シャッテンクラス演算子

数学、特に関数解析において、p次シャッテン類作用素とは、有限のp次シャッテンノルムを持つヒルベルト空間上の有界線型作用素である。p次シャッテン類作用素の空間は、シャッテンノルムに関してバナッハ空間である。 ^[1]

極分解により、 p番目のシャッテン類作用素の空間がB(H)のイデアルであることが証明できる。さらに、シャッテンノルムはヘルダー不等式の一種を満たす。

${\displaystyle \|ST\|_{S_{1}}\leq \|S\|_{S_{p}}\|T\|_{S_{q}}\ {\mbox{if}}\ S\in S_{p},\ T\in S_{q}{\mbox{ and }}1/p+1/q=1.}$

H上のコンパクト作用素のバナッハ空間を作用素ノルムに関して と表記すると、上記のホルダー型不等式は に対しても成立する。このことから、 は明確に定義された縮約であることが分かる。（ここでプライムは（位相的）双対を表す。） ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \phi :S_{p}\rightarrow S_{q}'}$ ${\displaystyle T\mapsto \mathrm {tr} (T\cdot )}$

2番目のシャッテン類は実際にはヒルベルト・シュミット作用素のヒルベルト空間であることに注目してください。さらに、1番目のシャッテン類はトレース類作用素の空間です。

参考文献

1. （コンウェイ 2000、93ページ）

• ロバート・シャッテン(1960)。完全に継続的なオペレーターの標準理想。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。ベルリン: Springer-Verlag。
• コンウェイ、ジョン・B. (2000). 『作用素論講座』 . 大学院数学研究科. 第21巻. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-2065-0。