正方行列

4次の正方行列。各要素は正方行列の主対角線を形成します。例えば、上記の4×4行列の主対角線には、要素a ₁₁ = 9、a ₂₂ = 11、a ₃₃ = 4、a ₄₄ = 10が含まれています。${\displaystyle a_{ii}}$

数学において、正方行列とは行数と列数が同じ行列のことです。n行n列の行列は、位数の正方行列と呼ばれます。同じ位数の任意の2つの正方行列は、加算したり乗算したりできます。 ${\displaystyle n}$

正方行列は、せん断や回転などの単純な線形変換を表すためによく用いられます。例えば、が回転（回転行列）を表す正方行列で、 が空間内の点の位置を表す列ベクトルである場合、その積は、回転後のその点の位置を表す別の列ベクトルとなります。が行ベクトルである場合、 を用いて同じ変換を得ることができます。ここで、は の転置です。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle R\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} R^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle R}$

主対角線

要素( i = 1, ..., n )は正方行列の主対角線を形成します。これらの要素は、行列の左上隅から右下隅まで伸びる仮想線上に存在します。例えば、上記の4×4行列の主対角線には、要素a ₁₁ = 9、a ₂₂ = 11、a ₃₃ = 4、a ₄₄ = 10が含まれています。 ${\displaystyle a_{ii}}$

正方行列の右上隅から左下隅までの対角線は、反対角線または逆対角線と呼ばれます。

特別な種類

対角行列または三角行列

主対角線外のすべての要素がゼロの場合、は対角行列と呼ばれます。主対角線の下（または上）のすべての要素がゼロの場合、は上三角行列と呼ばれます（または下三角行列と呼ばれます）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

単位行列

単位行列 の大きさは、主対角線上のすべての要素が1で、その他のすべての要素が0である行列です（例： ）。 これは の位数の正方行列であり、特殊な対角行列でもあります。単位行列という用語は、任意の行列に対して となる行列乗算の性質を指します 。${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A}$$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$

可逆行列とその逆行列

正方行列が可逆行列または非特異行列であるとは、 ^{[1] [2]}を満たす行列が存在する場合を言います。存在する 場合、それは一意であり、の逆行列と呼ばれ、と表記されます。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

対称行列または歪対称行列

転置行列 に等しい正方行列、すなわち は対称行列と呼ばれます。 が の場合、は歪対称行列と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle A}$

複素正方行列 の場合、転置行列の適切な類似物は共役転置行列であり、これは の複素共役行列の転置行列として定義されます。を満たす 複素正方行列はエルミート行列と呼ばれます。 の代わりに の場合、は歪エルミート行列と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle A^{*}=-A}$ ${\displaystyle A}$

スペクトル定理によれば、実対称行列（または複素エルミート行列）は直交（またはユニタリ）な固有基底を持つ。つまり、すべてのベクトルは固有ベクトルの線形結合として表現できる。どちらの場合も、すべての固有値は実数である。^[3]

明確なマトリックス

対称n × n行列は、すべての非零ベクトルに対して、によって示される 関連する二次形式が正の 値のみ（それぞれ負の値のみ、負の値と正の値の両方）をとる場合、正定値（それぞれ負定値、不定値）と呼ばれます。^[4]二次形式が非負の値のみ（それぞれ非正の値のみ）をとる場合、対称行列は半正定値（それぞれ半負定値）と呼ばれます。したがって、半正定値でも半負定値でもないときに、行列は不定値になります。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }$$

対称行列が正定値行列であるためには、その固有値はすべて正でなければならない。^[5]右の表は2×2行列の2つの可能性を示している。

代わりに2つの異なるベクトルを入力として与えると、Aに関連付けられた双線形形式が得られる: ^[6] $${\displaystyle B_{A}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {y} .}$$

直交行列

直交行列とは、列と行が直交単位ベクトル（すなわち、直交ベクトル）である実数要素を持つ正方行列です。同様に、行列Aの転置行列がその逆行列に等しいとき、行列Aは直交行列と呼ばれます。 これは、 Iが単位行列である ことを意味します。 $${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$$ $${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$$

直交行列Aは、必然的に逆行列（逆行列A ⁻¹ = A ^T）、ユニタリ行列（A ⁻¹ = A *）、および正規行列（A * A = AA *）である。任意の直交行列の行列式は+1または-1である。特殊直交群は、 行列式が+1であるn × n直交行列から構成される。 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

直交行列の複素類似物はユニタリ行列です。

正規行列

実正方行列または複素正方行列は、のとき正規行列と呼ばれます。 実正方行列が対称行列、歪対称行列、または直交行列である場合、それは正規行列です。複素正方行列がエルミート行列、歪エルミート行列、またはユニタリ行列である場合、それは正規行列です。正規行列が興味深いのは、主に、上に挙げた種類の行列を含み、スペクトル定理が成り立つ最も広いクラスの行列を形成するためです。^[7]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

