正多角形

ユークリッド幾何学において、正多角形とは、すべての角の大きさが等しい正等角多角形であり、かつすべての辺の長さが等しい正等辺多角形です。正多角形は凸型または星型のいずれかです。極限において、辺の数が増える正多角形の列は、周囲または面積が固定されている場合は円に近似し、辺の長さが固定されている場合は正アペロゴン（実質的に直線）に近似します。

一般的な特性

これらの特性は、凸型か星型かを問わず、すべての正多角形に適用されます。

正n角形はn次回転対称性を持ちます。

正多角形のすべての頂点は共通の円（外接円）上にあり、つまり同心円状の点です。つまり、正多角形は円周多角形です。

辺の長さが等しいという性質と合わせて、すべての正多角形には、すべての辺の中点で接する内接円または内接円が存在することを意味します。したがって、正多角形は接多角形です。

正n角形は、 nの奇数素因数がそれぞれ異なるフェルマー素数である場合に限り、コンパスと定規を使って作図できます。(作図可能な多角形を参照。)

正n角形を折り紙で作図できるのは、あるに対しての場合のみであり、各はピアポント素数である。^[1] $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ $r\in \mathbb {N}$ $p_{i}$

対称

n辺正多角形の対称群は、二面体群D _n（位数 2 n）です：D ₂、D ₃、 D _{4 、… これは、 C}_nの回転と、中心を通るn本の軸の鏡映対称性から構成されます。nが偶数の場合、これらの軸の半分は2つの反対の頂点を通り、残りの半分は反対の辺の中点を通ります。n が奇数の場合、すべての軸は1つの頂点と反対の辺の中点を通ります。

正凸多角形

すべての正単純多角形（単純多角形とは、どこにも交差しない多角形）は凸多角形です。辺の数が同じ多角形は相似多角形でもあります。

n辺の凸正多角形は、シュレーフリ記号で表されます。の場合、2つの退化したケースがあります。 $\{n\}$ $n<3$

モノゴン{1}; ポイント: 通常の空間では退化します。(ほとんどの専門家は、この理由に加え、以下の公式が成り立たず、その構造が抽象的な多角形とは異なることから、モノゴンを真の多角形とは見なしていません。)
二角形{2}; 線分: 通常の空間では退化する。（一部の権威者^{（曖昧な表現）}はこのため、二角形を真の多角形とは見なさない。）

特定の状況では、考慮される多角形はすべて正多角形となることがあります。そのような状況では、接頭辞「正多角形」を省略するのが慣例です。例えば、一様多面体のすべての面は正多角形でなければならず、それらの面は単に三角形、正方形、五角形などと記述されます。

角度

通常の凸n角形の場合、各内角の大きさは次のようになります。

{\frac {180(n-2)}{n}}

度;

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

ラジアン; または

{\frac {(n-2)}{2n}}

フルターン、

各外角（つまり、内角の補角）には度数があり、外角の合計は 360 度、つまり 2π ラジアン、つまり 1 回転に等しくなります。 ${\tfrac {360}{n}}$

n が無限大に近づくにつれて、内角は180度に近づきます。10,000辺を持つ正多角形（無角形）の場合、内角は179.964度です。辺の数が増えるにつれて、内角は180度に非常に近づき、多角形の形状は円に近づきます。しかし、多角形が円になることはありません。内角の値が180度と完全に等しくなることは決してありません。なぜなら、円周は実質的に直線になるからです（アペイロゴンを参照）。このため、円は無限辺を持つ多角形ではありません。

対角線

の場合、対角線の数はです。つまり、三角形、正方形、五角形、六角形などの場合、0、2、5、9、…となります。対角線は多角形を1、4、11、24、…の部分に分割します。^[a] $n>2$ ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$

半径の円に内接する正n角形の場合、特定の頂点から他のすべての頂点 (隣接する頂点と対角線で結ばれた頂点を含む) までの距離の積はn に等しくなります。 $1$

平面上の点

円周半径 $R$ 、平面上の任意の点から頂点までの距離 $d$ $i$ を持つ正単純 $n$ 角形の場合、 ^[2]

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.

$平面上の任意の点から正n$ 角形の頂点までの距離の高次のべき乗については、 $d_{i}$

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

、

その後^[3]

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

、

そして

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

、

ここで、 $mは$ $n$ 未満の正の整数です。

$Lを平面上の任意の点から円周半径$ $Rの正$ $n$ 角形の重心までの距離とすると、^[3]

\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)

、

どこ。 $m=1,2,\dots ,n-1$

内部ポイント

正 $n角形の場合、任意の内点から$ $n$ 辺への垂線距離の和は、 $n倍の$ 遠近法線[ ^4]^{: p. 72} （遠近法線とは、中心から任意の辺までの距離である）。これは、 n = 3の場合のヴィヴィアーニの定理の一般化である。^[5]^[6]

