ワールドシート

弦理論において、世界面とは時空への弦の埋め込みを記述する2次元多様体である。^{[1]この用語は、}特殊相対論および一般相対論における点粒子に対する世界線概念 を直接一般化したものとして、レナード・サスキンド^[2]によって造られた。

弦の種類、弦が伝播する時空の幾何学、そして長距離背景場（ゲージ場など）の存在は、世界面上で定義された2次元共形場理論に符号化される。例えば、 26次元のボソン弦は、 26個の自由スカラーボソンからなる世界面共形場理論を持つ。一方、 10次元の超弦世界面理論は、10個の自由スカラー場とそのフェルミオン 超パートナーから構成される。

数学的定式化

ボソン弦

まずボソン弦の古典的な定式化から始めます。

まず、弦の 周囲空間として機能する次元平坦時空（次元ミンコフスキー空間）を固定します。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

したがって、世界面は埋め込み面 、すなわち埋め込み2次元多様体であり、誘導計量はどこにでも符号を持つ。したがって、が時間的でありが空間的であるような座標を局所的に定義することができる。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \hookrightarrow M}$ ${\displaystyle (-,+)}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

弦はさらに開弦と閉弦に分類されます。開弦の世界面の位相は です。ここで は閉区間であり、 および を持つ大域座標チャートを許容します。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times I}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ ${\displaystyle 0\leq \sigma \leq 1}$

一方、閉弦の世界面の位相^[3]は であり、 および の「座標」を許容する。つまり、は という同一視を持つ周期座標である。商を用いた冗長な記述は、代表的な を選択することで削除できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \sigma <2\pi }$

ワールドシートメトリック

ポリヤコフ作用を定義するために、世界面には世界面計量^[4] が備えられており、これもシグネチャを持ちますが、誘導計量とは独立しています。 ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle (-,+)}$

ワイル変換は計量構造の冗長性と考えられるため、世界面は代わりに計量の共形クラスを備えていると考えられる。そして、 はシグネチャ を持つ共形多様体のデータを定義する。 ${\displaystyle [\mathbf {g} ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,[\mathbf {g} ])}$ ${\displaystyle (-,+)}$

参考文献

1. ディ・フランチェスコ、フィリップ;マチュー、ピエール。デヴィッド・セネシャル (1997)。共形場の理論。 p. 8.土井：10.1007/978-1-4612-2256-9。ISBN 978-1-4612-2256-9。
2. サスキンド、レナード (1970). 「ハドロンの双対称理論、I」. Nuovo Cimento A. 69 ( 1): 457–496 .
3. トング、デイビッド. 「弦理論の講義」.理論物理学の講義. 2022年8月14日閲覧。
4. ポルチンスキー、ジョセフ (1998).弦理論 第1巻：ボソン弦入門.