平方根

xの（主）平方根の表記。

たとえば、√ 25 = 5です。25 = 5 ⋅ 5、つまり5 ² (5 の 2 乗) です。

数学において、数xの平方根とは、となる数yのことです。言い換えると、その平方（数 y にそれ自身を掛け合わせた結果、つまり）がx となる数yのことです。^[1]たとえば、 4 と −4 は であるため、 の平方根です。 ${\displaystyle y^{2}=x}$ ${\displaystyle y\cdot y}$ ${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$

すべての非負の 実数 x は、一意の非負の平方根を持ちます。これは主平方根または単に平方根（定冠詞付き、下記参照）と呼ばれ、 で表されます。ここで、記号「 」は根号^[2]または基数と呼ばれます。たとえば、9 の主平方根が 3 であることを表わすには、 と書きます。平方根が考慮されている項（または数）は被導関数と呼ばれます。被導関数は根号の下の数または式であり、この場合は 9 です。非負のxの場合、主平方根は のように指数表記で書くこともできます。 ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ ${\displaystyle x^{1/2}}$

すべての正の数 xには、 （正）と（負）の2つの平方根があります。これらの2つの平方根は、±記号を用いてより簡潔に と表記できます。正の数の主平方根は、その2つの平方根のうちの1つに過ぎませんが、「平方根」という呼称は、主平方根を指すのによく用いられます。^{[3] [4]}${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$

負の数の平方根は複素数の枠組みの中で議論することができます。より一般的には、平方根は数学的対象の「平方」という概念が定義されているあらゆる文脈において考察することができます。これには関数空間や正方行列など、その他の数学的構造が含まれます。

歴史

YBC 7289 粘土板

イェール大学バビロニアコレクションの粘土板YBC 7289は、紀元前1800年から紀元前1600年の間に作成され、 2本の対角線が交差する正方形の上に、それぞれ1;24,51,10と0;42,25,35の60進数が表示されています。^[5] (1;24,51,10) 60進数は1.41421296に相当し、小数点以下5桁まで正確です (1.41421356...) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

リンド数学パピルスは紀元前1650年に作成された、それ以前のベルリンパピルスとその他の文書（おそらくカフンパピルス ）の写本であり、エジプト人が反比例法で平方根を抽出した方法を示しています。^[6]

古代インドでは、平方と平方根の理論的、応用的な側面に関する知識は、少なくとも紀元前800～500年頃（おそらくはるか以前）のスルバ・スートラ^{と同じくらい古いものでした。 [7]} 2と3の平方根の非常に良い近似値を求める方法が、バウダヤナ・スルバ・スートラに示されています。^[8] 紀元前600年頃のアパスタンバは、小数点以下5桁まで正しい の驚くほど正確な値を与えています。^{[9] [10] [11]}アーリヤバータは、アーリヤバーティヤ（セクション2.4）で、桁数の多い数の平方根を求める方法を与えています。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$

古代ギリシャ人には、完全な平方でない正の整数の平方根は常に無理数、つまり 2 つの整数の比として表すことができない数（つまり、 と正確に書くことができない数、ここでmとnは整数）であることが知られていました。これはユークリッドの定理 X, 9であり、 紀元前 380 年頃のテアイテトスによるものであることはほぼ確実です。^[12] 2 の平方根 などの無理数の発見は、ピタゴラス学派と広く関連しています。^{[13] [14]一部の説明では}ヒッパソスが発見したとされていますが、一次資料の少なさと同胞団の秘密主義のため、特定の発見者は不明です。^{[15] [16]これはちょうど、}辺の長さが 1の正方形の対角線の長さです。 ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$

紀元前202年から紀元前186年にかけて漢代初期に書かれた中国の数学書『算用論』では、平方根は「余剰と不足を除数として組み合わせ、不足分子に余剰分母を掛け、余剰分子に不足分母を掛け、それらを被除数として組み合わせる」と述べられており、過不足法を用いて平方根を近似している。^[17]

複雑なRで書かれた平方根の記号は、レギオモンタヌス（1436–1476）によって発明されました。ジェロラモ・カルダーノの『大いなる法』では、平方根を表す基数としてRが用いられました。^[18]

