超重力

理論物理学において、超重力（超重力理論、略してSUGRA ）は、超対称性と一般相対論の原理を組み合わせた現代的な場の理論であり、極小超対称標準模型などの非重力超対称理論とは対照的である。超重力は局所超対称性のゲージ理論である。超対称性（SUSY）生成元はポアンカレ代数と超代数（超ポアンカレ代数と呼ばれる）と共に形成されるため、ゲージ理論としての超対称性は重力を自然に生じさせる。^[1]

グラビトン

量子重力に対する他の共変的アプローチと同様に、^[2]超重力はスピン2の場を含み、その量子は重力子である。超対称性は、重力子場が超パートナーを持つことを要求する。この場はスピン3/2を持ち、その量子はグラビティーノである。グラビティーノ場の数は超対称性の数に等しい。

歴史

ゲージ超対称性

局所超対称性の最初の理論は、1975年にディック・アーノウィットとプラン・ナスによって提唱され^{[3] 、}ゲージ超対称性と呼ばれました。

超重力

4次元超重力の最初のモデル（この表記なし）は、1973年にドミトリ・ヴァシリエヴィチ・ヴォルコフとヴィアチェスラフ・A・ソロカによって定式化され、^[4]現実的なモデルの可能性にとって自発的な超対称性の破れの重要性を強調しました。4次元超重力の最小バージョン（破れていない局所超対称性を持つ）は、1976年にダン・フリードマン、セルジオ・フェラーラ、ピーター・ファン・ニューウェンハウゼンによって詳細に構築されました。^[5] 2019年に3人はこの発見により基礎物理学の特別なブレークスルー賞を受賞しました。 ^[6]スピン3/2場が一貫して結合しているかどうかという重要な問題は、デザーとズミノによるほぼ同時の論文で解決され、^{[7]は最小4次元モデルを独立に提案しました。これはすぐに、さまざまな}次元数で追加の（N）超対称性を含む多くの異なる理論に一般化されました。 N>1の超重力理論は、通常、拡張超重力（SUEGRA）と呼ばれます。一部の超重力理論は、次元縮退によって特定の高次元超重力理論と関連していることが示されました（例えば、N=1、11次元の超重力は、T ⁷上で次元縮退し、4次元、ゲージなし、N = 8の超重力理論になります）。結果として得られた理論は、カルツァとクラインが1919年に構築した5次元重力理論から、カルツァ＝クライン理論と呼ばれることもあります。これは、円上で次元縮退すると、その4次元の無質量モードが重力と結合した電磁気学を記述するからです。

mSUGRA

mSUGRAは、極小超重力を意味します。 1982年にAli Chamseddine、Richard Arnowitt、Pran Nathによって行われた、超ヒッグス機構によって超対称性（SUSY）が破れるN = 1超重力フレームワーク内での粒子相互作用の現実的なモデルの構築。現在ではまとめて極小超重力大統一理論（mSUGRA GUT）として知られており、重力は隠れたセクターの存在を通じてSUSYの破れを媒介します。mSUGRAは、超ヒッグス効果の結果としてのソフトなSUSYの破れ項を自然に生成します。直接的な結果として、くりこみ群方程式（RGE）による電弱対称性の放射による破れが起こります。大統一のスケールから低エネルギー現象を決定するために4つの入力パラメータと符号のみを必要とするという予測力のため、mSUGRAは素粒子物理学で広く研究されています。

11D: 最大のSUGRA

これらの超重力理論の一つである11次元理論は、万物の理論の最初の有力候補として大きな注目を集めました。この興奮は4つの柱に基づいていましたが、そのうち2つは現在では大きく信用を失っています。

