球面三角形の角度の和は180°ではありません。球面は曲面ですが、平面ユークリッド幾何学の法則は局所的には良好な近似値となります。地球上の小さな三角形では、角度の和は180°をわずかに超える程度です。
球面三角形が上に付いた球体。

球面幾何学または球面体 （古代ギリシャ語の σφαιρικάに由来）は、球面[a]の2次元表面または高次元球面のn次元表面の幾何学です。

天文学、航海術、測地学への実際的な応用について長年研究されてきた球面幾何学と球面三角法の測定ツールは、多くの点でユークリッド平面幾何学および三角法と類似していますが、いくつかの重要な違いもあります。

球面は、3 次元ユークリッド空間に埋め込まれた表面として外的に研究することも (立体幾何学の研究の一部)、周囲の空間を参照せずに表面自体のみを扱う方法を使用して内部的に研究することもできます。

原則

平面（ユークリッド）幾何学では、点と（直線）が基本概念です。球面幾何学では、点と大円が基本概念です。しかし、楕円幾何学における同一平面上の直線とは異なり、平面上の2つの大円は2つの対心点で交差します。

外在的な三次元の図式において、大円とは球面と中心を通る任意の平面との交点である。内在的なアプローチでは、大円は測地線、すなわち、十分に近い任意の二点間の最短経路である。あるいは、ユークリッドの平面幾何学の公理に類似した（これも内在的な）公理的アプローチでは、「大円」は単に定義されていない用語であり、大円と同じく定義されていない「点」との間の基本的な関係を規定する公理が付随している。これは、点と直線を定義されていない基本概念として扱い、それらの関係を公理化するユークリッドの方法と同じである。

大円は、球面幾何学において、ユークリッド幾何学における直線（例えば、（球面）三角形の辺）と同様の論理的役割を多くの点で担っています。これは単なる類推ではありません。球面幾何学、平面幾何学、その他すべての幾何学は、距離測定に基づく幾何学という傘の下に統合することができます。ここで「直線」とは、最短経路（測地線）を意味すると定義されます。点やそのような「直線」の幾何学に関する多くの記述は、直線がそのように定義されている限り、すべての幾何学において等しく成り立ち、この理論は容易に高次元に拡張できます。しかしながら、その応用と教育は立体幾何学に結びついており、またその一般化によって平面上の直線の重要な性質の一部が失われるため、球面幾何学では通常、球面自体上のものを指すのに「直線」という用語は全く使用されません。立体幾何学の一部として展開される場合、球面周囲の空間における点、直線、そして（ユークリッド的な意味での）平面が使用されます。

球面幾何学では、角度は大円の間で定義されるため、球面三角法は多くの点で通常の三角法とは異なります。たとえば、球面三角形の内角の合計は180 度を超えます。

類似幾何学との関係

球面と平面は幾何学的に異なるため、（本質的な）球面幾何学は非ユークリッド幾何学の特徴をいくつか持ち、非ユークリッド幾何学であると説明されることもある。しかし、球面幾何学は、平行線公理がユークリッドの平面幾何学の他の公理の論理的帰結であるかどうかという古くからの問題を解決するのに十分な、本格的な非ユークリッド幾何学とは考えられていなかった。なぜなら、平行線公理は別の公理を修正する必要があるからである。この解決策は、球面幾何学と密接に関連している楕円幾何学と双曲幾何学によって見出された。これらの新しい幾何学はそれぞれ、平行線公理に異なる変更を加える。

これらの幾何学の原理は、任意の数の次元に拡張できます。

球面幾何学に関連する重要な幾何学として、実射影平面があります。これは、球面上の対心点（反対側の点のペア）を同一視することで得られます。局所的には、射影平面は球面幾何学のすべての性質を備えていますが、大域的には異なる性質を持っています。特に、射影平面は向き付け不可能、つまり片側性であり、球面とは異なり、3次元空間において交差せずに面として描くことはできません。

球面幾何学の概念は長方形の球にも適用できますが、特定の式に若干の修正を加える必要があります。

歴史

ギリシャ古代

現代に伝わる古代の最も古い数学の著作は、紀元前4世紀末に生きたピタネのアウトリュコスによる『回転球面について』（Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas）である。 [1]

球面三角法は、球面幾何学に関する本『球面論』を著したギリシャの天文学者で数学者のビテュニアのテオドシウス[2]や、球面三角法に関する本『スフェリカ』を著し、メネラウスの定理を発展させたアレクサンドリアのメネラウスなど、初期のギリシャの数学者によって研究された。[3] [4]

イスラム世界

イスラムの数学者アル＝ジャヤニーによって著された『球面の未知の弧の書』は、球面三角法に関する最初の論文と考えられています。この書には、右手三角形の公式、一般正弦定理、そして極三角形を用いた球面三角形の解法が記載されています。[5]

1463年頃に書かれたレギオモンタヌスの『三角形について』は、ヨーロッパにおける最初の純粋な三角法の著作である。しかし、ジェロラモ・カルダーノは1世紀後に、球面三角法に関する多くの資料が、アンダルシアの学者ジャービル・イブン・アフラの12世紀の著作から引用されていることを指摘した。[6]