数学の歴史家DE スミスによると、平方根を求めるアーリヤバタの方法は、 1546 年にカタネオによってヨーロッパで初めて導入されました。

ジェフリー・A・オークスによれば、アラブ人は「جذر」（jaḏr、jiḏr、ǧaḏr 、 ǧiḏrなどと様々な形で音訳される）の最初の文字であるjīm/ĝīm（ج ）を、その頭文字（ﺟ）で数の上に置いて平方根を表すのに用いた。jīmという文字は現在の平方根の形に似ている。この用法は12世紀末のモロッコの数学者イブン・アル＝ヤサミンの著作にまで遡る。^[19]

平方根を表す記号「√」が初めて印刷物に使用されたのは1525年、クリストフ・ルドルフの『コス』である。^[20]

性質と用途

関数f ( x ) = √ xのグラフ。垂直な準線を持つ放物線の半分で構成されています

主要な平方根関数（通常は単に「平方根関数」と呼ばれる）は、非負の実数の集合をそれ自身に写像する関数です。幾何学的に言えば、平方根関数は正方形の面積をその辺の長さに写像します。 ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

xの平方根は、x が2 つの完全平方の比として表せる有理数である場合に限り、有理数です。(これが無理数であることの証明については2 の平方根を、すべての非平方自然数の証明については二次無理数を参照してください。) 平方根関数は、有理数を代数数に変換します。代数数は有理数の スーパーセットです。

すべての実数xについて、（絶対値を参照）。 $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

すべての非負実数xとy に対して 、$${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$ $${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

平方根関数は、すべての非負のxに対して連続であり、すべての正のxに対して微分可能である。平方根関数をfとすると、その導関数は次のように与えられる。$${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

x = 0付近のテイラー級数は| x | ≤ 1で収束し、次のように表される。 ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

非負数の平方根は、ユークリッドノルム（および距離）の定義、ならびにヒルベルト空間などの一般化において用いられます。また、確率論および統計学において用いられる標準偏差という重要な概念を定義します。さらに、二次方程式の解の公式においても主要な用途を有します。平方根に基づく二次体および二次整数環は代数学において重要であり、幾何学においても用いられています。平方根は、他の数式や多くの物理法則にも頻繁に登場します。

正の整数の平方根

正の数には、正と負の2つの平方根があり、これらは互いに反対の関係にあります。正の整数の平方根について話す場合、通常は正の平方根を指します。

整数の平方根は代数的整数、より具体的には二次整数です。

正の整数の平方根は、その素因数の平方根の積です。なぜなら、積の平方根は因数の平方根の積だからです。 因数分解において奇数乗となる素数の平方根だけが必要なので、より正確には、素因数分解の平方根は次のようになります。${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ $${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

小数展開として

完全平方数（例：0、1、4、9、16）の平方根は整数です。それ以外の場合、正の整数の平方根は無理数であり、したがって小数表現では循環小数を持ちません。最初のいくつかの自然数の平方根の小数近似値は、次の表に示されています

他の記数法の拡張として

前述の通り、完全平方数（例：0、1、4、9、16）の平方根は整数です。それ以外の場合、正の整数の平方根は無理数であり、標準的な位取り記数法では重複する数字を持ちません。

小さな整数の平方根は、SHA-1とSHA-2の両方のハッシュ関数の設計で使用され、秘密の数字を提供します。

周期連分数として

無理数を単純な連分数として研究した結果は、  1780年頃にジョゼフ・ルイ・ラグランジュ によって得られました。ラグランジュは、任意の非平方正整数の平方根を連分数として表すと周期的であることを発見しました。つまり、連分数では、特定の部分分母のパターンが無限に繰り返されます。ある意味で、これらの平方根は最も単純な無理数と言えるでしょう。なぜなら、それらは単純な整数の繰り返しパターンで表すことができるからです。

上で使用した角括弧記法は、連分数の短縮形です。より分かりやすい代数形式で書くと、11の平方根[3; 3, 6, 3, 6, ...]の単純連分数は、次のようになります。$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}$$

ここで、2桁のパターン{3, 6}は部分分母において繰り返し現れます。11 = 3 ² + 2なので、上記は次の一般化連分数とも等しくなります。

$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}$$

計算

正の数の平方根は一般に有理数ではないため、有限小数または循環小数として表すことはできません。したがって、一般に小数形式で表された平方根を計算しようとすると、近似値しか得られませんが、精度が徐々に上がる近似値の列を得ることは可能です

