単位双曲線

単位双曲線は青、その共役線は緑、漸近線は赤です。

幾何学において、単位双曲線は、暗黙の方程式を満たす直交平面上の点（ x、y）の集合である。不定直交群の研究において、単位双曲線は、代替の半径長の基礎を形成する。 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1.}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}.}$

単位円は中心を囲むのに対し、単位双曲線は平面上で共役双曲線によって補完されます。この2つの 双曲線は、 y = x と y = − xの漸近線を共有します。単位双曲線の共役双曲線が使用される場合、代替の半径は${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$ ${\displaystyle r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.}$

単位双曲線は、特定の方向、位置、およびスケールを持つ直角双曲線の特殊なケースである。したがって、その離心率は^[1]に等しい。${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

単位双曲線は、解析幾何学において円を双曲線に置き換えなければならないような応用例がある。顕著な例は、時空を擬ユークリッド空間として描写することである。そこでは、単位双曲線の漸近線は光円錐を形成する。さらに、グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンによる双曲扇形の面積への注目は、対数関数と、扇形の面積による双曲線の現代的な媒介変数化につながった。共役双曲線と双曲線角の概念が理解されれば、単位円を中心とする古典的な複素数を、単位双曲線を中心とする数に置き換えることができる。

漸近線

一般的に、曲線の漸近線は曲線に向かって収束すると言われます。代数幾何学と代数曲線理論では、漸近線に対する異なるアプローチがあります。曲線はまず、同次座標を用いて射影平面上で解釈されます。そして、漸近線は射影曲線の無限遠点における接線となり、距離の概念や収束の必要性を回避します。一般的な枠組みでは、( x, y, z )は同次座標であり、無限遠点における直線はz = 0という方程式で決定されます。例えば、CGギブソンは次のように書いています。^[2]

における標準的な直角双曲線の場合、対応する射影曲線は、点P = (1 : 1 : 0)および点Q = (1 : −1 : 0)でz = 0と交わる曲線である。PとQはどちらもF上で単純であり、接線 x + y = 0、x − y = 0となる。こうして、初等幾何学でよく知られている「漸近線」が得られる。${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

ミンコフスキー図

ミンコフスキー図は、空間的側面が一次元に限定された時空平面上に描かれる。この平面上の距離と時間の単位は

• 30センチメートルの長さとナノ秒の単位、または
• 天文単位と8分20秒間隔、または
• 光年と年。

これらの座標スケールのそれぞれにより、傾きがプラスまたはマイナス 1の対角線に沿ったイベントの光子接続がもたらされます。ヘルマン ミンコフスキーが相対性変換を説明するために使用した図は、5 つの要素で構成されています。単位双曲線、その共役双曲線、双曲線の軸、単位双曲線の直径、および共役直径です。軸のある平面は、静止参照フレームを指します。単位双曲線の直径は、ラピディティaで運動している参照フレームを表します。ここで、tanh a = y / xであり、( x、y ) は単位双曲線上の直径の終点です。共役直径は、ラピディティaに対応する同時性の空間超平面を表します。このコンテキストでは、単位双曲線は較正双曲線です^{[3] [4]} 一般に、相対性研究では、垂直軸を持つ双曲線が主要と見なされます。

時間の矢印は図の下から上へと伸びています。これはリチャード・ファインマンが有名な図で採用した慣例です。空間は時間軸に垂直な平面で表されます。「今ここ」は真ん中の特異点です。^[5]

垂直な時間軸の慣習は 1908 年のミンコフスキーに由来し、エディントンの『物理世界の性質』（1928 年）の 48 ページにも示されています。

パラメータ化

単位双曲線の枝は、双曲線の角度パラメータに応じて点およびとして発展します。${\displaystyle (\cosh a,\sinh a)}$ ${\displaystyle (-\cosh a,-\sinh a)}$ ${\displaystyle a}$

