トーリックコード

トーリック符号は、 2次元スピン格子上で定義されたトポロジカル 量子誤り訂正符号であり、安定化符号の一例である。^[1]これは、量子二重モデルの中で最も単純かつよく研究されている。^{[2]これは、}トポロジカル秩序の最も単純な例でもある— Z _{2トポロジカル秩序（1991年に}Z ₂スピン液体の文脈で初めて研究された）である。^{[3] [4]}トーリック符号は、特定の極限におけるZ ₂格子ゲージ理論 と考えることもできる。 ^{[5]これは、}アレクセイ・キタエフによって導入された。

トーリックコードは、周期境界条件によってトーラスの形状を呈することからその名が付けられています。これらの条件はモデルに並進不変性を与え、解析的研究に役立ちます。しかし、実験的な実現では、システムを2次元表面に埋め込むために、開放境界条件が必要となる場合もあります。結果として得られるコードは、一般的に平面コードと呼ばれます。これはほとんどの場合、トーリックコードと同一の挙動を示しますが、すべての場合ではありません。

誤り訂正と計算

トーリックコードは、通常正方格子が選ばれる二次元格子上に定義され、各辺にスピン1/2の自由度が与えられます。これらは周期的となるように選ばれます。安定化演算子は、格子の各頂点とプラケット^[要定義]（または面、すなわち双対格子の頂点）^[要説明]の周囲のスピン上に、以下のように定義されます。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle A_{v}=\prod _{i\in v}\sigma _{i}^{x},\,\,B_{p}=\prod _{i\in p}\sigma _{i}^{z}.}$

ここで、頂点に接する辺を、プラケットを囲む辺を で表す。コードの安定化空間とは、すべての安定化が自明に作用する空間であり、したがって、この空間内の 任意の状態に対して、${\displaystyle i\in v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle i\in p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle A_{v}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p.}$

トーリック符号の場合、この空間は4次元であるため、2量子ビットの量子情報を保存することができます。これは、独立した安定化演算子の数を考慮することで証明できます。エラーが発生すると、状態は安定化空間から外れ、上記の条件が成立しない頂点とプラケットが生成されます。これらの違反の位置が符号の シンドロームであり、エラー訂正に使用できます。

トーリックコードの一部。頂点とプラケット、そしてそれらの安定子の定義に用いられるスピンが強調表示されている。

トーリックコードのような位相コードのユニークな性質は、安定状態の破れを準粒子として解釈できることである。具体的には、コードが以下の状態にある場合、 ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle A_{v}|\phi \rangle =-|\phi \rangle }$ 、

頂点 上には、エニオンと呼ばれる準粒子が存在すると言える。同様に、 の破れは、プラケット上のいわゆるエニオンと関連している。したがって、安定化空間はエニオン真空に対応する。単一のスピンエラーは、エニオンのペアを生成し、格子内を輸送する。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle m}$

エラーによってエニオンペアが生成され、エニオンが移動すると、作用を受けたすべてのリンクから構成される2つの経路を想像することができます。その後、エニオンが出会い、消滅すると、この経路はループを描きます。ループが位相的に自明であれば、保存された情報には影響しません。この場合、エニオンの消滅によって、その生成と転送に関係するすべてのエラーが修正されます。しかし、ループが位相的に自明でない場合、エニオンの再消滅によって状態は安定空間に戻りますが、保存された情報に対して論理演算が実行されます。したがって、この場合、エラーは修正されるのではなく、統合されます。

トーラスの位相的に非自明なループ。これらに沿ってエニオンを動かすと、格納されている量子ビットに論理パウリ演算子が実装されます。

各スピンにおいてビットエラーと位相エラーがそれぞれ確率pで独立して発生するノイズモデルを考えてみましょう。pが低い場合、生成点からそれほど遠く移動していないエニオンのペアがまばらに分布します。エニオンが生成されたペアを（同値類まで）特定し、それらを再消滅させてエラーを除去することで、エラー訂正を実現できます。しかし、 pが増加すると、位相的に非自明なループを形成するリスクを負うことなくエニオンをペアリングする方法が曖昧になります。これにより閾値確率が得られ、その下ではエラー訂正はほぼ確実に成功します。ランダムボンドイジングモデルへのマッピングにより、この臨界確率は約11%であることが分かっています。^[6]

