マッピング空間

数学、特に代数的位相幾何学において、 2つの空間間の写像空間とは、それらの空間間のすべての（連続）写像の空間です

すべての写像の集合を空間として捉えることは、位相的な考察を可能にするため有用である。例えば、写像空間内の曲線はまさに ホモトピーである。 ${\displaystyle h:I\to \operatorname {Map} (X,Y)}$

位相

写像空間は複数の位相を持つことができます。一般的な位相はコンパクト開位相、またはそのk化です。典型的には、随伴関係が存在します

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$

したがって、これはHom関手の類似体である。（病的な空間では、この関係が成り立たない可能性がある。） ${\displaystyle \operatorname {Map} }$

滑らかな写像

多様体に対して、からへのすべての滑らかな写像からなる部分空間が存在します。それは弱位相または強位相を備えることができます ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}(M,N)\subset \operatorname {Map} (M,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

基本的な近似定理によれば、 はに対して稠密である。^[1]${\displaystyle {\mathcal {C}}_{W}^{s}(M,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}^{r}(M,N)}$ ${\displaystyle 1\leq s\leq \infty ,0\leq r<s}$

写像空間のホモトピー型

ここでの基本的な結果は、ミルナーの定理であり、 がコンパクトハウスドルフ空間であり、 がCW複体のホモトピー型を持つ場合、マッピング空間はCW複体のホモトピー型を持つというものである。^[2]${\displaystyle \operatorname {Map} (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

参考文献

1. Hirsch 1997, Ch. 2., § 2., 定理 2.6.
2. Milnor 1959, 定理 3

• ハーシュ、モリス(1997).微分位相幾何学. シュプリンガー. ISBN 0-387-90148-5。
• ミルナー、ジョン(1959). 「CW複体のホモトピー型を持つ空間について」アメリカ数学会誌. 90 (2): 272– 280. doi :10.2307/1993204. JSTOR  1993204.
• ウォール、CTC（2016年7月4日）『微分位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9781107153523。