ヴェルナー・ナームは^[8]、単一の重力子と一致する最大の次元数として11次元を示し、さらに次元数が増えるとスピン数が2を超える粒子が現れる。しかし、これらの次元のうち2つが時間的であれば、12次元ではこれらの問題は回避される。イツァーク・バーズ^[要出典]はこの点を強調している。
1981年にエド・ウィッテンは標準モデルのゲージ群を含むのに十分な大きさの最小の次元数が11であることを示した[9]。すなわち強い相互作用ではSU(3)、電弱相互作用ではSU(2)×U(1)である。[要出典] 標準モデルのゲージ群を任意^の次元数の超重力に埋め込むための多くの^手法^が^{存在し、これには}タイプIおよびヘテロティック弦理論の必須ゲージ対称性や、タイプII弦理論で特定のカラビ・ヤウ多様体上のコンパクト化によって得られるものなどがある。Dブレーンもゲージ対称性を制御する。
1978年、ウジェーヌ・クレメール、ベルナール・ジュリア、ジョエル・シェルク（CJS）は、11次元超重力理論の古典作用を発見した^{[10] 。これは今日でも、局所超対称性を持ち、スピンが2より大きい場を持たない唯一の既知の11次元古典理論である。}^[要出典]他の既知で量子力学的に等価ではない11次元理論は、古典運動方程式を適用するとCJS理論に帰着する。しかし、1980年代半ば、ベルナール・ド・ウィットとヘルマン・ニコライは、局所SU(8)不変性を持つD = 11超重力理論で代替理論を発見した。これは明らかにローレンツ不変ではないが、古典運動方程式に頼ることなく4次元理論に次元的に帰着するため、多くの点で優れている。

1980年、ピーター・フロイントとMA・ルービンは、11次元から超対称性生成元をすべて保存するコンパクト化は、マクロ的な4次元または7次元のみを残し、残りはコンパクトにする2つの方法があることを示した。^[11]コンパクトでない次元は反ド・ジッター空間を形成する必要がある。コンパクト化の方法は多数考えられるが、フロイント・ルービンのコンパクト化はすべての超対称性変換に対する不変性により作用を保存する。

最終的に、最初の 2 つの結果はそれぞれ 11 次元を確立し、3 番目の結果は理論を特定するものであり、最後の結果は観測された宇宙が 4 次元であるように見える理由を説明したようです。

理論の詳細の多くは、ピーター・ファン・ニューウェンハウゼン、セルジオ・フェラーラ、ダニエル・Z・フリードマンによって具体化されました。

SUGRA時代の終焉

11次元超重力に対する当初の期待は、様々な欠陥が発見され、モデルの修復も試みられたため、すぐに冷めてしまった。問題点としては、次のようなものがあった。 ^[要出典]

当時知られていた標準模型を含むコンパクト多様体は超対称性とは両立せず、クォークやレプトンを収容できなかった。そこで、コンパクト次元を7次元球面（対称群 SO(8)）、あるいは7次元球面（対称群SO(5) × SU(2)）に置き換えるという提案があった。
最近まで、実験で観測される物理ニュートリノは質量がなく、左巻きであると考えられていました。これは標準模型のカイラリティと呼ばれる現象です。コンパクト化からカイラルフェルミオンを構築することは非常に困難でした。コンパクト化された多様体は特異点を持つ必要がありましたが、特異点近傍の物理は1980年代後半にオービフォールド共形場理論が登場するまで理解されていませんでした。
超重力モデルは一般的に、4次元において非現実的なほど大きな宇宙定数を導き出しますが、この定数を除去することは困難であるため、微調整が必要となります。これは今日でも依然として問題となっています。
理論の量子化は、量子場理論のゲージ異常を引き起こし、理論の矛盾を引き起こした。その後、物理学者たちはこれらの異常を打ち消す方法を学んできた。

これらの困難の一部は、超弦理論を含む10次元理論に移行することで回避できる可能性がある。しかし、10次元に移行すると、11次元理論の独自性が失われる。^[12]

