速度

速度は、特定の運動方向における速さの測定値です。これは、物体の運動を記述する古典力学の一分野である運動学における基本概念です。速度はベクトル量であるため、速度を定義するには大きさと方向の両方が必要です（速度ベクトル）。速度のスカラー絶対値（大きさ）は速度と呼ばれ、 SI （メートル法）単位のメートル毎秒（m/sまたはm⋅s ⁻¹）で測定されます。例えば、「5メートル毎秒」はスカラーですが、「東へ5メートル毎秒」はベクトルです。速度、方向、またはその両方に変化がある場合、物体は加速していると言われます。

意味

平均速度

ある時間における物体の平均速度は、その位置の変化をその時間の長さで割ったもので、数学的には^{[1]のように表される}。${\displaystyle \Delta s}$ ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$$

瞬間速度

速度と時間のグラフの例、およびy 軸上の速度v 、加速度a (3 本の緑の接線は曲線に沿った異なるポイントでの加速度の値を表します)、および変位s (曲線の下の黄色の領域) の関係。

物体の瞬間速度は、時間間隔がゼロに近づくにつれて極限の平均速度となる。任意の特定の時刻 t において、それは 位置の時間微分として計算できる。 ^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.}$$

この微分方程式から、1次元の場合、速度と時間（vとtのグラフ）のグラフの下の面積が変位sであることがわかります。微積分学用語では、速度関数v ( t )の積分は変位関数s ( t )です。図では、これは曲線の下の黄色の面積に相当します。s = ∫ v d t 。{\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt.}

瞬間速度の概念は、一見すると直感に反するように思えるかもしれませんが、それは、物体がその瞬間に加速を停止した場合に、その物体が移動し続ける速度と考えることができます。

速度と速度の違い

古典粒子の運動量: 質量m、位置r、速度v、加速度a。

速度と速度という用語は、口語的には物体の速度を表すためにしばしば互換的に使用されますが、科学的には両者は異なります。速度は速度ベクトルのスカラー量であり、物体の速度のみを示しますが、速度は物体の速度と方向の両方を示します。^{[3] [4] [5]}

物体が一定速度を持つためには、一定方向に一定速度で移動する必要があります。一定方向であれば、物体は直線上の運動に限定されます。したがって、一定速度とは、一定速度で直線上を移動することを意味します。

例えば、円軌道上を時速20キロメートルで一定の速度で走行する車は、速度は一定ですが、方向が変化するため速度は一定ではありません。したがって、車は加速していると考えられます。

ユニット

位置を時間で微分すると、位置の変化（メートル単位）を時間の変化（秒単位）で割った値が得られるため、速度はメートル毎秒（m/s） で測定されます。

運動方程式

平均速度

速度は、時間に対する位置の変化率として定義され、平均速度との区別を強調するために瞬間速度と呼ばれることもあります。用途によっては、物体の平均速度、つまり、ある時間間隔Δ tにわたって、同じ時間間隔v ( t )における変動速度と同じ結果変位を与える一定速度が必要となる場合があります。平均速度は次のように計算できます。^{[6] [7]} v¯ = Δ x Δ t = ∫ t 0 t 1 v ( t ) d t t 1 − t 0 。 {\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)\,dt}{t_{1}-t_{0}}}.}

平均速度は常に物体の平均速度以下です。これは、距離は常に増加傾向にあるのに対し、変位は大きさが増減したり方向が変わったりする可能性があることに気づけば分かります。

変位-時間 ( x対t ) グラフでは、瞬間速度 (または単に速度) は任意の点における曲線の接線の傾きとして考えることができ、平均速度は平均速度の期間の境界に等しい t座標を持つ 2 点間の割線の傾きとして考えることができます。

特殊なケース

• 粒子が異なる時間間隔t 1 、t 2 、t 3 、...、t nでそれぞれ_異なる均一速度_v 1 、_v 2 、_v 3 _、 ... 、_v nで_移動すると_、移動時間全体にわたる平均速度は次のように表されます。t 1 = t ₂ = t ₃ = ... = tの場合、平均速度は速度の算術平均で表されます_。$${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}+v_{3}t_{3}+\dots +v_{n}t_{n}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}}}$$ $${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {v_{1}+v_{2}+v_{3}+\dots +v_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}}$$
• 粒子が異なる距離s ₁、s ₂、s ₃、...、s _nをそれぞれ速度 v ₁、v ₂、v ₃、...、v _nで移動する場合、粒子の全距離にわたる平均速度は次のように表されます^[8] s ₁ = s ₂ = s ₃ = ... = sの場合、平均速度は速度の調和平均で表されます^[8]$${\displaystyle {\bar {v}}={s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}={{s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n}} \over {{s_{1} \over v_{1}}+{s_{2} \over v_{2}}+{s_{3} \over v_{3}}+\dots +{s_{n} \over v_{n}}}}}$$ $${\displaystyle {\bar {v}}=n\left({1 \over v_{1}}+{1 \over v_{2}}+{1 \over v_{3}}+\dots +{1 \over v_{n}}\right)^{-1}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{v_{i}}}\right)^{-1}.}$$