他のエラーモデルも検討され、閾値が求められる。これまでに研究されたすべてのケースにおいて、コードはハッシュ境界を飽和させることがわかった。ビットエラーが位相エラーよりも頻繁に発生する、あるいはその逆のバイアスエラーなど、一部のエラーモデルでは、最適な閾値を達成するために正方格子以外の格子を使用する必要があります。^{[7] [8]}

これらの閾値は上限値であり、効率的なアルゴリズムが見つからなければ意味がありません。最もよく使われているアルゴリズムは、 最小重み完全マッチングです。^[9]独立したビットエラーとフリップエラーを持つノイズモデルに適用すると、約10.5%の閾値が達成されます。これは最大値11%にわずかに届かない程度です。しかし、脱分極ノイズのように、ビットエラーと位相エラーの間に相関がある場合、マッチングはあまりうまく機能しません。

トーリックコード内に格納された論理情報に対して量子計算を実行する手段が検討されており、コードの特性はフォールトトレランスを提供する。「ホール」、つまりスタビライザが適用されない頂点やプラケットを用いてスタビライザ空間を拡張することで、多くの量子ビットをコードにエンコードできることが示されている。しかし、ユニタリーゲートの普遍的な集合はユニタリー演算ではフォールトトレランスを実現できないため、量子計算を実現するには追加の技術が必要となる。例えば、量子ビットとして置換された際に必要な追加ゲートをテレポートするために用いられるtidBitsと呼ばれるエンコードされた量子スタブを介してマジックステートを準備することで、普遍的な量子計算を実現できる。さらに、マジックステートの準備はフォールトトレランスである必要があり、これはノイズの多いマジックステートにおけるマジックステート蒸留によって実現できる。この原理に基づく測定に基づく量子計算方式が発見されており、そのエラー閾値は2次元アーキテクチャにおいて最も高い。^{[10] [11]}

ハミルトニアンと自己修正

トーリックコードの安定化演算子は準局所的であり、2次元格子上で互いに近接するスピンにのみ作用するため、次のハミルトニアンを定義することは非現実的ではない。

${\displaystyle H_{\rm {TC}}=-J_{e}\sum _{v}A_{v}-J_{m}\sum _{p}B_{p},\,\,\,J_{e},J_{m}>0.}$

このハミルトニアンの基底状態空間は、コードの安定化空間である。励起状態はエニオンの状態に対応し、エネルギーはその数に比例する。したがって、局所的な誤差はギャップによってエネルギー的に抑制され、ギャップは局所的な摂動に対して安定であることが示されている。^[12]しかし、このような摂動の動的効果は、依然としてコードに問題を引き起こす可能性がある。^{[13] [14]}

このギャップは、コードに熱エラーに対する一定の耐性を与え、ある臨界時間内であればほぼ確実に訂正可能となる。この時間は とともに増加するが、この結合を任意に増加させることは非現実的であるため、ハミルトニアンによる保護には依然として限界がある。 ${\displaystyle J}$

トーリックコード、あるいは平面コードを、完全に自己修正可能な量子メモリにする方法がしばしば検討されている。自己修正とは、ハミルトニアンがエラーを無限に自然に抑制し、熱力学的極限で寿命が発散することを意味する。トーリックコードでは、エニオン間に長距離相互作用が存在する場合にのみ、これが可能であることが分かっている。^{[15] [16]}これらの実現に向けた提案が実験室でなされている^[17]。もう一つのアプローチは、モデルを高次元に一般化し、準局所相互作用のみで4次元において自己修正を可能にすることである。^[18]

エニオンモデル

前述のように、いわゆる準粒子と準粒子は、それぞれモデルの頂点とプラケットに関連付けられています。これらの準粒子は、その編組効果の非自明性から、エニオンとして記述できます。具体的には、どちらの種類のエニオンも自身に対してボソン的であり、2つの またはの編組効果はないため、との完全なモノドロミーはの位相をもたらします。このような結果はボソン統計にもフェルミオン統計にも一致しないため、エニオン的です。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -1}$