10次元理論の核心的なブレークスルーは、第一の超弦革命として知られる、マイケル・B・グリーン、ジョン・H・シュワルツ、デイヴィッド・グロスによる、ゲージ対称性を持ち、すべてのゲージ異常と重力異常が打ち消される10次元超重力モデルは3つしかないという実証であった。これらの理論は、E ₈の2つのコピーの直積である群SO(32)とに基づいて構築された。今日では、例えばDブレーンを用いることで、他の10次元理論にもゲージ対称性を導入できることが分かっている。 ^[13] $E_{8}\times E_{8}$

第二次超弦革命

10次元理論、そしてその量子完成をもたらす弦理論に対する当初の熱狂は、1980年代末までに冷めてしまった。コンパクト化できるカラビ＝ヤウ模型はあまりにも多く、ヤウ自身が推定していたよりもはるかに多かった。これは2005年12月の第23回国際ソルベイ物理学会議でヤウ自身が認めたことだ。どれも標準模型に完全には適合しなかったが、様々な方法で十分な努力をすれば、それに近づくことは可能だと思われた。さらに、弦摂動論の適用範囲を超えて理論を理解する者は誰もいなかった。

1990年代初頭は比較的静かな時期でしたが、いくつかの重要なツールが開発されました。例えば、様々な超弦理論が「弦の双対性」によって関連していることが明らかになりました。この双対性の中には、あるモデルにおける弱い弦結合（摂動論的）物理と、別のモデルにおける強い弦結合（非摂動論的）物理を関連付けるものがあります。

そして第二の超弦革命が起こった。ジョセフ・ポルチンスキーは、6年前に発見した Dブレーンと呼ばれる、弦理論におけるあまり知られていない物体が、超重力理論で知られるpブレーンの弦理論版に相当することに気づいた。弦理論の摂動は、これらの pブレーンを制限しなかった。超対称性のおかげで、超重力におけるpブレーンは弦理論の限界をはるかに超えた理解を得ることができた。

この新たな非摂動的なツールを武器に、エドワード・ウィッテンをはじめとする多くの人々は、摂動的な弦理論のすべてを、ウィッテンが M理論と名付けた単一の理論における異なる状態の記述として示すことができました。さらに彼は、M理論の長波長極限、すなわち理論内の物体に関連付けられた量子波長が11次元のサイズよりもはるかに大きく現れる場合、11次元の超重力記述子が必要であると主張しました。しかし、この記述子は10年前の最初の超弦革命、そして2次元膜と5次元膜とともに、もはや支持されていませんでした。

したがって、超重力は一周して、弦理論、M理論、およびそれらの時空次元を低下させるコンパクト化の特徴を理解するための共通の枠組みを使用します。

超弦理論との関係

「低エネルギー極限」という用語は、いくつかの10次元超重力理論を指しています。これらは、弦理論の質量ゼロのツリーレベル近似として現れます。弦理論の真の有効場理論（打ち切りではなく）は、ほとんど存在しません。弦理論の双対性のため、予想されている11次元M理論は、11次元超重力を「低エネルギー極限」として持つ必要があります。しかし、これは必ずしも弦理論/M理論が超重力の唯一のUV完成であることを意味するわけではありません。 ^[要出典]超重力研究は、これらの関係とは独立して有用です。

4D北= 1 スグラ

SUGRA本体に進む前に、一般相対論に関する重要な詳細をいくつかまとめておきましょう。4次元微分可能多様体Mとその上にSpin(3,1)主束があります。この主束は局所ローレンツ対称性を表しています。さらに、多様体上にベクトル束Tがあり、ファイバーは4つの実次元を持ち、Spin(3,1)の下でベクトルとして変換されます。接束TM ^{[ which? ]}からTへの可逆な線型写像があります。この写像が四周波です。局所ローレンツ対称性には、ゲージ接続、つまりスピン接続が関連付けられています。

以下の議論は、SUSYの下では明らかに共変ではない成分表記ではなく、超空間表記を用いて行います。SUGRAには実際には多くの異なるバージョンが存在し、それらはねじれテンソルへの作用と制約が異なるという意味で非同値ですが、超ビエルバインとスピン接続のフィールドの再定義を行うことで、あるバージョンから別のバージョンに移行できるという点で最終的には同値です。