ほとんどのポケット電卓には平方根キーが付いています。コンピュータのスプレッドシートやその他のソフトウェアも、平方根の計算によく使用されます。ポケット電卓には通常、ニュートン法（多くの場合、初期推定値は1）などの効率的なルーチンが実装されており、正の実数の平方根を計算します。^{[21] [22]}対数表や計算尺を使って平方根を計算する場合、 lnとlog ₁₀が自然対数と10を底とする対数で ある等式を利用できます。 $${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$

試行錯誤^[23]によって、推定値を二乗し、十分な精度に達するまで推定値を増減させることができます。この手法では、等式を用いるのが賢明です。等式を用いると、推定値xをある量cだけ 調整し、調整値の二乗を元の推定値とその二乗で測定できるからです。 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ $${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$

手作業で最も一般的な平方根の反復計算法は、「バビロニア法」もしくは、この方法を初めて提唱した1世紀のギリシャの哲学者アレクサンドリアのヘロンにちなんで「ヘロン法」と呼ばれています。 ^{[24]この方法は}、ニュートン–ラプソン法を関数y = f ( x ) = x ² − aに適用した場合に得られるのと同じ反復スキームを使用しており、任意の点における傾きがdy / dx = f ′ ( x ) = 2 xであるという事実を利用しています。ただし、この方法よりも何世紀も古いものです。^[25]このアルゴリズムは、結果を新しい入力として繰り返すたびに実際の平方根に近い数値が得られる単純な計算を繰り返すというものです。その理由は、x が非負の実数aの平方根に対して過大評価されている場合、 a / x は過小評価されるため、これら 2 つの数値の平均はどちらよりも良い近似値になるからです。しかし、算術平均と幾何平均の不等式は、この平均値が常に平方根の過大評価となることを示しています（下記参照）。そのため、この平均値は新たな過大評価値として処理を繰り返す際に利用されます。この処理は、各反復処理の後に、過大評価値と過小評価値が互いに近づくことで収束します。xを求めるには：

1. 任意の正の開始値xから開始します。 aの平方根に近いほど、必要な精度を達成するために必要な反復回数は少なくなります。
2. x をxとa / xの平均( x + a / x ) / 2に置き換えます。
3. この平均値をxの新しい値として使用して、手順 2 から繰り返します。

つまり、 の任意の推定値がx ₀で、x _{n + 1} = ( x _n + a / x _n ) / 2とすると、各x _nは の近似値となり、 nが小さい場合よりも大きい場合の方が近似値となります。a が正の場合、収束は2次式で、限界に近づくにつれて、正しい桁数は各反復でほぼ2倍になります。ただし、a = 0 の場合、収束は線形であるため、この場合は反復は必要ありません。 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$

この恒等式を用いることで 、正の数の平方根の計算は、範囲[1, 4)内の数の平方根の計算に簡略化できます。これにより、反復法の初期値を平方根に近い値で求めることが簡単になり、多項式近似や区分線形近似を使用することができます。 $${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$

n桁の精度で平方根を計算するのにかかる時間の複雑さは、2 つのn桁の数字を乗算するのにかかる時間の複雑さと同じです。

平方根を計算するもう 1 つの便利な方法は、n = 2に適用されるシフト n 乗根アルゴリズムです。

平方根関数の名称はプログラミング言語によって異なりますが、sqrt^[26]（多くの場合「スクワート」^[27]と発音されます）が一般的で、C言語やC++、JavaScript、PHP、Pythonなどの派生言語で使用されます。

負の数と複素数の平方根

正または負の数の平方は正であり、0 の平方は 0 です。したがって、負の数には実数の平方根はありません。ただし、複素数と呼ばれる、負の数の平方根の解を含む、より包括的な数の集合を扱うことができます。これは、i (特に電気の分野ではi が伝統的に電流を表すため、 jで表されることもある) で表され、i ² = −1と定義される虚数単位と呼ばれる新しい数を導入することによって行われます。この表記法を使用すると、i を−1 の平方根と考えることができますが、(− i ) ² = i ² = −1ともなり、したがって− iも −1 の平方根です。慣例により、−1 の主平方根はiです。または、より一般的には、x が任意の非負数である場合、− xの主平方根は $${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

