は、例えば、フルトンの交差理論へのアプローチにおいて本質的な形で用いられている。重要な事実は、i が正則埋め込みのとき、I がYにおけるXの理想層であるならば、の双対である正規層は局所的に自由（したがってベクトル束）であり、自然写像は同型である、すなわち正規錐は正規束と一致するということである。 $I/I^{2}$ $\operatorname {Sym} (I/I^{2})\to \oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$ $\operatorname {Spec} (\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})$

非例

例として、等次元でないスキームがあります。例えば、次のスキームは

X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)

はとの和集合です。すると、 - 軸上の任意の非原点を取ると次元になり、 - 平面上の任意の非原点を取ると次元になるため、埋め込みは正則ではありません。 $\mathbb {A} ^{2}$ $\mathbb {A} ^{1}$ $X\hookrightarrow \mathbb {A} ^{3}$ $z$ $1$ $xy$ $2$

局所完全交差射と仮想接束

有限型の射が（局所）完全交差射であるとは、 Xの各点x が開アフィン近傍Uを持ち、 f | _Uがとなるような射手であるときである。ここでjは正則埋め込みであり、gは滑らかな射である。 ^[3] 例えば、f が滑らかな多様体間の射である場合、f はとなる。ここで最初の写像はグラフ射であり、したがっては完全交差射である。この定義は、平坦射の特殊なケースに対する EGA IV の定義と整合している点に注意されたい。^[4] $f:X\to Y$ $U{\overset {j}{\to }}V{\overset {g}{\to }}Y$ $X\to X\times Y\to Y$

を大域的因数分解を許容する局所完全交差射とする。これは、が正則埋め込みと滑らかな射である合成である。このとき、仮想接束はX上のベクトル束のグロタンディーク群の元であり、次のように与えられる：^[5] $f:X\to Y$ $X{\overset {i}{\hookrightarrow }}P{\overset {p}{\to }}Y$ $i$ $p$

T_{f}=[i^{*}T_{P/Y}]-[N_{X/P}]

、

ここではの相対接線層（は滑らかなので局所的に自由）であり、は正規層（におけるの理想層）であり、は正則埋め込みなので局所的に自由です。 $T_{P/Y}=\Omega _{P/Y}^{\vee }$ $p$ $p$ $N$ $({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee }$ ${\mathcal {I}}$ $X$ $P$ $i$

より一般に、がスキームの任意の局所完全交差射である場合、そのコタンジェント複素数はTor-振幅 [-1,0] の完全である。さらに、が局所的に有限型かつ局所ノイザンである場合、逆もまた真である。^[6] $f\colon X\rightarrow Y$ $L_{X/Y}$ $f$ $Y$

これらの概念は、例えばグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理で使用されます。

非ノイザンケース

SGA 6 Exposé VII では、正規埋め込みの概念の次のようなやや弱い形式が使用されています。これは、上記で Noetherian スキームに対して示したものと一致しています。

まず、可換環A上の射影加群 Eが与えられたとき、A線型写像は、それによって決定されるコシュル複体が次元 > 0 で非巡回的であるとき（したがって、 uの余核の分解であるとき）、コシュル正則と呼ばれます。^[7] 次に、閉じた浸漬は、それによって決定されるイデアル層が、局所的に有限の自由A加群Eと、 Eからイデアル層へのコシュル正則な射影が存在するとき、コシュル正則と呼ばれます。^[8] $u:E\to A$ $X\hookrightarrow Y$

^{SGA 6 [9]}では、局所完全交差写像の定義にこのコシュル正則性が使われました。そこには、この論文で前述した定義をコシュル正則性が置き換えることを意図していたこと、また、この定義は元々、すでに出版されているEGA IV ^{[10]に登場していたことが示されています。}

(この疑問が生じるのは、非ノイザン環の場合、関連する素数の理論を使用できないため、零因子の議論が難しいためです。)

参照

正則部分多様体

注記

^ Sernesi 2006、D. 注 2。
^ セルネシ 2006、D.1.
^ SGA 6 1971、Exposé VIII、定義 1.1。 Sernesi 2006、D.2.1。
^ EGA IV 1967、定義 19.3.6、p. 196
^ Fulton 1998、付録B.7.5。
^ Illusie 1971、命題 3.2.6、p. 209
^ SGA 6 1971, Exposé VII. 定義 1.1. 注: Stacksプロジェクトの用語法に従います。[1]
^ SGA 6 1971、Exposé VII、定義 1.4。
^ SGA 6 1971、Exposé VIII、定義 1.1。
^ EGA IV 1967、§ 16 no 9、p. 45

参考文献

ピエール・ベルトロ;アレクサンドル・グロタンディーク;リュック・イリュージー編（1971年）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des Intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (数学の講義ノート225 ) (フランス語)。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。 xii+700。土井：10.1007/BFb0066283。ISBN 978-3-540-05647-8. MR 0354655。
Fulton、William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。数学における一連の現代調査 [数学および関連分野の結果。シリーズ第3弾。数学における現代調査シリーズ]、vol. 2、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR 1644323、セクションB.7
アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。32 : 5– 361.土井:10.1007/bf02732123。MR 0238860。、セクション16.9、p.46
Illusie, Luc (1971)、Complexe Cotangent et Déformations I、Lecture Notes in Mathematics 239 (フランス語)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-05686-7
セルネージ、エドアルド (2006)。代数スキームの変形。フィジカ・フェルラグ。ISBN 9783540306153。