4D N=1 SUGRAでは、4|4実微分可能超多様体Mを持ちます。つまり、4実ボゾン次元と4実フェルミオン次元を持ちます。非超対称の場合と同様に、M上にはSpin(3,1)主バンドルがあります。M上にはR ^4|4ベクトルバンドルTがあります。Tのファイバーは、局所ローレンツ群の下で次のように変換されます。4実ボゾン次元はベクトルとして変換され、4実フェルミオン次元はマヨラナスピノルに変換されます。このマヨラナスピノルは、複素左手ワイルスピノルとその複素共役右手ワイルスピノルとして再表現できます（これらは互いに独立ではありません）。以前と同様に、スピン接続もあります。

ここでは以下の表記法を使用します。空間インデックス（ボゾンおよびフェルミオンの両方）は M、N、... で示されます。ボゾン空間インデックスは μ、ν、... で示され、左手ワイル空間インデックスは α、β、... で示され、右手ワイル空間インデックスは、、... で示されます。T のファイバーのインデックスは、のようにハットされる点を除いて、同様の表記法に従います。詳細については、ファンデルワールデン表記法を参照してください。。スーパービアベインは、スピン接続はで示されます。逆スーパービアベインはで示されます。 ${\dot {\alpha }}$ ${\dot {\beta }}$ ${\hat {M}},{\hat {\alpha }}$ $M=(\mu ,\alpha ,{\dot {\alpha }})$ $e_{N}^{\hat {M}}$ $\omega _{{\hat {M}}{\hat {N}}P}$ $E_{\hat {M}}^{N}$

超ビエルバインとスピン接続は、実在条件を満たすという意味で実在する。

e_{N}^{\hat {M}}(x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=e_{N^{*}}^{{\hat {M}}^{*}}(x,\theta ,{\overline {\theta }})

ここで、、および、およびです。

\mu ^{*}=\mu

\alpha ^{*}={\dot {\alpha }}

{\dot {\alpha }}^{*}=\alpha

\omega (x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=\omega (x,\theta ,{\overline {\theta }})

共変微分は次のように定義される。

D_{\hat {M}}f=E_{\hat {M}}^{N}\left(\partial _{N}f+\omega _{N}[f]\right)

。

超多様体上で定義される共変外微分は、超次数化される必要がある。これは、2つのフェルミオン指数を交換するたびに、-1ではなく+1の符号係数を取ることを意味する。

R 対称性の有無はオプションですが、R 対称性が存在する場合、完全な超空間上の積分関数は R チャージが 0 で、カイラル超空間上の積分関数は R チャージが 2 である必要があります。

カイラル超体Xはを満たす超体である。この制約が矛盾しないためには、いくつかの係数cに対してとなる積分可能性条件が必要である。 ${\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}X=0$ $\left\{{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}},{\overline {D}}_{\hat {\dot {\beta }}}\right\}=c_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\dot {\gamma }}}{\overline {D}}_{\hat {\dot {\gamma }}}$

非SUSY一般相対論とは異なり、少なくともフェルミオン方向に関しては、ねじれは非ゼロでなければなりません。平坦な超空間においてさえ、既にです。SUGRAのあるバージョン（もちろん唯一のものではありませんが）では、ねじれテンソルに対して以下の制約があります。 $D_{\hat {\alpha }}e_{\hat {\dot {\alpha }}}+{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}e_{\hat {\alpha }}\neq 0$

T_{{\hat {\underline {\alpha }}}{\hat {\underline {\beta }}}}^{\hat {\underline {\gamma }}}=0

T_{{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}^{\hat {\mu }}=0

T_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}=0

T_{{\hat {\alpha }}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}=2i\sigma _{{\hat {\alpha }}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}