右辺（およびその負数）は確かに− xの平方根である。なぜなら$${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

すべての非ゼロ複素数zに対して、 w ² = zとなる2 つの数w が正確に存在します。つまり、 zの主平方根(以下で定義) とその負数です。

複素数の主平方根

複素数zの2乗根から6乗根まで​​の幾何学的表現。極形式re ^iφ で表され、 r = | z  |かつφ = arg zとする。zが実数の場合、φ = 0またはπとなる。主根は黒で示されている。

平方根の定義を見つけ、一貫して主値と呼ばれる単一の値を選択できるようにするには、まず、任意の複素数を平面上の点として捉え、直交座標系で表現できることに注目する。同じ点は、極座標系を用いて次のペアとして再解釈できる。ここで、は原点からの点の距離、は原点から点への直線が正の実軸（ ）となす角度である。複素解析では、この点の位置は慣例的に 次のように表記される。${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle (x,y),}$ ${\displaystyle (r,\varphi ),}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle re^{i\varphi }.}$ $${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$ の主平方根は次のように定義されます。 主平方根関数は、非正の実軸を分岐。が非負の実数である場合（ の場合に限ります）、 の主平方根はです。言い換えれば、非負の実数の主平方根は通常の非負の平方根と同じです。重要なのは、例えば の場合（つまり の場合）、主平方根は です が、 を使用すると、代わりに別の平方根が生成されます${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$ ${\displaystyle z=-2i}$ ${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$ $${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

主平方根関数は、非正実数集合上を除いてどこでも正則である（ただし、正負の実数上では連続ではない）。上記のテイラー級数は、${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<1.}$

上記は三角関数を使って表現することもできます。$${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

代数式

iの平方根

実数部と虚数部を用いて数を表す場合、主平方根として次の式を使用できます。^{[28] [29]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

ここで、y ≥ 0の場合にはsgn( y ) = 1、それ以外の場合にはsgn( y ) = −1である。^[30]特に、元の数の虚数部とその平方根の主値は同じ符号を持つ。平方根の主値の実数部は常に非負である。

たとえば、± iの主平方根は次のように与えられます。

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

注釈

以下では、複素数zとwは次のように表すことができます

• ${\displaystyle z=|z|e^{i\theta _{z}}}$
• ${\displaystyle w=|w|e^{i\theta _{w}}}$

ここで、および。 ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }$ ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }$

複素平面における平方根関数の不連続性のため、以下の法則は一般には 当てはまりません。

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$
  主平方根の反例: z = −1かつw = −1
  この等式は、${\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$
  主平方根の反例: w = 1かつz = −1
  この等式は、${\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$
  主平方根の反例: z = −1 )
  この等式は、${\displaystyle \theta _{z}\neq \pi }$

同様の問題は、分岐切断を持つ他の複素関数でも発生します。たとえば、複素対数と、一般には成り立たない関係log z + log w = log( zw )またはlog( z ^* ) = log( z ) ^*などです。

これらの法則の 1 つを誤って仮定すると、いくつかの誤った「証明」の基礎となります。たとえば、次の証明は−1 = 1を示しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}}$$

３番目の等式は正当化できない（無効な証明を参照）。^{[31] ：第６章、第１節、第２節+1 = −1 という誤り}√ の意味を変えて、これがもはや主平方根（上記参照）を表さないようにし、含まれる平方根の枝を選択することでこれを成立させることができる。 枝に+ i が含まれる場合、左側は 枝に− i が含まれる場合のいずれかになり、右側は になる 。最後の等式は、√の再定義で枝を選択した結果である。 ${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}$ $${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}$$ $${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}$$ $${\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}$$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}$

n平方根と多項式根

の平方根は、となる数として定義され、次のように一般化されています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=x}$

の立方根とは、となる数であり、次のように表される。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{3}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

nが2より大きい整数である場合、のn乗根はとなる数であり、次のように表される。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{n}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

任意の多項式 pに対して、pの根とはp ( y ) = 0となる数yのことである。例えば、xのn乗根は多項式 ( y )の根である。${\displaystyle y^{n}-x.}$