加速との関係

速度は位置の変化率として定義されますが、物体の加速度を表す式から始めるのが一般的です。図中の3本の緑色の接線が示すように、ある時点における物体の瞬間加速度は、その時点におけるv ( t )グラフの曲線に接する線の傾きです。言い換えれば、瞬間加速度は速度の時間微分として定義されます。^[9] a = d v d t . {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}.}

そこから、速度はa ( t )加速度対時間グラフの下の面積として表されます。これは前述のように、積分の概念を用いて行われます。

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt.}$$

一定加速度

加速度が一定である特殊なケースでは、速度はsuvat 方程式を用いて調べることができます。aを任意の定数ベクトルと等しいと見なすことで、これは、 時刻tにおける速度をv、時刻t = 0における速度をu として示します。この方程式を suvat 方程式x = u t + a t ² /2と組み合わせると、変位と平均速度を次のように関連付けることができます。 また、時間に依存しない速度の式を導くことも可能で、これは Torricelli 方程式として知られています 。v = | v |などです 。 $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}t={\boldsymbol {\bar {v}}}t.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}&=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\\&=u^{2}+2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}&=(2{\boldsymbol {a}})\cdot \left({\boldsymbol {u}}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2}\right)\\[1ex]&=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \therefore v^{2}=u^{2}+2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})}$$

上記の式はニュートン力学と特殊相対性理論の両方に当てはまります。ニュートン力学と特殊相対性理論の違いは、異なる観測者が同じ状況をどのように記述するかという点にあります。特に、ニュートン力学では、すべての観測者がtの値に同意し、位置の変換規則により、加速していないすべての観測者が物体の加速度を同じ値で記述する状況が生まれます。しかし、特殊相対性理論ではどちらも当てはまりません。言い換えれば、相対速度しか計算できません。

速度に依存する量

勢い

古典力学では、ニュートンの第2法則は運動量p を物体の質量と速度の積であるベクトルとして定義し、数学的には p = m v {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}} と表されます。 ここで、mは物体の質量です。

運動エネルギー

運動する物体の運動エネルギーは速度に依存し、式^[10] E k = 1 2 m v 2 {\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}} で表されます。ここで、E _kは運動エネルギーです。運動エネルギーは速度の2乗に依存するスカラー量です。

抗力（流体抵抗）

流体力学において、抗力とは、周囲の流体に対して運動する物体の相対運動に逆らって作用する力である。抗力は速度の2乗に依存し、 F D = 1 2 ρ v 2 C D A {\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A} で与えられる。 ここで ${\displaystyle F_{D}}$

• ${\displaystyle \rho }$ は流体の密度である^[11]
• ${\displaystyle v}$ 流体に対する物体の速度である。
• ${\displaystyle A}$ は断面積であり、
• ${\displaystyle C_{D}}$ は抗力係数、つまり無次元数です。

脱出速度

脱出速度とは、弾道物体が地球のような質量の大きい天体から脱出するために必要な最小速度です。これは、物体の重力による位置エネルギー（常に負の値）に加えるとゼロになる運動エネルギーを表します。質量Mの惑星の中心から距離rにある物体の脱出速度の一般的な公式は^[12]です。ここで、 Gは重力定数、gは重力加速度です。地球表面からの脱出速度は約11,200 m/sで、物体の方向には関係ありません。そのため、「脱出速度」という名称はやや不適切であり、より正確な用語は「脱出速度」です。この速度に達する物体は、大気に関わらず、進路上の物体と交差しない限り、基準天体の近傍から離脱します。 $${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$$

特殊相対性理論のローレンツ因子

特殊相対論では、無次元ローレンツ因子が頻繁に登場し、次のように表されます。^[13] γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} ここで、γはローレンツ因子、cは光速です。

相対速度

相対速度とは、単一の座標系における2つの物体間の速度の測定値です。物理学の多くの体系は2つ以上の粒子の相対運動を扱うため、相対速度は古典物理学と現代物理学の両方において基本的な概念です。

速度ベクトル vで運動する物体 Aと速度ベクトルwで運動する物体 B を考えてみましょう。これらの絶対速度は通常、同じ慣性系で表されます。この場合、物体 Bに対する物体 A の相対速度は、 2つの速度ベクトルの差として定義されます。 同様に、速度wで運動する物体 B の、速度vで運動する物体 A に対する 相対速度は、次のように定義されます。 通常、選択される慣性系は、前述の2つの物体のうち後者が静止している慣性系です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{A{\text{ relative to }}B}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{B{\text{ relative to }}A}={\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {v}}}$$

ニュートン力学では、相対速度は選択された慣性系に依存しません。しかし、特殊相対論では速度は選択された慣性系に依存します。

スカラー速度

1次元の場合^[14]、速度はスカラーであり、方程式は、 2つの物体が反対方向に移動している場合、または 2つの物体が同じ方向に移動している場合のいずれかになります。 $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(-w),}$$ $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(+w),}$$

