確率論および統計学において条件付き分散とは、1つ以上の他の変数の値を与えられた場合の確率変数分散です。特に計量経済学においては、条件付き分散は分散関数またはスケダスティック関数とも呼ばれます[1]条件付き分散は、自己回帰条件付き異分散性(ARCH)モデルの重要な部分です

意味

確率変数 Yの条件付き分散は、別の確率変数Xが与えられた場合に、

条件付き分散は、 Y を「予測」するためにを用いた場合、どの程度の分散が残るかを示します。ここで、 は、通常通り、Xが与えられた場合のY条件付き期待値を表します。これは、ご存知のとおり、確率変数( Xの関数で、確率1まで決定される)です。したがって、自体も確率変数(そして はXの関数)です。

説明、最小二乗法との関係

分散とは、確率変数(例えばY)とその期待値との間の期待二乗偏差であることを思い出してください。期待値は、ランダム実験の結果の妥当な予測値と考えることができます(特に、予測が期待二乗予測誤差で評価される場合、期待値は最良の定数予測です)。したがって、分散の1つの解釈は、分散が可能な限り最小の期待二乗予測誤差を与えるということです。もしY を予測するために使用できる別の確率変数( X )に関する知識があれば、この知識を用いて期待二乗誤差を減らすことができる可能性があります。結局のところ、Xが与えられたときのYの最善の予測は条件付き期待値です。特に、任意の測定可能な

を選択すると、2番目の非負項はゼロになり、主張が示されます。ここで、2番目の等式は全期待値 の法則を用いています。また、 Xが与えられた場合のYの期待条件付き分散は、Xのみの知識に基づいてY を予測する際の既約誤差として現れることもわかります

特殊なケース、バリエーション

離散確率変数の条件付け

X が正の確率で可算な多くの値を取る場合、つまり離散確率変数である場合Sの任意のxに対してX=x が成り立つことを前提としたYの条件付き分散を次のように導入できます。

ここで、 はX=xを与えられたZの条件付き期待値であり、 に対して明確に定義されていることを思い出してください。 の別の表記法

ここで、 はxの可能な値に対する定数を定義し、特に はランダム変数 ではないことに注意してください。

この定義と の関係は以下のとおりです。S を上記のようにし、関数を と定義します。すると、ほぼ確実に となります

条件付き分布を用いた定義

X=xが与えられた場合のYの条件付き期待値」は、 Xが与えられた場合のY条件付き分布を使用して、より一般的に定義することもできます(この場合は、XY の両方が実数値であるため、これが存在します)。

特に、 Xが与えられたときのY (正規)条件付き分布、すなわちXのサポート上でほぼ確実に)とすると、次のように定義できます。

もちろん、これは、Y自体が離散的である場合(積分を合計に置き換える)に特化することも、何らかの基礎分布に関して X=xが与えられた場合にY条件付き密度が存在する場合にも特化することができます。

分散の成分

全分散の法則よれば

言葉で説明すると、 Yの分散は、 Xを与えられた場合のYの条件付き分散の期待値と、 Xを与えられた場合のYの条件付き期待値の分散の合計です。最初の項は「Xを使用してY を予測する」後に残る分散を表し、2番目の項はXのランダム性に起因するYの予測値の平均による分散を表します

参照

参考文献

  1. ^ スパノス、アリス (1999). 「コンディショニングと回帰」. 確率理論と統計的推論. ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. pp. 339–356 [p. 342]. ISBN 0-521-42408-9

さらに読む

  • カセラ, ジョージ; バーガー, ロジャー L. (2002). 統計的推論(第2版). ワズワース. pp.  151–52 . ISBN 0-534-24312-6