アベル・ルフィニの定理によれば、一般に、5 次以上の多項式の根はn乗根 で表すことはできません。

行列と演算子の平方根

Aが正定値行列または演算子である場合、 B ² = Aを満たす正定値行列または演算子Bが1つだけ存在する。このとき、 A ^1/2 = Bと定義する。一般に、行列は複数の平方根、あるいは無限個の平方根を持つことがある。例えば、2 × 2 の単位行列は無限個の平方根を持つが^[32] 、そのうち正定値は1つだけである。

積分領域（フィールドを含む）では

整域の各元には、最​​大 2 個の平方根があります。2 つの平方根の差、すなわちu ² − v ² = ( u − v )( u + v )は、乗法の可換性を用いて証明されます。uとvが同じ元の平方根である場合、u ² − v ² = 0 となります。零約数は存在しないため、これはu = vまたはu + v = 0を意味し、後者は 2 つの根が互いの加法逆数であることを意味します。言い換えると、元aの平方根u が存在する場合、 aの平方根はuと−uのみとなります。整域における 0 の平方根は、 0 自身のみです。

標数2の体では 、各元は自身の加法逆元であるため、平方根を1つ持つか、全く持たないかのどちらかです。つまり、− u = uとなります。もし、標数2の有限体であれば、すべての元は唯一の平方根を持ちます。他の標数を持つ体では、0以外の元は、上で説明したように2つの平方根を持つか、全く持たないかのどちらかです。

奇数の素数 pが与えられ、ある正の整数eに対してq = p ^eとします。q個の元を持つ体F _qの非零元は、F _qに平方根を持つ場合、平方剰余と呼ばれます。そうでない場合、平方非剰余です。平方剰余は( q − 1)/2 個あり、平方非剰余は( q − 1)/2 個あります。どちらのクラスでも、零は数えられません。平方剰余は乗法に関して群を形成します。平方剰余の性質は数論で広く用いられています。

リング全般

整域とは異なり、任意の（単位）環における平方根は、符号を除いて一意である必要はありません。例えば、8を法とする整数環（可換だが約数は0）では、元1には±1と±3という4つの異なる平方根が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

もう一つの例は、零因子を持たないが可換ではない四元 数環である。ここで、元 −1 には、 ± i、± j、± kを含む無限個の平方根が存在する。実際、 −1の平方根の集合は、${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ $${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

0の平方根は、0か零因子のいずれかです。したがって、零因子が存在しない環においては、0は一意に0です。しかし、零因子を持つ環においては、0の平方根が複数存在する場合があります。例えば、nの任意の倍数においては、0の平方根は0です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$

平方根の幾何学的構成

長さと単位長さを仮定して長さを構築する${\displaystyle x={\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle a}$

テオドロスの螺旋は、斜辺が√17の三角形まで伸びる。

ジェイ・ハンビッジによるルート長方形を用いた連続平方根の構築

正の数の平方根は通常、面積が与えられた数に等しい正方形の一辺の長さとして定義されます。しかし、必ずしも正方形である必要はありません。2つの相似な平面ユークリッド物体のうち、一方の面積がもう一方の面積のa倍である場合、それらの線形サイズの比はaです。 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

平方根はコンパスと定規を使って作図できます。ユークリッド（紀元前300年頃活躍）は『原論』の中で、二つの量の幾何平均の作図を命題II.14と命題VI.13という二つの異なる箇所で示しています。aとbの幾何平均は なので、b = 1とするだけで作図できます。 ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

この構成はデカルトの『幾何学』でも示されています(2 ページの図 2 を参照)。ただし、デカルトは独創性を主張しておらず、彼の聴衆はユークリッドにかなり精通していたはずです。

ユークリッドの第 6 巻の 2 番目の証明は、相似三角形の理論に基づいています。長さa + bの線分 AHBで、 AH = a、HB = bとします。 AB を直径とする円を描き、 H における垂線と円の 2 つの交点のうちの 1 つを C とし、長さ CH をhとします。次に、タレスの定理と、相似三角形によるピタゴラスの定理の証明と同様に、三角形 AHC は三角形 CHB に相似です (実際、どちらも三角形 ACB に相似ですが、これは必須ではありませんが、ピタゴラスの定理の証明の本質です)。つまり、 AH:CH は HC:HB、つまりa / h = h / bとなり、このことから、クロス乗算によりh ² = ab、最終的に となります。線分 AB の中点 O をマークし、長さ( a + b )/2の半径 OC を描くと、明らかに OC > CH、つまり( a = bの場合にのみ等しくなります) となり、これは2 つの変数の算術幾何平均不等式であり、前述のように、古代ギリシャにおける「ヘロン法」の理解の基礎となります。 ${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$