準粒子のエニオン相互統計は、位相的に非自明なループによって実行される論理演算を実証します。エニオンのペアを作成し、その一方を位相的に非自明なループ（上図のトーラス上に青色で示されているもの）を周回させてからペアが再消滅することを考えてみましょう。状態は安定化空間に戻されますが、ループは格納されている量子ビットの1つに対して論理演算を実行します。エニオンを同様に上の赤色のループに通すと、論理演算も発生します。エニオンを編組する際に生じる位相は、これらの演算が可換ではなく、むしろ反可換であることを示しています。したがって、これらは格納されている量子ビットの1つに対する論理パウリ演算子とパウリ演算子として解釈できます。もう一方の量子ビット上の対応する論理パウリ演算子は、青いループに続くエニオンと赤いループに続くエニオンに対応します。エニオンとが平行経路を通過する場合、編組は発生しません。したがって、位相は発生せず、対応する論理演算は可換です。これらは異なる量子ビットに作用する操作を形成するので、これは当然の結果です。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -1}$

とエニオンはどちらも対で生成できることから、これらの準粒子はどちらも反粒子であることは明らかです。したがって、2つのエニオンからなる複合粒子は真空と等価です。なぜなら、真空はそのような対を生成することができ、そのような対は真空と消滅するからです。したがって、これらの複合体はボソン統計を持ちます。なぜなら、その編み込みは常に完全に自明だからです。2つのエニオンの複合体も同様に真空と等価です。このような複合体の生成はエニオンの融合と呼ばれ、その結果は融合規則で表すことができます。この場合、融合規則は以下の形をとります。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle e\times e=1,\,\,\,m\times m=1.}$

ここで は真空を表す。 と の合成は自明ではない。したがって、これはモデルにおいて別の準粒子を構成し、 と表記されることもある。この準粒子は融合則に従う。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle e\times m=\psi .}$

エニオンの編組統計から、2つの の任意の1回の交換は構成要素と の完全なモノドロミーを伴うため、 の位相が生じることがわかります。これは、のフェルミオン的自己統計を意味します。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \psi }$

基底状態と励起

ハミルトニアンは固有値を持つ可換射影子の合計であるため、基底状態はすべての単一のスター演算子とプラケット演算子の +1 固有状態である 状態です。${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle |\psi _{GS}\rangle }$

${\displaystyle A_{s}|\psi _{GS}\rangle =+1|\psi _{GS}\rangle \quad \forall s}$

${\displaystyle B_{p}|\psi _{GS}\rangle =+1|\psi _{GS}\rangle \quad \forall p}$

これは、すべてのローカル制約が満たされている「フラストレーションのない」基底状態です。

基底状態を超える励起はこれらの条件の違反に相当します。

• 頂点sに電荷(または電子粒子)が存在する場合。${\displaystyle A_{s}=-1}$
• プラケットpに磁気渦(またはm 粒子) が存在する場合。${\displaystyle B_{p}=-1}$

これらの励起は、「弦」演算子の両端にペアで生成されます。経路に沿って演算子の弦を適用すると、その両端にe粒子が生成されます。双対格子上の経路に沿って演算子の弦を適用すると、その両端にm粒子が生成されます。励起状態のエネルギーはこのような破れの数に比例し、ギャップのあるエネルギースペクトルをもたらします。これらの粒子は、非自明な編み込み統計を持つため、 エニオンの例となります。${\displaystyle \sigma ^{z}}$ ${\displaystyle \sigma ^{x}}$

準粒子の相互統計

トーリックコード、そして一般的な位相的秩序の特徴は、その準粒子励起が非自明な編組統計を示すことである。電荷（e）と磁束（m ）はそれぞれ個別にはボソンであるが、互いに対しては非自明な相互統計を持つ。具体的には、それらは相互セミオンである。e粒子をm粒子の周りを反時計回りに一周断熱運動させると、系の波動関数に-1の位相が与えられる。これはアハラノフ・ボーム効果の位相的類似物であり、電磁ベクトルポテンシャルの役割は、他の準粒子の非局所的存在によって担われる。

この性質は、安定演算子と粒子を生成する弦演算子の代数構造から直接導かれる。この議論は次のように理解できる。

1. 準粒子の作成:すべての安定化演算子によって消滅する基底状態|Ψ ₀ ⟩から始めます (すべてのs、pに対して)。 ${\displaystyle A_{s}=+1}$ ${\displaystyle B_{p}=+1}$

