S波

地震学や弾性波に関わる他の分野では、 S波、二次波、または剪断波（弾性S波と呼ばれることもある）は弾性波の一種であり、弾性体波の2つの主要なタイプの1つです。表面波とは異なり、物体の体内を伝わるため、このように呼ばれています。^{[ 1 ]}

S波は横波であり、S波の粒子の運動方向は波の伝播方向と垂直であり、主な復元力はせん断応力から生じます。^{[ 2 ]}したがって、S波は粘度がゼロ（または非常に低い）の液体中を伝播することはできません。 [ ^{3 ]ただし}、粘度の高い液体中を伝播することは可能です。^{[ 4 ] [ 5 ]}同様に、S波は気体中を伝播できません。

二次波という名称は、 S波が固体中をよりゆっくりと伝わるため、地震計によって圧縮一次波（P波）の次に検出される2番目に検出される波であることに由来する。P波とは異なり、S波は地球の溶融した外核を通過できず、そのため発生源の反対側にS波の影の領域が生じる。しかし、S波は固体の内核を伝播することができる。すなわち、P波が溶融核と固体核の境界に斜めに当たると、S波が形成され固体媒体中を伝播する。これらのS波が再び境界に斜めに当たると、今度は液体媒体中を伝播するP波が生じる。この特性により、地震学者は地球の内核の物理的特性の一部を判定することができる。^{[ 6 ]}

歴史

1830年、数学者シメオン・ドニ・ポアソンは、固体中の弾性波の伝播理論に関する論文（『回想録』）をフランス科学アカデミーに提出した。回想録の中で彼は、地震は2つの異なる波を生み出すと述べている。1つは特定の速度を持ち、もう1つは速度を持つ。波源から十分な距離があり、対象領域において平面波とみなせる場合、前者は波面に対して垂直な方向（つまり、波の進行方向に対して平行な方向）の膨張と圧縮から成り、後者は波面に対して平行な方向（進行方向に対して垂直な方向）の伸張運動から成り立つ。^{[ 7 ]}${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$

理論

等方性媒体

地球内部の地震波速度と深さの関係。外核ではS波速度が無視できるほど小さいのは、外核が液体であるためである。一方、固体の内核ではS波速度はゼロではない。

この説明のために、固体媒質は、応力に対するひずみ（変形）が全方向で同じである場合、等方性であるとみなされる。弾性振動によるこのような媒質の粒子の「静止」位置からの変位ベクトルを とすると、これは静止位置と時間の関数であると理解される。この点における媒質の変形は、要素が以下の3×3行列である ひずみテンソルで記述できる。${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$ $${\displaystyle e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

ここで、は位置座標に関する偏微分を表す。ひずみテンソルは3×3応力テンソルと次の式で 関係している。${\displaystyle \partial_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\タウ }}}$ $${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$$

ここでクロネッカーデルタ（ の場合は1 、それ以外は0）であり、とはラメパラメータ（は材料のせん断弾性率）である。したがって、 ${\displaystyle \delta_{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mu}$ $${\displaystyle \tau_{ij}=\lambda\delta_{ij}\sum_{k}\partial_{k}u_{k}+\mu\left(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i}\right)}$$

ニュートンの慣性の法則から、次式も得られます。 ここではその地点における媒質の密度（単位体積あたりの質量）であり、 は時間に関する偏微分を表します。最後の2つの式を組み合わせると、均質媒質における地震波動方程式が得られます。$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \partial_{t}}$ $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}}$$

ベクトル解析のナブラ演算子表記, ,を用いて、いくつかの近似値を用いると、この式は次のように書ける。 ${\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})}$ $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

この方程式の 回転を取り、ベクトル恒等式を適用すると、$${\displaystyle \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

この式は、ベクトル量 （物質のせん断ひずみ）に適用される波動方程式です。その解であるS波は、様々な波長と伝播方向を持つ正弦平面波の線形結合ですが、速度はすべて同じです。伝播媒体が線形、弾性、等方性、均質であると仮定すると、この式は^{[ 8 ]}と書き直すことができます。ここで、 ωは角周波数、kは波数です。したがって、となります。 ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$ ${\displaystyle \mu =\rho \beta ^{2}=\rho \omega ^{2}/k^{2}}$ ${\displaystyle \beta =\omega /k}$

均質媒質における地震波動方程式の回転の代わりに発散を考慮すると、物質の圧縮ひずみを表す量の伝播を記述する波動方程式が得られる。この方程式の解であるP波は、より速い速度で伝播する。 ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$

定常SH波はヘルムホルツ方程式^{[ 9 ]}によって定義され、 ここでkは波数である。 $${\displaystyle \left(\nabla^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0}$$

粘弾性材料のS波

弾性媒体と同様に、粘弾性材料では、せん断波の速度は同様の関係式 で表されますが、ここでは、は複雑な周波数依存のせん断弾性率であり、は周波数依存の位相速度です。^{[ 8 ]}粘弾性材料のせん断弾性率を記述する一般的な方法の1つは、次のように表されるVoigtモデルを使用することです。ここで、は材料の剛性、は粘度です。^{[ 8 ]}${\displaystyle c(\omega )=\omega /k(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )/\rho }}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle c(\omega )}$ ${\displaystyle \mu (\omega )=\mu _{0}+i\omega \eta }$ ${\displaystyle \mu_{0}}$ ${\displaystyle \eta}$