単位双曲線をパラメータ化する直接的な方法は、指数関数でパラメータ化された双曲線xy = 1から始まります。${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t}).}$

この双曲線は、行列${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\ :}$

${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).}$

このパラメータtは双曲線角であり、双曲線関数の引数です。

パラメータ化された単位双曲線の初期の表現は、W・K・クリフォードの『力学の原理』（1878年）に見られる。彼は双曲線における準調和運動を次のように記述している。

この運動は楕円振動と興味深い類似点を持つ。…したがって、加速度は常に楕円振動と同様に中心からの距離に比例するが、中心から離れる方向に向く。 ^[6]${\displaystyle \rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )}$ ${\displaystyle {\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \ ;}$

双曲線は特殊な円錐曲線であるため、円錐曲線上の点の加法によって媒介変数化することができます。ロシアの分析家は次のように説明しています。

円錐曲線上に点Eを定めます。Eを通りABに平行な直線が円錐曲線と2度目に交わる点を、点Aと点Bの和とします。

固定点E = (1,0)を持つ双曲線の場合、点と点の和はパラメータ化による点であり、この加算はパラメータtの加算に対応する。^[7]${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle (x_{1},\ y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},\ y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})}$ ${\displaystyle x=\cosh \ t}$ ${\displaystyle y=\sinh \ t}$

複素平面代数

単位円は複素数と関連しているのに対し、単位双曲線はz = x + yj（ただしj ² = +1）からなる複素数平面において重要な役割を果たします。するとjz = y + xj となるので、平面におけるjの作用は座標の交換です。具体的には、この作用は単位双曲線とその共役双曲線の交換、および双曲線の 共役直径のペアの交換です。

双曲線角パラメータaに関して、単位双曲線は点から構成される。

${\displaystyle \pm (\cosh a+j\sinh a)}$ ここで、j = (0,1) です。

単位双曲線の右枝は正の係数に対応する。実際、この枝はj軸に作用する指数写像の像である。したがって、この枝は曲線である。曲線のaにおける傾きは、導関数で与えられる。${\displaystyle f(a)=\exp(aj).}$

${\displaystyle f^{\prime }(a)=\sinh a+j\cosh a=jf(a).}$ 任意のaに対して、)はに双曲直交する。この関係は、i ² = − 1のときの exp( a i) と i exp( a i)の直交性に類似している。${\displaystyle f^{\prime }(a}$ ${\displaystyle f(a)}$

なので、枝は乗法のもとで群となる。 ${\displaystyle \exp(aj)\exp(bj)=\exp((a+b)j)}$

円群とは異なり、この単位双曲線群はコンパクトではありません 。通常の複素平面と同様に、対角線上にない点は、単位双曲線の媒介変数化と交互半径長を用いて極分解されます。

参考文献

1. エリック・ワイススタインWolfram Mathworld の長方形双曲線
2. CG Gibson (1998)代数曲線の基本幾何学、p 159、ケンブリッジ大学出版局 ISBN 0-521-64140-3
3. アンソニー・フレンチ（1968）『特殊相対性理論』83ページ、WWノートン社
4. WGV Rosser (1964)相対性理論入門、図6.4、256ページ、ロンドン：Butterworths
5. APフランス語（1989）「過去から学び、未来に目を向けて」、1989年エルステッド賞受賞スピーチ、アメリカ物理学会誌57(7):587–92
6. ウィリアム・キングドン・クリフォード（1878）『Elements of Dynamic』、89～90ページ、ロンドン：マクミラン社。コーネル大学 歴史数学モノグラフによるオンラインプレゼンテーション。
7. Viktor Prasolov & Yuri Solovyev (1997) Elliptic Functions and Elliptic Integrals、1ページ目、Translations of Mathematical Monographs volume 170、American Mathematical Society

• F. リース・ハーヴェイ (1990)スピノルとキャリブレーション、図4.33、70ページ、アカデミック・プレス、ISBN 0-12-329650-1。