• プラケットpに定常磁束 ( m ) を生成するには、パウリX行列の弦演算子 を、遠方のプラケットqからpまでの双対格子上の経路に沿って適用する。これにより、プラケット安定子の符号が-1 に反転する。${\displaystyle W_{m}(p)}$ ${\displaystyle C_{m}}$ ${\displaystyle B_{p}}$
• 電荷 ( e ) は、パウリZ行列の弦演算子を適用することで、経路に沿って移動します。Z演算子の閉ループ は、e粒子を生成し、それを閉経路Cに沿って移動させ、その後消滅させることに対応します。${\displaystyle L_{e}(C)}$

2. 編み込み過程：静止したm粒子が存在するプラケットpを囲む閉ループC内でe電荷を移動させる過程を考える。系の最終状態は、 m粒子を含む状態にループ演算子を適用することで与えられる。 ${\displaystyle L_{e}(C)}$

   ${\displaystyle |\Psi _{\text{final}}\rangle =L_{e}(C)|m\rangle =L_{e}(C)W_{m}(p)|\Psi _{0}\rangle }$ 

3. 位相の代数的起源:重要な洞察は、ループ演算子とストリング演算子の間の交換関係から得られます。 ${\displaystyle L_{e}(C)}$ ${\displaystyle W_{m}(p)}$

• ${\displaystyle L_{e}(C)}$ ループCを形成するエッジ上のZ演算子の積です。
• ${\displaystyle W_{m}(p)}$ パスを形成するエッジ上のX演算子の積です。${\displaystyle C_{m}}$
• ループCとパスは必ず1つの辺で交差する。この辺をjとする。${\displaystyle C_{m}}$
• 任意の辺i ≠ jについて、ループの演算子と文字列の演算子は交換可能である。しかし、交差辺jでは、演算子は反交換である。${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Z_{j}X_{j}=-X_{j}Z_{j}}$

この単一の反交換のため、演算子全体も反交換になります。

   ${\displaystyle L_{e}(C)W_{m}(p)=-W_{m}(p)L_{e}(C)}$ 

4. 位相係数の導出:これを最終状態の式に代入します。

   ${\displaystyle |\Psi _{\text{final}}\rangle =L_{e}(C)W_{m}(p)|\Psi _{0}\rangle =-W_{m}(p)L_{e}(C)|\Psi _{0}\rangle }$ 

演算子はZ演算子の閉ループである。このような演算子は、ループ内のすべての頂点sに対する頂点安定子の積として表すことができる。 ^[19]基底状態|Ψ0⟩_はすべての固有値+1を持つ固有状態であるため、ループ演算子は基底状態を変更しない：。したがって、最終状態は次のようになる。 ${\displaystyle L_{e}(C)}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle L_{e}(C)|\psi _{0}\rangle =|\psi _{0}\rangle }$

   ${\displaystyle |\Psi _{\text{final}}\rangle =-W_{m}(p)|\Psi _{0}\rangle =-|m\rangle }$ 

系は初期状態（プラケットpにおける単一のm粒子）に戻るが、その波動関数は位相因子-1を獲得する。この結果は、m粒子を囲むループCの正確な形状に依存しないため、位相的である。この非自明な相互統計は、トーリックコードに存在する位相的秩序の基本的な特徴であり、このような系をフォールトトレラントな量子情報処理に用いるという提案の基礎となっている。^[20]${\displaystyle Z_{2}}$

トーラス上の基底状態の縮退

トーラス上では、局所的な制約とだけでは基底状態を一意に定義できません。非自明な位相幾何学により、ハミルトニアンと可換でありながら基底状態部分空間内では非自明に作用する非局所演算子の存在が許容されます。これらは論理演算子、あるいはウィルソンループと呼ばれます。 ${\displaystyle A_{s}=1}$ ${\displaystyle B_{p}=1}$

論理演算子: ウィルソンループとトフーフトループ

トーラスには、2つの独立した縮退不可能なループ（またはサイクル）があり、これらはしばしば（例えば「水平」）と（例えば「垂直」）と表記されます。これらのループを囲むパウリ演算子の列に対応する4つの論理演算子を定義できます。 ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