円周半径

正多角形の中心から頂点の一つまでの円周半径 Rは、辺の長さsまたは円周線 aと次の関係がある。

R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}

作図可能な多角形の場合、これらの関係を表す代数式が存在します（「双心多角形」§「正多角形」を参照）。

正n角形の頂点から外接線への垂線の合計は、外接半径のn倍に等しい。 ^[4]^{: p. 73}

正n角形の頂点からその外接円上の任意の点までの距離の二乗の和は2nR2^に等しい。ここでRは外接半径である。^[4]^：p.73

正n角形の辺の中点から外接円上の任意の点までの距離の二乗の和は2 nR ² − ⁠1/4⁠ ns ²、ここでsは辺の長さ、Rは円周半径です。^[4]^{: p. 73}

正多角形の頂点からその外接円上の任意の点までの距離が[ ^3] $d_{i}$ $n$

3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

。

解剖

コクセターは、すべてのゾノゴン（2m角形で、反対側の辺が平行で長さが等しい）は、またはに分割できると述べています。 ${\tbinom {m}{2}}$ 1/2⁠ m ( m − 1)個の平行四辺形。これらのタイリングは、直交投影されたm個の立方体の頂点、辺、面の部分集合として含まれています。^[7]

特に、辺数が偶数である正多角形であれば、平行四辺形はすべて菱形になります。4m+2辺の正多角形は、(2m+1)回対称の放射状対称性を持つ方法で分割できます。リストOEIS : A006245には、より小さな多角形の解の数が示されています。

エリア

辺がs、円周半径がR、対辺がa、周長がpである凸正n角形（凸多角形）の面積Aは^[8]^[9]で与えられる。 ${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}nsa\\&={\tfrac {1}{2}}pa\\&={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)\end{aligned}}$

辺s = 1、円周半径R = 1、または対角線a = 1の正多角形の場合、次の表が生成されます。^[b] (のとき、のときの面積はのとき大きくなる傾向があるため $\cot x\rightarrow 1/x$ $x\rightarrow 0$ )。 $s=1$ $n^{2}/4\pi$ $n$

与えられた周囲長を持つn角形の中で、面積が最大となるものが正多角形である。^[10]

構築可能なポリゴン

正多角形の中には、コンパスと定規で簡単に作図できるものもありますが、全く作図できないものもあります。古代ギリシャの数学者は、 3辺、4辺、5辺の正多角形を作図する方法を知っていました^[11]^{: p. xi}また、与えられた正多角形の2倍の辺を持つ正多角形を作図する方法も知っていました^[11]^{: pp. 49–50}このことから、「コンパスと定規ですべての正n角形を作図できるのか？」という疑問が生じます。もしできないとしたら、どのn角形が作図可能で、どのn角形が作図できないのでしょうか。

カール・フリードリヒ・ガウスは1796年に正17角形の構成可能性を証明した。5年後、彼は著書『算術論』の中でガウス周期の理論を展開した。この理論により、彼は正多角形の構成可能性の十分条件を定式化した。

nが 2 の累乗と任意の数の異なるフェルマー素数（0 個を含む）の積である場合、コンパスと定規を使用して正n角形を作成できます。

（フェルマー素数とは、の形の素数である。）ガウスは証明なしにこの条件も必要であると述べたが、その証明は公表されなかった。必要性の完全な証明は、1837年にピエール・ヴァンツェルによって与えられた。この結果はガウス・ヴァンツェルの定理として知られている。 $2^{\left(2^{n}\right)}+1.$

同様に、正n角形は、その共通角の余弦が構成可能な数である場合、つまり 4 つの基本的な算術演算と平方根の抽出で表すことができる場合にのみ構成可能です。

正三角形

3次元空間における正斜多角形は、一様反プリズムの側辺として定義される2つの平行平面の間をジグザグに走る非平面経路として捉えることができます。すべての辺と内角は等しいです。

より一般的には、正多角形はn空間で定義できます。例えば、ペトリー多角形は、正多面体を2つに分割する辺の多角形パスであり、正射影では正多角形として見られます。

無限極限では、通常の斜め多角形は斜めアピアロンになります。

正星型多角形

非凸正多角形は、正星型多角形です。最も一般的な例は五芒星で、五角形と同じ頂点を持ちますが、頂点同士が交互に結ばれています。

n角形の星型多角形の場合、シュレーフリ記号は多角形の密度、つまり「星型度」mを表すために{ n / m }のように変形されます。例えば、mが2の場合、2点ごとに1つの点が接続されます。mが3の場合、3点ごとに1つの点が接続されます。多角形の境界は中心をm回巻きます。

