142857

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数字のリスト 整数 ← 10 ^0 10 ^1 10 ^2 10 ^3 10 ^4 10 ^5 10 ^6 10 ^7 10 ^8 10 ^9 10 ^10^10 11 ^10 12 ^10 13
枢機卿	14万2857
序数	142857番目（142857番目）
因数分解	3 ^3 × 11 × 13 × 37
約数	1、3、9、11、13、27、33、37、39、99、111、117、143、297、333、351、407、429、481、999、1221、1287、1443、3663、3861、4329、5291、10989、12987、15873、47619、142857
ギリシャ数字	${\displaystyle {\stackrel {\iota \delta }{\mathrm {M} }}}$ ͵βωνζ´
ローマ数字	CXL MMDCCCLVII、 cxl mmdccclvii
バイナリ	100010111000001001 2
三元法	21020222000 3
セナリー	3021213 6
8進数	427011 8
12進数	6A809 12
16進数	22E09 16

142,857は142,856の次、142,858の前の自然数である。これはカプレカール数であり、巡回数でもある。^{[ 1 ]}

巡回数

142857は10進数で最もよく知られている循環数であり、 ⁠の6つの繰り返し数字である。1/7⁠（0.142857）。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

142857を2、3、4、5、または6倍すると、答えはそれ自身の循環順列となり、⁠の繰り返し数字に対応します。2/7⁠、⁠3/7⁠、⁠4/7⁠、⁠5/7⁠または⁠6/7⁠それぞれ:

1 × 142,857 = 142,857

2 × 142,857 = 285,714

3 × 142,857 = 428,571

4 × 142,857 = 571,428

5 × 142,857 = 714,285

6 × 142,857 = 857,142

7 × 142,857 = 999,999

7 より大きい整数を掛け合わせると、142857 の巡回順列を得るための簡単な方法があります。右端の 6 桁（1 から 10 万まで）を残りの桁に加え、このプロセスを 6 桁になるまで繰り返すと、142857 の巡回順列が得られます。

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857 ² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

7 の倍数を掛けると、次のプロセスにより 999999 になります。

142857 × 7 ⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

最後の 3 桁を二乗し、最初の 3 桁の二乗を引くと、数値の循環順列も返されます。

857 ² = 734449

142 ² = 20164

734449 − 20164 = 714285

これは有理数の小数展開における繰り返し部分である⁠1/7⁠ = 0. 142857。したがって、⁠の倍数は1/7⁠ は、 142857 の対応する倍数の単純な繰り返しコピーです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{7}}&=0.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {2}{7}}&=0.{\overline {285714}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {3}{7}}&=0.{\overline {428571}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {4}{7}}&=0.{\overline {571428}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {5}{7}}&=0.{\overline {714285}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {6}{7}}&=0.{\overline {857142}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {7}{7}}&=0.{\overline {999999}}\ldots =1\\[3pt]{\tfrac {8}{7}}&=1.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {9}{7}}&=1.{\overline {285714}}\ldots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

エニアグラムとのつながり

142857という数字列は、グルジェフのワークのシンボルであるエニアグラム図で用いられ、宇宙の二つの偉大な法則（G.I.グルジェフによれば）である「三の法則」と「七の法則」の相互作用のダイナミクスを説明・視覚化するために用いられています。142857を⁠で割った数の動きは、1/7⁠、⁠2/7⁠ . など、そしてそれに続くエニアグラムの動きは、グルジェフの神聖な踊り「ムーブメント」の中で描かれています。^{[ 6 ]}

その他の特性

142857という数列は、分母が7である小数点以下の数にも見られます。以下の例では分子はすべて1ですが、以下のように必ずしも1である必要はありません。2/7⁠ (0. 285714 ).

たとえば、以下にリストされている分数とそれに相当する小数値を考えてみましょう。

⁠1/7⁠ = 0.142857 ...

⁠1/14⁠ = 0.0 714285 ...

⁠1/28⁠ = 0.03 571428 ...

⁠1/35⁠ = 0.0 285714 ...

⁠1/56⁠ = 0.017 857142 ...

⁠1/70⁠ = 0.0 142857 ...

上記の小数は142857の回転順序に従っています。分母が7の因数を持つ分数もあります。例えば、1/21⁠と⁠1/42⁠、この順序に従わず、小数点以下の桁に他の値を持つもの。

参考文献

1. 「Sloane's A006886: Kaprekar numbers」 .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2016年6月3日閲覧。
2. 「巡回数」。インターネット科学百科事典。 2007年9月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。
3. エッカー、マイケル・W. (1983年3月). 「巡回数の魅力的な伝承」. 2年制大学数学ジャーナル. 14 (2): 105–109 . doi : 10.2307/3026586 . JSTOR 3026586 . 
4. PlanetMathの巡回数。
5. Hogan, Kathryn (2005年8月). 「Go figure (cyclic numbers)」 . Australian Doctor . 2007年12月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。
6. ウスペンスキー, PD (1947). 「第18章」. 『奇跡を求めて：知られざる教えの断片』 . ロンドン: ラウトレッジ.

• レスリー、ジョン（1820）『算数の哲学：…の理論と実践に関する進歩的見解の提示』ロングマン、ハースト、リース、オーム、ブラウン。ISBN 1-4020-1546-1。
• ウェルズ, D. (1997). 『ペンギン不思議数字辞典』（改訂版）. ロンドン: ペンギン・グループ. pp.  171– 175. ISBN 978-0-140-26149-3。
• タハン、マルバ（1938年）『数えた男』