1. 電気ウィルソンループ ( )${\displaystyle W^{(e)}}$ : これらは、収縮できないループに沿った演算子の積です。 ${\displaystyle \sigma ^{z}}$

   *    
   *   ${\displaystyle W_{1}^{(e)}=\prod _{i\in C_{1}}\sigma _{i}^{z}}$ ${\displaystyle W_{2}^{(e)}=\prod _{i\in C_{2}}\sigma _{i}^{z}}$ 

2. 磁気トフーフトループ（）${\displaystyle W^{(m)}}$ ：これらは、 および で示される双対格子上の非収縮ループに沿った演算子の積であり、それぞれおよびと交差します。 ${\displaystyle \sigma ^{x}}$ ${\displaystyle C_{1}^{*}}$ ${\displaystyle C_{2}^{*}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$

   *    
   *   ${\displaystyle W_{1}^{(m)}=\prod _{i\in C_{1}^{*}}\sigma _{i}^{x}}$ ${\displaystyle W_{2}^{(m)}=\prod _{i\in C_{2}^{*}}\sigma _{i}^{x}}$ 

これらのループ演算子はすべてハミルトニアンと交換します。例えば、ループ演算子は、その経路上の各リンクの「端」にある2つのスター演算子と反交換します。経路は閉ループであるため、隣接するすべてのスター演算子と2回反交換し、結果として交換が成立します。磁気ループ演算子とプラケット演算子についても同様の議論が成り立ちます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W_{1}^{(e)}}$

論理演算子の代数

基底状態の縮退の鍵は、これらの論理演算子間の交換関係にあります。

• 同じタイプの演算子は常に交換可能です:および。${\displaystyle [W_{i}^{(e)},W_{j}^{(e)}]=0}$ ${\displaystyle [W_{i}^{(m)},W_{j}^{(m)}]=0}$
• 異なるサイクルを囲むループは交差しないため、可換です。

   ${\displaystyle [W_{1}^{(e)},W_{1}^{(m)}]=0}$ 
   ${\displaystyle [W_{2}^{(e)},W_{2}^{(m)}]=0}$ 

• 重要なのは、対応する周期を囲む電気ループと磁気ループが、正確に1つの量子ビットで交差することです。例えば、ループとデュアルループは必ず1回交差します。${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}^{*}}$

との交換関係を調べてみましょう。 ${\displaystyle W_{1}^{(e)}}$ ${\displaystyle W_{2}^{(m)}}$ ${\displaystyle W_{1}^{(e)}W_{2}^{(m)}=\left(\prod _{i\in C_{1}}\sigma _{i}^{z}\right)\left(\prod _{j\in C_{2}^{*}}\sigma _{j}^{x}\right)}$

2つの演算子列は、ループとが交差する1つの量子ビットを除くすべての量子ビットで交換されます。その交差点では、 となります。このような反交換は1つしかないため、演算子全体は反交換となります。 ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}^{*}}$ ${\displaystyle \sigma ^{z}\sigma ^{x}=-\sigma ^{x}\sigma ^{z}}$

${\displaystyle W_{1}^{(e)}W_{2}^{(m)}=-W_{2}^{(m)}W_{1}^{(e)}\quad \implies \quad \{W_{1}^{(e)},W_{2}^{(m)}\}=0}$

同様に、2 番目のサイクルでは次のようになります。

${\displaystyle \{W_{2}^{(e)},W_{1}^{(m)}\}=0}$

4重縮退基底状態の構築

2つの演算子ペア と があり、それぞれが論理量子ビットのパウリ演算子（例えば ）の代数に従います。これら2つのペアは独立に作用する（互いに可換である）ため、2つの独立した論理量子ビットを記述します。 ${\displaystyle (W_{1}^{(e)},W_{2}^{(m)})}$ ${\displaystyle (W_{2}^{(e)},W_{1}^{(m)})}$ ${\displaystyle Z_{L}\equiv W^{(e)},X_{L}\equiv W^{(m)}}$

2つの独立した量子ビットからなる系は次元状態空間を持つ。これは、トーラス上のトーリック符号の基底状態部分空間が4重退していることを意味する。 ${\displaystyle 2\times 2=4}$