幾何学的作図の別の方法として、直角三角形と帰納法が用いられます。が作図されると、辺の長さが1で斜辺の長さが の直角三角形が作図されます。このようにして平方根を連続的に作図すると、上図に示すテオドロスの螺旋が得られます。 ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$

関連項目

• アポトーム（数学）
• 立方根
• 高速逆平方根
• 関数平方根
• 整数の平方根
• ネストされた根号
• n乗根
• 1の根号
• 連分数を含む二次方程式を解く
• 平方根アルゴリズム
• 平方根和問題
• 平方根法 - 人口に応じて投票権を配分する方法Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 量子ゲート § NOTゲートの平方根 (√NOT)

注釈

1. ゲルファンド、120ページ、2016年9月2日アーカイブ、Wayback Machine
2. 「平方と平方根」www.mathsisfun.com . 2020年8月28日閲覧。
3. ジル, デニス・G.; シャナハン, パトリック (2008). 『複素解析入門とその応用』（第2版）. ジョーンズ＆バートレット・ラーニング. p. 78. ISBN 978-0-7637-5772-4 2016年9月1日にオリジナルからアーカイブされました。78ページの抜粋。Wayback Machineで2016年9月1日にアーカイブされました
4. Weisstein, Eric W. 「Square Root」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月28日閲覧。
5. 「YBC 7289の分析」ubc.ca . 2015年1月19日閲覧。
6. Anglin, WS (1994).『数学：簡潔な歴史と哲学』ニューヨーク: Springer-Verlag.
7. Seidenberg, A. (1961). 「幾何学の儀式的起源」 .正確科学史アーカイブ. 1 (5): 488– 527. doi :10.1007/bf00327767. ISSN  0003-9519. S2CID  119992603. Seidenberg (pp. 501-505) は次のように主張する。「それは使用と起源の区別である。」[類推により]「ケプラーは太陽の周りの惑星の軌道を記述するために楕円を必要とした。しかし、彼は楕円を発明したわけではなく、2000年近くも存在していた曲線を利用したのだ。」このように、Seidenberg は次のように主張する。「写本やテキストの年代は、それが明らかにする慣習の年代を示すことはできないが、それでもなお、その証拠は写本に含まれている。」ザイデンバーグは1875年のティボーの言葉を引用している。「『スルヴァスートラ』が編纂された時期については、『カルパスートラ』の年代について私たちが提供できる情報以上に正確な情報を提供することは不可能である。しかし、『カルパスートラ』と『スルヴァスートラ』が現在私たちが目にしている形で編纂された時期がどのようなものであろうと、それらは、それ以前の長い時代において実践されてきた犠牲の儀式を体系的に整理した記述に過ぎないことを念頭に置く必要がある。」最後に、ザイデンバーグは次のように要約している。「1899年、ティボーは『スルヴァスートラ』の編纂年代を紀元前4世紀または3世紀と推定した（これははるかに古い資料の成文化を指していると理解されている）。」
8. ジョセフ、第8章。
9. Dutta, Bibhutibhusan (1931). 「ヒンドゥー教における「根」の語源について」 .アメリカ数学月刊誌. 38 (7): 371– 376. doi :10.2307/2300909. JSTOR  2300909. 2024年3月30日閲覧。
10. Cynthia J. Huffman、Scott V. Thuong (2015). 「教室で学ぶ古代インドのロープ幾何学 - 2の平方根の近似」www.maa.org . 2024年3月30日閲覧。測定値をその3分の1ずつ増やし、さらにその3分の1をさらに4分の1ずつ増やし、その4分の1の34分の1を差し引く。これは、特別な量が超過している値である。
11. JJ O'Connor; EF Robertson (2020年11月). "Apastamba". www.mathshistory.st-andrews.ac.uk . セントアンドリュース大学数学・統計学部、スコットランド. 2024年3月30日閲覧。
12. ヒース、サー・トーマス・L. (1908). 『元素の十三巻』第3巻. ケンブリッジ大学出版局. p. 3.
13. クレイグ・スモリンスキー (2007). 『数学史：補足』（イラスト・注釈付き）. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 49. ISBN 978-0-387-75480-2。49ページの抜粋
14. ブライアン・E・ブランク、スティーブン・ジョージ・クランツ (2006). 微積分学：単変数 第1巻（イラスト版）. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. 71ページ. ISBN 978-1-931914-59-8。71ページの抜粋
15. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. pp. 51–53. ISBN 978-0470525487
16. スティルウェル、ジョン (2010).『数学とその歴史』（第3版）. ニューヨーク：シュプリンガー. pp. 14–15. ISBN 978-1441960528.