オイラーの研究

レオンハルト・オイラーは球面幾何学に関する一連の重要な記録を出版した。

  • L. オイラー、「Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la methode des plus grands et des plus petits」、Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753)、1755、p. 233–257;オペラ オムニア シリーズ 1、vol. XXVII、p. 277–308。
  • L. オイラー、「Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la methode des plus grands et des plus petits」、Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754)、1755、p. 258–293;オペラ オムニア シリーズ 1、vol. XXVII、p. 309～339。
  • L. オイラー、De curva rectificabili in superficie sphaerica、Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15、1771、pp. 195–216。オペラ オムニア、シリーズ 1、第 28 巻、142 ～ 160 ページ。
  • L. オイラー、『De mensura angulorum Solidorum』、『Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 2』、1781 年、p. 31–54;オペラ オムニア シリーズ 1、vol. XXVI、p. 204～223。
  • L. オイラー、「問題を解決するためのパッピ アレクサンドリーニの建設」、Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 4、1783 年、p. 91–96;オペラ オムニア シリーズ 1、vol. XXVI、p. 237–242。
  • L. オイラー、Geometrica et sphaerica quaedam、サン ペテルスブール科学アカデミーの回想録、5 年、1815 年、p. 96–114;オペラ オムニア シリーズ 1、vol. XXVI、p. 344–358。
  • L. オイラー、Trigonometria sphaerica universa、ex primis principiis breviter et diluciderivata、Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 3、1782、p. 72–86;オペラ オムニア シリーズ 1、vol. XXVI、p. 224～236。
  • L. オイラー、Variae の推測超領域 triangulorum sphaericorum、Nova Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 10、1797、p. 47–62;オペラ オムニア シリーズ 1、vol. XXIX、p. 253～266。

プロパティ

球面幾何学には次のような性質がある: [7]

  • 任意の 2 つの大円は、正反対の 2 つの点で交差し、これを対蹠点と呼びます。
  • 対蹠点ではない任意の 2 つの点は、一意の大円を決定します。
  • 角度の測定の自然単位（回転に基づく）、長さの自然単位（大円の円周に基​​づく）、および面積の自然単位（球の面積に基づく）が存在します。
  • 各大円には、その対心点のペアが関連付けられています。対心点は極と呼ばれ、その大円に垂直な大円の集合の共通交点です。これは、球面上の距離測定において、大円が円、つまり中心から特定の距離にある点の軌跡であることを示しています。
  • 各点は、その点の極円と呼ばれる固有の大円に関連付けられます。極円は、球の中心を通り、指定された点を通る球の直径に垂直な平面上の大円です。

2点の対角点が定める大円上には、対心点ではない2つの点によって決まる2つの弧が存在するため、同一直線上にない3点から一意の三角形が決まるわけではない。しかし、大円の短弧を辺とする三角形のみを考える場合、以下の性質が成り立つ。

  • 三角形の角度の和は 180° より大きく 540° より小さいです。
  • 三角形の面積は、その角度の合計が 180° を超える部分に比例します。
  • 角度の合計が同じである 2 つの三角形の面積は等しい。
  • 三角形の面積には上限があります。
  • 大円を横切る 2 つの反射の合成 (積) は、それらの軸の交点のいずれかを中心とした回転として考えることができます。
  • 2 つの三角形は、そのような反射の有限積の下で対応する場合にのみ合同です。
  • 対応する角度が等しい 2 つの三角形は合同です (つまり、すべての相似な三角形は合同です)。

ユークリッドの公準との関係

「線」を大円と解釈すると、球面幾何学はユークリッドの5つの公理のうち、第2公理（「有限直線を直線上に連続的に延長する」）と第4公理（「すべての直角は互いに等しい」）の2つだけに従います。しかし、他の3つは破っています。第1公理（「任意の2点間には、それらを結ぶ唯一の線分が存在する」）とは対照的に、任意の2点間の最短経路は存在しません（球面上の北極と南極のような対蹠点は反例です）。第3公理とは対照的に、球面には任意の大きさの半径を持つ円は存在しません。そして、第5公理（平行）とは対照的に、与えられた直線と決して交わらない直線を引くことができる点は存在しません。[8]

平行線公理と同等の命題は、角度の和が180°になる三角形が存在するというものです。球面幾何学は平行線公理に反するため、球面上にはそのような三角形は存在しません。球面上の三角形の角度の和は180°(1 + 4 f )です。ここでfは、球面の表面積のうち三角形が囲む割合です。fが正の値であれば、この値は180°を超えます。

参照

注記

  1. ^ この文脈では、「球」という語は 2 次元表面のみを指し、「ボール」(または「固体球」) などの他の用語は、その 3 次元内部と組み合わせた表面に対して使用されます。

参考文献

  1. ^ Rosenfeld, BA (1988). 『非ユークリッド幾何学の歴史：幾何学的空間概念の進化』ニューヨーク：Springer-Verlag. p. 2. ISBN 0-387-96458-4。
  2. ^ 「ビテュニアのテオドシウス – ビテュニアのテオドシウスの辞書的定義」HighBeam Research . 2015年3月25日閲覧。
  3. ^ オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「アレクサンドリアのメネラウス」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
  4. ^ 「アレクサンドリアのメネラウスに関する事実、情報、写真」ハイビーム・リサーチ。 2015年3月25日閲覧。
  5. ^ セントアンドリュース大学数学・計算科学学部
  6. ^ “Victor J. Katz-Princeton University Press”. 2016年10月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2009年3月1日閲覧。
  7. ^ メサーブ、1983 年、281–282 ページ。
  8. ^ ガワーズ、ティモシー、「数学：非常に短い入門」、オックスフォード大学出版局、2002年、94および98ページ。

出典

  • メサーブ、ブルース・E.（1983）[1959]、幾何学の基礎概念、ドーバー、ISBN 0-486-63415-9

さらに読む

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