オペレーション

トレース

正方行列Aのトレースtr( A ) は、その対角成分の和である。行列の乗算は可換ではないが、2つの行列の積のトレースは因子の順序に依存しない。 これは行列の乗算の定義から直接導かれる。 また、行列のトレースはその転置行列のトレースと等しい。すなわち、 $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$$

行列式

示された行列によって与えられるの線形変換。この行列の行列式は、右側の緑色の平行四辺形の面積が1であるため、-1です。ただし、写像はベクトルの反時計回りの向きを時計回りの向きに変えるため、向きを反転します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

正方行列の行列式 またはは、行列の特定の性質を表す数値です。行列式が非零のとき、かつその場合に限り、行列は逆行列となります。行列式の絶対値は、単位正方形（または立方体）の像の面積（）または体積（）に等しく、その符号は対応する線型写像の向きに対応します。つまり、向きが保存されるときかつその場合に限り、行列式は正となります。 ${\displaystyle \det(A)}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

2×2行列の行列式は次のように与えられる。3 ×3行列の行列式は6つの項から構成される（サラスの法則）。より長めのライプニッツの公式は、これら2つの公式をすべての次元に一般化する。^[8]$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$

正方行列の積の行列式は、それらの行列式の積に等しい。^[9] 任意の行の倍数を他の行に加えても、任意の列の倍数を他の列に加えても、行列式は変化しない。2つの行または2つの列を交換すると、行列式に-1が掛けられて変化する。^[10]これらの操作を使用して、任意の行列を下（または上）三角行列に変換することができ、そのような行列では、行列式は主対角線上の要素の積に等しくなる。これにより、任意の行列の行列式を計算する方法が提供される。最後に、ラプラス展開は、行列式を小行列、つまりより小さな行列の行列式で表す。^[11]この展開は、行列式の再帰的定義（1×1行列の行列式（その唯一の要素）、あるいは0×0行列の行列式（1）を出発点とする）に用いることができ、これはライプニッツの公式と等価であることがわかる。行列式は、クラメールの規則を用いて線形システムを解くために用いることができ、2つの関連する正方行列の行列式の除算は、システムの各変数の値に等しい。^[12]$${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$

固有値と固有ベクトル

を満たす 数λと非ゼロベクトルは、それぞれの固有値、固有ベクトル と呼ばれます。^{[13] [14]}数λがn × n行列Aの固有値である場合、かつその場合A − λ I _nは逆行列がなく、次と等価です。 ^{[15]行列式}det( XI _n − A )の評価によって与えられる不定式Xの 多項式p _Aは、 Aの特性多項式と呼ばれます。これは、次数nの単項多項式です。したがって、多項式方程式p _A (λ) = 0には最大でn 個の異なる解、つまり行列の固有値があります。^{[16]これらは、} Aの要素が実数であっても複素数になることがあります。ケーリー・ハミルトンの定理によれば、p _A ( A ) = 0、つまり、行列自体をそれ自身の特性多項式に代入した結果は、ゼロ行列となります。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$$

参照

• カルタン行列
• ケーリー・ハミルトン定理

注記

1. ブラウン 1991、定義 I.2.28
2. ブラウン 1991、定義 I.5.13
3. ホーン＆ジョンソン 1985、定理2.5.6
4. ホーン＆ジョンソン 1985、第7章
5. ホーン＆ジョンソン 1985、定理7.2.1
6. ホーン＆ジョンソン 1985、例4.0.6、169ページ
7. Artin, Algebra、第2版、Pearson、2018年、セクション8.6。
8. ブラウン 1991、定義 III.2.1
9. ブラウン 1991、定理 III.2.12
10. ブラウン 1991、系 III.2.16
11. ミルスキー 1990、定理1.4.1
12. ブラウン 1991、定理 III.3.18
13. Eigen はドイツ語とオランダ語で「所有する」という意味です。
14. ブラウン 1991、定義 III.4.1
15. ブラウン 1991、定義 III.4.9
16. ブラウン 1991、系 III.4.10

参考文献

• ブラウン、ウィリアム C. (1991)、「行列とベクトル空間」、ニューヨーク、ニューヨーク：マルセル・デッカー、ISBN 978-0-8247-8419-5
• ホーン、ロジャー A. ;ジョンソン、チャールズ R. (1985)、『マトリックス分析』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6
• ミルスキー、レオニード（1990）『線形代数入門』クーリエ・ドーバー出版、ISBN 978-0-486-66434-7

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの正方行列に関連するメディア