17. ダウベン（2007年）、210頁。
18. “The Development of Algebra - 2”. maths.org . 2014年11月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年1月19日閲覧。
19. Oaks, Jeffrey A. (2012). 中世アラビア語代数における代数的象徴主義(PDF) (論文). Philosophica. p. 36. 2016年12月3日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。
20. マンゲル、アルベルト (2006). 「紙に書かれた数字：数字とページの二重性」. 『数字の人生』 . タリック, SA ISBN 84-86882-14-1。
21. パークハースト、デイビッド・F. (2006).環境科学のための応用数学入門. シュプリンガー. pp. 241. ISBN 9780387342283。
22. ソロー、アニタ・E. (1993). 『発見による学習：微積分のための実験マニュアル』ケンブリッジ大学出版局. pp. 48. ISBN 9780883850831。
23. マイク・エイトキン、ビル・ブロードハースト、スティーブン・フラドキー (2009). 生物学者のための数学. ガーランド・サイエンス. p. 41. ISBN 978-1-136-84393-8 2017年3月1日にオリジナルからアーカイブされました。41ページの抜粋。Wayback Machineで2017年3月1日にアーカイブされました
24. ヒース、サー・トーマス・L. (1921). 『ギリシャ数学史第2巻』オックスフォード: クラレンドン・プレス. pp. 323–324.
25. Muller, Jean-Mic (2006). 初等関数：アルゴリズムと実装. Springer. pp.  92– 93. ISBN 0-8176-4372-9。第5章、92ページ 2016年9月1日、Wayback Machineにアーカイブ
26. “Function sqrt”. CPlusPlus.com . The C++ Resources Network. 2016. 2012年11月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年6月24日閲覧。
27. オーバーランド、ブライアン (2013). 『C++ for the Impatient』Addison-Wesley. p. 338. ISBN 9780133257120 OCLC  850705706。2016年9月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年6月24日閲覧
28. アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・A. (1964). 数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック. クーリエ・ドーバー出版. p. 17. ISBN 0-486-61272-4 2016年4月23日にオリジナルからアーカイブされました。 、セクション3.7.27、17ページ。2009年9月10日にWayback Machineにアーカイブされました
29. クック、ロジャー（2008年）『古典代数学：その性質、起源、そして用途』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p.59、ISBN 978-0-470-25952-82016年4月23日にオリジナルからアーカイブされました。
30. この符号関数は、 0における値が通常の符号関数と異なります
31. マクスウェル, EA (1959). 『数学における誤謬』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780511569739。
32. _{ミッチェル、ダグラス・W.、「ピタゴラス数列を用いたI²}の平方根の生成」、 Mathematical Gazette 87、2003年11月、499-500ページ

参考文献

• ジョセフ・W・ドーベン（2007年）「中国の数学 I」。ビクター・J・カッツ編『エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学』プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-11485-9。
• ゲルファンド、イスラエル・M.、シェン、アレクサンダー（1993年）。代数学（第3版）。ビルクハウザー社。120ページ。ISBN 0-8176-3677-3。
• ジョセフ、ジョージ（2000年）『孔雀の紋章』プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00659-8。
• スミス、デイヴィッド(1958).数学史第2巻. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-20430-7。
• セリン、ヘレイン（2008年）、非西洋文化における科学技術医学史百科事典、シュプリンガー、Bibcode :2008ehst.book.....S、ISBN 978-1-4020-4559-2。

外部リンク

• アルゴリズム、実装、その他 – Paul Hsieh の平方根ウェブページ
• 手動で平方根を求める方法
• AMS特集コラム「ガリレオの算術」トニー・フィリップス著 – ガリレオが平方根をどのように見つけたかについてのセクションが含まれています