最大 12 辺の (非退化の) 正則星は次のとおりです。

五芒星– {5/2}
ヘプタグラム– {7/2} と {7/3}
八芒星– {8/3}
エニアグラム– {9/2} と {9/4}
デカグラム– {10/3}
十卦– {11/2}、{11/3}、{11/4}、{11/5}
十二芒星– {12/5}

mとn は互いに素でなければなりません。そうでない場合には、図形は退化します。

最大 12 面の退化した正則星は次のとおりです。

テトラゴン – {4/2}
六角形 – {6/2}, {6/3}
八角形 – {8/2}, {8/4}
エニアゴン – {9/3}
十角形 – {10/2}、{10/4}、{10/5}
十二角形 – {12/2}、{12/3}、{12/4}、{12/6}

シュレーフリ記号の正確な導出方法に応じて、退化した図形の性質に関する見解は分かれる。例えば、{6/2}は次の2つの方法で扱われる可能性がある。

20 世紀のほとんどの間 (Coxeter (1948) を参照)、/2 は一般に、凸包 {6} の各頂点を 2 ステップ離れた近傍の頂点と結合して、2 つの三角形の正則な合成、つまり六芒星を得ることを示すものとして解釈されてきました。
コクセターは、この正則な複合語を{ p / k }の複合語を{ kp }[ k { p }]{ kp }と表記することで明確にし、この六芒星は{6}[2{3}]{6}と表される。^{[14]コクセターは、より簡潔に、六芒星を正多角形の}交互の複合語として2{3}のように2{ n /2}と書き、主要な因数を斜体で表記して、一致する解釈と区別している。^[15]
グリュンバウム（2003）^[13]をはじめとする多くの現代幾何学者は、これを誤りとみなしている。彼らは、/2を{6}の周りを各ステップで2つずつ移動することを意味すると解釈し、各頂点に2つの頂点が重なり、各線分に2つの辺を持つ「二重巻き」三角形を得る。これは抽象多面体の現代理論によく適合するだけでなく、ポアンソ（1809）が星型多角形を作成した方法、すなわち一本の針金を同じ角度で連続する点で曲げ、図形が閉じるまで繰り返す方法をより忠実に模倣している。

正多角形の双対性

すべての正多角形は合同性と自己双対であり、n が奇数の場合は単位元性と自己双対です。

さらに、正多角形から構成される正星型図形（複合図形）も自己双対です。

多面体の面としての正多角形

一様多面体には、面として正多角形があり、2 つの頂点ごとに、一方を他方にマッピングする等長変換が存在します(正多角形の場合と同じです)。

準正多面体は、各頂点の周りに 2 種類の面が交互に並ぶ均一な多面体です。

正多面体とは、1 種類の面だけを持つ均一な多面体です。

残りの（不均一な）正多面体凸多面体はジョンソン立体として知られています。

正三角形を面として持つ多面体は三角面体と呼ばれます。

参照

注記

^ ( OEISの配列A007678 )

^ Mapleで関数定義を使用して 得られたR = 1 およびa = 1の結果:

f := proc ( n )オプション演算子、矢印; [ [ convert ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) 、ラジカル) 、convert ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) 、float )] 、[ convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) 、ラジカル) 、convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) 、float ) 、convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi 、float )] 、[ convert ( n * tan ( Pi / n ) 、ラジカル) 、convert ( n * tan ( Pi / n ) 、float ) 、convert ( n * tan ( Pi / n ) / Pi 、float )] ] end proc

n = 16の式は、tan(π/4)に正接半角の公式を2回適用することによって得られる。

参考文献

^ Hwa, Young Lee (2017). 折り紙で作れる数字(PDF) (修士論文). ジョージア大学. pp. 55– 59.
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^ abc Meskhishvili, Mamuka (2020). 「正多角形とプラトン立体の巡回平均」. Communications in Mathematics and Applications . 11 : 335–355 . arXiv : 2010.12340 . doi :10.26713/cma.v11i3.1420 (2025年7月1日非アクティブ).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)
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^ ab あなたの多面体は私の多面体と同じですか？ブランコ・グリュンバウム（2003）、図3
^ 正多面体、p.95
^ コクセター『正多面体の密度 II』1932年、53ページ

さらに読む

Lee, Hwa Young; 「折り紙で構成可能な数字」。
コクセター, HSM (1948).正多面体. メシューエン社.
Grünbaum, B.; あなたの多面体は私の多面体と同じですか? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift、Aronov 他編、Springer (2003)、pp. 461–488。
ポインソ、L. ;ポリゴンとポリエードルに関するメモワール。J. de l'École Polytechnique 9 (1810)、16 ～ 48 ページ。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「正多角形」。MathWorld。
正多角形の説明インタラクティブアニメーション付き
正多角形の内接円インタラクティブアニメーション付き
正多角形の面積インタラクティブなアニメーション付きの3つの異なる公式
ルネサンス期の芸術家による正多角形の構築 Archived 2006-02-12 at the Wayback Machine at Convergence Archived 2006-02-12 at the Wayback Machine