座標系

直交座標

多次元直交座標系では、速度は座標系の各次元軸に対応する成分に分解されます。X軸とY軸がある2次元座標系では、対応する速度成分は次のように定義されます^{[15] 。}

$${\displaystyle v_{x}=dx/dt,}$$

$${\displaystyle v_{y}=dy/dt.}$$

2次元速度ベクトルは次のように定義されます。このベクトルの大きさは速度を表し、距離の公式によって次のように 求められます。${\displaystyle {\textbf {v}}=\langle v_{x},v_{y}\rangle }$

$${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.}$$

追加のZ軸が存在する3次元システムでは、対応する速度成分は次のように定義されます。

$${\displaystyle v_{z}=dz/dt.}$$

3次元速度ベクトルは次のように定義され、その大きさも速度を表し、次のように決定される。 ${\displaystyle {\textbf {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle }$

$${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$$

いくつかの教科書では速度の直交座標成分を定義するのに下付き文字を使用していますが、他の教科書ではそれぞれ-、-、-軸に、、を使用しています。[ 16 ^]${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

極座標

物体が観測者Oの周囲を等速度で直線運動する様子（例えば、直線道路を走る車が歩道に立つ歩行者の周囲を通過する様子）における、異なる瞬間における速度の半径方向成分と接線方向成分の表現。半径方向成分はドップラー効果によって観測可能であり、接線方向成分は物体の位置の目に見える変化を引き起こす。

極座標では、2次元の速度は、原点から遠ざかる方向、または原点に向かう方向の速度成分として定義される視線速度と、視線速度に垂直な横方向の速度によって記述されます。 ^{[17] [18]どちらも、原点の周りの回転速度である}角速度から生じます（右手座標系では、正の量は反時計回りの回転を、負の量は時計回りの回転を表します）。

速度ベクトルをラジアル成分と横方向成分に分解することで、直交座標系の速度ベクトルと変位ベクトルからラジアル速度と横方向速度を導くことができます。横方向速度は、原点を中心とする円周方向の速度成分です。 ここで $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}}$$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{T}}$ 横方向の速度
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}}$ は視線速度です。

視線速度（または視線速度の大きさ）は、速度ベクトルと視線方向の単位ベクトルの ドット積です。 ここで、 は位置、は視線方向です。 $${\displaystyle v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$

横方向速度（または横方向速度の大きさ）は、半径方向の単位ベクトルと速度ベクトルの外積の大きさです。また、速度と横方向の内積、あるいは角速度 と半径（位置の大きさ）の 積 でも あります。${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|}$$ $${\displaystyle \omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}.}$$

スカラー形式の角運動量は、質量×原点からの距離×横方向速度、あるいは等価的に質量×距離の2乗×角速度である。角運動量の符号表記は角速度の場合と同じである。 ここで $${\displaystyle L=mrv_{T}=mr^{2}\omega }$$

• ${\displaystyle m}$ 質量は
• ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|.}$

この式は慣性モーメントとして知られています。重力軌道の場合のように、力が半径方向にのみ反比例関係にある場合、角運動量は一定、横方向の速度は距離に反比例し、角速度は距離の二乗に反比例し、面積の掃引速度は一定です。これらの関係はケプラーの惑星運動の法則として知られています。 ${\displaystyle mr^{2}}$

参照

• 4元速度（ミンコフスキー時空における速度の相対論的バージョン）
• 群速度
• 超高速
• 位相速度
• 固有速度（相対論では、観測者時間の代わりに移動者時間を使用）
• ラピディティ（相対速度における速度加算の一種）
• 終端速度
• 速度場
• 速度対時間グラフ

注記

• ロバート・レズニックとジェール・ウォーカー著『物理学の基礎』、Wiley; 第7版（2004年6月16日）。ISBN 0-471-23231-9。

参考文献

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3. リチャード・P・オレニック、トム・M・アポストル、デイヴィッド・L・グッドスタイン (2008). 『機械宇宙：力学と熱入門』（イラスト入り、復刻版）ケンブリッジ大学出版局、p. 84. ISBN 978-0-521-71592-8。84ページの抜粋
4. Michael J. Cardamone (2007). 『物理学の基礎概念』 Universal Publishers. p. 5. ISBN 978-1-59942-433-0。5ページの抜粋
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8. Giri & Bannerjee (2002). 統計ツールとテクニック. Academic Publishers. p. 4. ISBN 978-81-87504-39-9。4ページの抜粋
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11. 地球の大気の空気密度は気圧の公式を用いて求められます。0 ℃、1気圧では1.293 kg/m ³です。
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15. 「ファインマン物理学講義 第1巻 第9章 ニュートンの力学法則」www.feynmanlectures.caltech.edu . 2024年1月4日閲覧。
16. White, FM (2008).流体力学. The McGraw Hill Companies.
17. E. グラハム、エイダン・バロウズ、ブライアン・ゴールター (2002). 『力学』第6巻（イラスト版）. ハイネマン. p. 77. ISBN 978-0-435-51311-5。77ページの抜粋
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外部リンク

• メカニズム入門（カーネギーメロン大学）