これら 4 つの状態を明示的に構築できます。

1. 任意のs、pに対して を満たす基底状態 から始めます。これを電気演算子の+1固有状態として定義しましょう。 ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle A_{s}=1}$ ${\displaystyle B_{p}=1}$

   ${\displaystyle W_{1}^{(e)}|\psi _{0}\rangle =+1|\psi _{0}\rangle }$ 
   ${\displaystyle W_{2}^{(e)}|\psi _{0}\rangle =+1|\psi _{0}\rangle }$ 

2. 磁気トフーフトループ演算子を作用させることで、他の3つの直交基底状態を生成できます。は と反交換するため、 を作用させると の固有値が+1から-1に反転します。 ${\displaystyle W_{2}^{(m)}}$ ${\displaystyle W_{1}^{(e)}}$ ${\displaystyle W_{1}^{(e)}}$

   *    . この状態は の固有値を持ちます。${\displaystyle |\psi _{1}\rangle =W_{2}^{(m)}|\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle (-1,+1)}$ ${\displaystyle (W_{1}^{(e)},W_{2}^{(e)})}$ 
   *    . この状態は の固有値を持ちます。${\displaystyle |\psi _{2}\rangle =W_{1}^{(m)}|\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle (+1,-1)}$ ${\displaystyle (W_{1}^{(e)},W_{2}^{(e)})}$ 
   *    . この状態は の固有値を持ちます。
${\displaystyle |\psi _{3}\rangle =W_{1}^{(m)}W_{2}^{(m)}|\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle (-1,-1)}$ ${\displaystyle (W_{1}^{(e)},W_{2}^{(e)})}$ 

これら4つの状態はすべてエネルギー的に縮退しており（すべての局所演算子と演算子の+1固有状態である）、互いに直交している。これらは4次元基底状態部分空間の基底を形成する。 ${\displaystyle \{|\psi _{0}\rangle ,|\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle ,|\psi _{3}\rangle \}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle B_{p}}$

一般化

誤り訂正符号を形成するためにトーラスの使用は必須ではない。他の表面も使用可能であり、その位相特性が安定化空間の縮退性を決定する。一般に、上記の原理に従って2次元スピン格子上に定義された量子誤り訂正符号は、表面符号として知られている。^[21]

高次元スピンを用いた同様のコードを定義することも可能である。これらは量子二重モデル^[22]とストリングネットモデル^[23]であり、これらはエニオンの振る舞いをより豊かに表現できるため、より高度な量子計算や誤り訂正の提案に利用できる可能性がある。^[24]これらには、アーベルエニオンモデルだけでなく、非アーベル統計モデルも含まれる。^{[25] [26] [27]}

実験の進捗

トーリック符号の特性を最も明確に実証したのは、状態ベースのアプローチである。ハミルトニアンを実現しようとするのではなく、単に安定化空間において符号を準備する。この手法を用いることで、実験によってエニオンの生成、輸送、統計^{[28] [29] [30]}、そして位相エンタングルメントエントロピーの測定^[30]が可能になった。さらに最近の実験では、この符号の誤り訂正特性も実証されている^{[31] [30] 。}

トーリック符号とそのハミルトニアンへの一般化の実現については、ジョセフソン接合を用いることで大きな進歩が遂げられてきた。ハミルトニアンを実装する理論は、幅広い種類の位相符号に対して発展してきた。^[32]また、小さな格子に対してトーリック符号ハミルトニアンを実現し、その縮退した基底状態によって得られる量子メモリを実証する実験も行われている。^[33]

実現に向けた他の理論的・実験的研究は冷却原子に基づいている。光格子を用いた位相符号の実現に使用可能な手法のツールキットが研究されており ^[34]、位相秩序の最小例に関する実験も行われている。^[35]このようなトーリック符号の最小例は、孤立した正方形のプラケット内で実験的に実現されている。^[36] リュードベリ原子を用いたトーリックモデルのシミュレーションも進展しており、ハミルトニアンと散逸ノイズの効果を実証することができる。^{[37] [38]}リュードベリ原子アレイを用いた実験では、エンタングルされた原子アレイをコヒーレントに輸送することで、周期境界条件を持つトーリック符号を2次元で実現することにも成功している。^[39]

参考文献

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外部リンク

• https://skepsisfera.blogspot.com/2010/04/kitaevs-toric-code.html