T_{{\hat {\mu }}{\hat {\underline {\alpha }}}}^{\hat {\nu }}=0

T_{{\hat {\mu }}{\hat {\nu }}}^{\hat {\rho }}=0

ここで、は、インデックスが左または右の Weyl スピノルのいずれかにまたがることを意味する省略表記です。 ${\underline {\alpha }}$

超四分円の超行列式は、M の体積係数を与えます。同様に、体積 4|4-超行列式が得られます。 $\left|e\right|$ $e^{{\hat {\mu }}=0}\wedge \cdots \wedge e^{{\hat {\mu }}=3}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=1}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=2}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=1}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=2}$

超微分同相写像を複素化すると、、となるゲージが存在する。結果として得られるカイラル超空間の座標は x と Θ である。 $E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\mu }=0$ $E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\beta }=0$ $E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\dot {\beta }}=\delta _{\dot {\alpha }}^{\dot {\beta }}$

Rは、超極域とスピン接続から導出可能なスカラー値のカイラル超場である。f が任意の超場である場合、は常にカイラル超場となる。 $\left({\bar {D}}^{2}-8R\right)f$

カイラル超場Xを持つSUGRA理論の作用は次のように与えられる。

S=\int d^{4}xd^{2}\Theta 2{\mathcal {E}}\left[{\frac {3}{8}}\left({\bar {D}}^{2}-8R\right)e^{-K({\bar {X}},X)/3}+W(X)\right]+c.c.

ここで、Kはケーラーポテンシャル、Wは超ポテンシャル、はカイラル体積係数です。 ${\mathcal {E}}$

平坦超空間の場合とは異なり、ケーラーポテンシャルまたは超ポテンシャルのいずれかに定数を加えることは物理的に可能となる。ケーラーポテンシャルへの定数シフトは有効プランク定数を変化させ、超ポテンシャルへの定数シフトは有効宇宙定数を変化させる。有効プランク定数はカイラル超場Xの値に依存するため、プランク定数を一定にするには超ビアバインを再スケール（場の再定義）する必要がある。これはアインシュタイン座標系と呼ばれる。

北= 4次元の8つの超重力

N = 8 超重力は、重力と有限個の場を伴う最も対称的な量子場理論です。これは、11D 超重力の次元削減から、7 次元のサイズを 0 にすることで見つけることができます。スピン 2 とスピン -2 の間には 8 つの半ステップがあるため、この理論では 8 つの超対称性があります (重力子はこの理論で最もスピンが高く、スピン 2 の粒子です)。超対称性が増えると、粒子には 2 よりも高いスピンを持つスーパーパートナーがいることになります。2 よりも高いスピンを持つ唯一の矛盾しない理論は、無限の数の粒子 (弦理論や高スピン理論など) を伴うものです。スティーブンホーキングは、著書『時間の簡潔な歴史』で、この理論が万物の理論になるのではないかと推測しました。しかし、後年、この理論は放棄され、弦理論が優先されました。21 世紀になって、この理論が有限である可能性から、再び関心が集まっています。

高次元SUGRA

高次元SUGRAは、一般相対論の高次元かつ超対称的な一般化です。超重力は11次元までの任意の次元で定式化できます。高次元SUGRAは、4次元を超える超重力に焦点を当てています。

スピノル内の超電荷の数は、時空の次元とシグネチャに依存します。超電荷はスピノル内で発生します。したがって、任意の次元の時空では超電荷の数の制限を満たすことはできません。この制限を満たす理論的な例をいくつか挙げます。

12次元二時間理論
11次元最大超重力
10次元超重力理論
- タイプIIA超重力：N = (1, 1)
- タイプIIB超重力：N = (2, 0)
- タイプI超重力：N = (1, 0)
9次元超重力理論
- 10dから9dまでの超重力の最大値
- T双対性
- N = 1 ゲージ超重力

最も関心を集めている超重力理論は、2以上のスピンを含んでいません。これは特に、ローレンツ変換によって2以上の階数の対称テンソルに変換される場を含まないことを意味します。しかしながら、相互作用する高次スピン場の理論の整合性は、現在非常に活発な関心を集めている分野です。

参照

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外部リンク

Wikiquoteにおける超重力に関する引用