S波技術

磁気共鳴エラストグラフィー

磁気共鳴エラストグラフィー（MRE）は、生体内の生物学的材料の特性を調べる方法であり、所望の周波数のせん断波を所望の有機組織全体に伝播させる。^{[ 10 ]}この方法では、振動子を用いてせん断波を組織に送り、磁気共鳴画像法を用いて組織内の反応を観察する。^{[ 11 ]}測定された波の速度と波長は、せん断弾性率などの弾性特性を決定するために測定される。MREは、肝臓、脳、骨組織など、様々なヒト組織の研究に利用されている。^{[ 10 ]}

参照

• 緊急地震速報（日本）
• ラム波
• 縦波
• ラブウェーブ
• レイリー波
• 横波分裂

参考文献

1. 「Seismology | UPSeis | Michigan Tech」ミシガン工科大学. 2023年10月7日閲覧。
2. 「S波」。米国地質調査所。 2021年7月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。
3. 「なぜS波は液体を伝わらないのか？」シンガポール地球観測所。2019年12月6日閲覧。
4. Greenwood, Margaret Stautberg; Bamberger, Judith Ann (2002年8月). 「オンラインプロセス制御のための液体またはスラリーの粘度とせん断波速度の測定」. Ultrasonics . 39 (9): 623– 630. doi : 10.1016/s0041-624x(02)00372-4 . PMID 12206629 . 
5. 「粘性流体はせん断波の伝播をサポートするか？」 ResearchGate . 2019年12月6日閲覧。
6. 「講義16 地震計と地球内部」イリノイ大学シカゴ校、1997年7月17日。2002年5月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2010年6月8日閲覧。
7. サウスダコタ州ポワソン (1831 年)。「Mémoire sur la propagation du mouvement dans les milieux élastiques」[弾性媒体における運動の伝播に関する回想録]。フランス科学アカデミーの回想録(フランス語)。10 : 549–605 .p.595 より: 「On verra aisément que cet ébranlement donnera naissance à deux ondes sphériques qui se propagerontuniformément, l'une avec une vitesse a , l'autre avec une vitesse b ou a / √ 3」 ... (この地震が 2 つの球面波を生み出すことは簡単にわかります。均一に伝播され、一方は速度aで、他方は速度bまたはa  /√3 ...) p.602 より: ... " à une grande distance de l'ébranlement primitif, et lorsque les ondes mobiles Sont devenues sensiblement plans dans Chaque party très-petite par rapport à leurs surfaces entières, il neサブシステ プラス ケ デ ヴィテス分子の固有性、表面の法線と平行性。通常のアヤン リュー ダンス レッスン オンド ドゥ ラ プルミエール エスペス、オー エル ソン アンド コンパニエ デ ディレーション キ ルール ソン 比例、およびレ ヴィテス パラレル アパルテナント オー オンデ ドゥ ラ セカンド エスペス、オー エル ネソン コンパニエ ドークヌ 拡張ボリュームの凝縮、膨張とラインの凝縮を実現します。 " ( ... 元の地震から遠く離れたところで、移動する波がその表面全体に対してあらゆる小さな部分でほぼ平面になったとき、[地球の弾性固体には]これらの表面に垂直または平行な分子自身の速度だけが残ります。通常の速度は、それらが伴う最初のタイプの波で発生します。それに比例する膨張と、体積の膨張や収縮を伴わず、線形の伸縮のみを伴う第 2 タイプの波に属する平行速度によって決まります。
8. Rouze; Deng; Trutna; Palmeri; Nightengale (2018年5月). 「群せん断波速度を用いた粘弾性材料の特性評価」 . IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control . 65 (5): 780– 794. Bibcode : 2018ITUFF..65..780R . doi : 10.1109/TUFFC.2018.2815505 . PMC 5972540. PMID 29733281 .  
9. Graff, Karl F. (2012-04-26).弾性体における波動運動. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13957-9。
10. Tweten, Dennis J.; Okamoto, Ruth J.; Schmidt, John L.; Garbow, Joel R.; Bayly, Philip V. (2015年11月). 「非圧縮性横方向等方性材料における低速および高速せん断波からの材料パラメータ推定」 . Journal of Biomechanics . 48 (15): 4002– 4009. doi : 10.1016/j.jbiomech.2015.09.009 . PMC 4663187. PMID 26476762 .  
11. 「MR Shear Wave Elastography」ユタ大学保健センター、2021年11月10日。

さらに読む

• シアラー、ピーター（1999年）『地震学入門』（第1版）ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-66023-8。
• アキ, ケイイチ;リチャーズ、ポール G. (2002)。定量的地震学(第 2 版)。大学の科学書。ISBN 0-935702-96-2。
• ファウラー, CMR (1990). 『固体地球』 ケンブリッジ大学出版局, イギリス. ISBN 0-521-38590-3. S波。