Algebraic structure
数学 において 、 半体と は 、加算と乗算という 2 つの 二項演算を持つ 代数構造であり、 体 に似ていますが、いくつかの公理が緩和されています。
概要 半体という用語には矛盾する 2 つの意味があり、どちらの意味にも特別なケースとして体が含まれます。
特に、乗法は 可換 または 結合的で あるとは仮定されていないことに注意してください。結合的な半体は 除算環 であり、結合的で可換な半体は 体 です。この定義による半体は 擬体 の特殊なケースです。S が有限の場合 、上記の定義の最後の公理は、 零因子が 存在しないという仮定に置き換えることができ 、 a ⋅ b = 0は a = 0 または b = 0を意味します 。[2] 結合性がないため、最後の公理は、体や除算環の定義でよく見られるような、すべての非零要素に逆元が存在するという仮定と同じで はない ことに注意してください。 環論 、 組合せ論 、 関数解析 、 理論計算機科学 （ MSC 16Y60） において、 半体と は、すべての非零元に逆元が存在する 半環 （ S 、+、·）のことである。 [3] [4]これらのオブジェクトは、 真半体 とも呼ばれる 。この定義のバリエーションとして、 Sに乗法単位 e とは異なる吸収零点が含まれる場合があり、非零元は可逆で、 · 0 = 0· a = 0であることが求められる。乗法は 結合法 であるため 、半体の（非零）元は群を形成する 。 しかし、対（ S 、+）は単なる 半群 であり、すなわち加法逆元が存在する必要はない、あるいは口語的に「減算はない」。乗法が結合法であるとは想定されないこともある。
半体の原始性 半体 D は、D* の非ゼロ元の集合が w のすべての右 (左) 主冪の集合に等しいような元 w を持つ場合、右 (左) 原始的と呼ばれます。
例 ここでは、第二の意味での半体、すなわち分配乗法を伴う加法半群の例のみを示します。さらに、ここでの例では、加法は可換であり、乗法は結合的です。
通常の加算と乗算を伴う
正の 有理数は、可換半体を形成します。 これは吸収 0 によって拡張できます。 通常の加算と乗算を伴う
正の実数は、可換半体を形成します。 これは吸収 0 によって拡張することができ、 対数半環 と同型である 確率半環 を形成します。 f / g の形式の 有理関数（ f と g は、 正の係数を持つ 1 変数の実数の部分体上の多項式）は、可換半体を形成し
ます 。 これは 0 を含むように拡張できます。 実数 R は、 2つの元の和が最大値、積が通常の和と定義される半体とみなすことができます。この半体は、より簡潔に ( R , max, +) と表記されます。同様に、 ( R , min, +) も半体です。これらは 熱帯半環 と呼ばれます。
これは -∞ (吸収 0) まで拡張できます。これは、 底が無限大になるときの 対数半環の限界 ( 熱帯化 )です。 前の例を一般化すると、( A ,·,≤) が 格子順序群 である場合、( A ,+,·) は加法 冪等半体であり、その半体の和は2つの元の 最大値 として定義されます 。逆に、任意の加法冪等半体 ( A ,+,·) は格子順序群 ( A ,·,≤) を定義します。ここで、 a ≤ bと a + b = b は同値です 。 ブール半体 B = {0, 1} では、加算は 論理和 で定義され、乗算は 論理積 で定義されます。
参照
参考文献
^ ドナルド・クヌース 「 有限半体と射影平面 」J. Algebra, 2, 1965, 182--217 MR 0175942。 ^ Landquist, EJ、「非結合的除算環と射影平面について」、著作権 2000 年。 ^ ゴラン、ジョナサン・S.、 「半環とその応用」 。 『半環の理論、数学と理論計算機科学への応用』 の更新・拡張版（ロングマン・サイエンス・テック、ハーロウ、1992年、 MR 1163371。クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ、ドルドレヒト、1999年、xii+381ページ、 ISBN 0-7923-5786-8 MR 1746739。 ^ ヘビッシュ、ウド;ワイナート、ハンス・ヨアヒム、 セミリングとセミフィールド 。代数ハンドブック、Vol. 1、425--462、北オランダ、アムステルダム、1996年。MR 1421808 。